高等代数试题 附答案
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科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。
3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。
4、假设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。
5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）
2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ）
3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ）
4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中
),,,()(2
4232221x x x x =ξδ。（ ）
6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）
7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ）
8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ）
9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的
子空间。（ ）
10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。（10）
2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻，2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11）
3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
（10） 四、计算题（每小题8分，共24分）
1、求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使得AP P 1-为对
角形矩阵。
2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '
使对角形式，其中⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=52024202
3A 。
3、化二次型 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=为平方和，并求所用的满秩线性变换。
科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、（3,4,1）
2、秩为2，一个最大无关组为31,αα
3、维（1V ）+维（2V ）=维（21V V +）+维（ 21V V ）
4、特征根是1，1，2，特征向量分别为()(),1,1,2,1,1,121-==αα
5、秩为 3
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、（是 ）
2、（是 ）
3、（是 ）
4、（否 ）
5、（否 ）
6、（否 ）
7、（是 ）
8、（是 ）
9、（是 ） 10、（是 ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、证明 设A 可逆，则1-A 存在，且1-A 也是V 的线性变换，（1） 若n A A A εεε,,,21 线性相关，则)(,),(),(12111n A A A A A A εεε--- ，(2)
即n εεε,,,21 也线性相关，这与假设n εεε,,,21 是基矛盾，故n A A A εεε,,,21 线性无关。(5)反之，若n A A A εεε,,,21 线性无关，因V 是n 维线性空间，故它也是V 的一组基，(7) 故对V
中任意向量1α有)(22111n n k k k A εεεα+++= ，即存在
)(2211n n k k k εεεα+++= ，使1)(αα=A ，故A 为V 到V 上的变换。(8) 若
又
有
n
n l l l εεεβ+++= 2211，使
1
)(αβ=A ，即
)(22112211n n n n A k A k A k A l A l A l A εεεεεεβ+++=+++= ，
因为n A A A εεε,,,21 是基，),,2,1(,n i k l i i ==，即βα=，从而A 又是一一的变换，故A 为可逆变换。（10）
2、证：()()()()()()ξξξξξδξδξξδξξξ
ξδ,,2,,2
+-=--=-,(4)
=()()()()ξξδξξξδξ,,2,2+- ,(8)
=()()()()ξδξδξδξ2,2,2-, (10) =0 ,（11）
3、证：（1）()() ⊥⊥⊥
⊥⊥⊥
⊆+⇒∈⇒+∈∀21212121W W W W W W W W ξξ,(5)
同理() ⊥⊥⊥
⊇+2121W W W W ， (8)
则() ⊥⊥⊥
=+2121W W W W 。 （10）
四、计算题（每小题8分，共24分）
1、解：A E -λ=)4()2(2-+λλ，则A 的特征根为22,1-=λ，43=λ, (3)