【全国百强名校】长沙市一中2020届高三第3次月考高考冲刺试卷-理科数学(附答案)

!9#!题为必考题%每个试题考生都必须作答!第##$#(题为选考题%考
生根据要求作答!
!一"必考题#共8$分!
!9!!本小题满分!#分"
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& 方程为 #&=123)% !=为参数%)'($%""! /&#4=305) !!"写出直线;的普通方程和曲线& 的直角坐标方程+
取值范围!
数学!理科"试题!一中版"!第!"页!共"页"
长沙市一中届高三月考试卷三
数学理科参考答案
选择题
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二填空题
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数学!理科"试题!一中版"!第!#页!共"页"
!%!已知球 4 是 棱 长 为 ! 的 正 方 体 "$&''"!$!&!'! 的 外 接 球%0 为 棱
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二$填空题#本大题共)小题%每小题%分%共#$分!把各题答案的最简形式
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三解答题
源自文库"+!解析"9,+1$8:5+678+0槡%678$+0"
18:5$+0槡%678$+0"
1$8:5
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0" %分
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数学理科试题参考答案一中版!!"
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"
"
的复数在复平面位于
"
*!第一象限 +!第二象限
-!第三象限
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方体各棱所成角相等%则平面 (50 截球4 的截面面积是
!
!8!在锐角0"$& 中%$&&#%305$%305& 的等差中项为305"%则中线"' 的
长的取值范围是
!
三$解答题#本大题共9$分!解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤!第
$/解得"$)$$!
""!)!解析由题可知函数*+关于+1"对称且当+&"时*+为增函数而由不等式*$'!"&$'"可
得*$'!"&*%从而 $%'$'!!""'!""%&%%!"%得实数'的取值范围是!2/($02!
"$!)!解析由题可知,-+1 3$++!0"'++&$//则,-+"1,-+$!设+"&+$其中+")/45(进而%+"!+$%
$作#3 垂直于平面"$/垂足为 3由"知点 3 在直线"2 上!
如图以" 为原点"/ 为+ 轴"$ 为4 轴以过 " 点与平面"$/ 垂直的直线为5 轴建立空 间 直 角 坐 标 系可 得 如 下 坐 标" ///$/"//"//
2
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学!号!
姓!名!
" "
长沙市一中#$#$届高三月考试卷三
"
" " "
数!学理科
"
" "
长沙市一中高三理数备课组组稿
" "
时量!#$分钟!!!满分!%$分
"
得分!!!!!!
"
"
" "
一选择题本大题共小题每小题分共分!在每小题给出的四
"
个选项中只有一项是符合题目要求的!
密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
数学!理科"试题!一中版"!第!8页!共"页"
#!!!本小题满分!#分"
已知函数%!#"&65#'#4)有两个不同零点#!%##!#!$##"! !!"求)的取值范围+
!#"证
明#当$$#!#
! )
时%##!##$
! )
!
数学!理科"试题!一中版"!第!9页!共"页"
!二"选考题#共!$分!请考生在##$#(两题中任选一题作答%若多做%则按所
12,3$%求%!""的取值范围!
数学!理科"试题!一中版"!第!(页!共"页"
!"!!本小题满分!#分" 如图%在三棱锥 0'"$& 中%0"$& 为等腰直角三 角形%00$& 为等边三角形%其中 4 为$& 中点%且 "$&"&&!! !!"求证#平面 40"1平面 0$&+ !#"若"0&槡(%且"01平面7$&%其中7 为"0 上 的点%求&7 与平面"$& 所成角的正弦值!
故,"的取值范围为"!槡%"0槡%! "$分 ",!解析"证明由题可知$/0"2$/0#2且 "21#212故$/0平面 #"2
'分
又$/2平面#$/因此平面2#"0平面#$/! (分
分数) 人数
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参加高校" 自主招生获得
通过的频率
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$;% $;)
!!"填写列联表%并画出列联表的等高条形图%并通过图形判断学习先修 课程与优等生是否有关系%根据列联表的独立性检验%能否在犯错误 的概率不超过$;$!的前提下认为学习先修课程与优等生有关系,
! ) !#"若直线;与曲线& 交于"%$ 两点%直线;的倾斜角)' $%( %0 点
坐标为!$%#"%求
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0$ 0$
的最小值!
#(!!本小题满分!$分"选修)'%#不等式选讲
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参考数据# 0!8#29$" $;!% $;!$ $;$% $;$#% $;$!$ $;$$% 9$ #;$9# #;9$8 (;")! %;$#) 8;8(% 9;"9:
参考公式#8#&!)4,"!6*4!)::"'!),64"6#"!,4:"%其中*&)4,464:!
#$!!本小题满分!#分" 已知椭圆&#)###4,/##&!!)&,&$"的左$右焦点分别是 .!%.#%离心率为 槡#(%直线/&#被椭圆& 截得的线段长为)槡%!$! !!"求椭圆& 的方程+ !#"过点!$%'#"且斜率为9的直线;交椭圆& 于"%$ 两点%交# 轴于0 点%点" 关于# 轴的 对 称 点 为 (%直 线 $( 交# 轴 于< 点!求 证# 40 * 4< !4 为坐标原点"为常数!
数学!理科"试题!一中版"!第!)页!共"页"
!:!!本小题满分!#分" 中国大学先修课程%是 在 高 中 开 设 的 具 有 大 学 水 平 的 课 程%旨 在 让 学 有 余力的高中生早接 受 大 学 思 维 方 式$学 习 方 法 的 训 练%为 大 学 学 习 乃 至 未来的职业生涯做 好 准 备!某 高 中 开 设 大 学 先 修 课 程 已 有 两 年%两 年 共 招收学生#$$$人%其中有($$人参与学习先修课程%两年全校共有优等 生#$$人%学习先修课程的优等生有8$人!这两年学习先修课程的学生 都参加了考试%分数为)!满分!$$分"%并且都参加了高校" 的自主招生 考试%结果如下表所示#
( ) '(%) 上单调递减%则的最大值是
*!!#
+!#(
-!(#
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!$!已知. 是双曲线#)## ',/## &!!)&$%,&$"的右焦点%0 是双曲线的左顶
点%过点 .
且与#
轴垂直的直
线交
双曲线
于"%$
两点%若*"0$$
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则该双曲线的离心率1的取值范围为
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8!函数%#&65##''!! 的大致图象是
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班!级!
学!校!
数学理科试题一中版!第! 页共"页
9!等腰直角三角形"$& 中%"$&"&&#%点 ' 为斜边$& 上的三等分点%且 ")((&#")('%则()(&*()($&
优等生 非优等生 总计
学习大学先修课程
没有学习大学先修课程
总计
!#"已知今年全校有!%$名学生报名学习大学先修课程并且都参加了高 校" 的自主招生考试%以前两年参加大学先修课程学习参加高校 " 自主招生获得通过的频率作为今年参加大学先修课程学习参加高校 " 自主招生获得通过的概率! 在今年参加大学先修课程的学生中任取一人%求他获得高校 " 自 主招生通过的概率+ 设今年全校参加大学先修课程的学生获得高校" 自主招生通过的 人数为%求 7! 数学!理科"试题!一中版"!第!%页!共"页"