八年级上册一次函数经典例题

一次函数复习课

知识点1 一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=2

1x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.

（3）当b=0，k≠0时，y= kx 仍是一次函数.

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

知识点2 函数的图象

把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

知识点 3一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．

由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点

（-k

b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.

知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质

（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；

①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；

②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直

线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

知识点5 正比例函数y=kx（k≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．

知识点6 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

知识点7 确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx （k≠0）中只有一个待定

系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）

就可求得k 的值．

（2）由于一次函数y=kx+b （k≠0）中有两个待定系

数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，

求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y

的值．

知识点8 待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再

根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得

到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也

叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．

知识点9 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）设函数表达式为y=kx+b ；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k≠0），

由题意可知，

⎩

⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k

∴此函数的关系式为y=3

534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，