单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力19.8

Δ1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0
Δ2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0
b
Δ3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0 式(b)就是由位移条件所建立的求解X1、X2和X3
对于n次超静定结构有n个多余约束，也就是有n 个多余未知力x1，x2，…，xn，且在n个多余约束处 有n个已知的位移条件，故可建立n个方程，例如原 结构在荷载作用下各多余约束处的位移为零时，有
δ11X1+δ12X2+…+δ1nXn+Δ1P=0 ……
δi1X1+δi2X2+…+δinXn+ΔiP=0 ……
δn1X1+δn2X2+…+δnnXn+ΔnP=0 式(19.2)为力法方程的一般形式，常称为力法典 型方程。
其物理意义是：基本结构在全部多余未知力和 已知荷载作用下，沿着每个多余未知力方向的位移， 应与原结构相应的位移相等。
19 力 法
本章提要
本章主要介绍超静定结构的计算方法——力 法。介绍如何选择力法的基本结构、建立力法典 型方程，以求出超静定结构的内力图。重点掌握 力法的基本原理、基本结构的选择方法和力法解 超静定结构的三方面因素。同时对一些特殊结构， 如：对称结构、两铰拱等也作了基本的介绍。
本章内容
19.1 超静定结构概述 19.2 力法原理 19.3 力法的典型方程 19.4 力法应用举例 19.5 利用对称性简化计算 19.6 支座移动时超静定结构的计算
(2) 建立力法方程。根据基本结构在多余未知力 和荷载共同作用下，沿多余未知力方向的位移应与 原结构中相应的位移具有相同的条件，建立力法方
(3) 计算系数和自由项。首先作基本结构在荷载 和各单位未知力分别单独作用在基本结构上的弯矩 图或写出内力表达式，然后按求位移的方法计算系
(4) 求多余未知力。将计算的系数和自由项代入
基本结构在B端不再受约束限制，因此在外力P
作用下B点竖向位移向下（图19.7(c)），在X1作用下 B点竖向位移向上(图19.7(d))。显然在二者共同作用
下B点竖向位移将随X1的大小不同而异，由于X1是取 代了被拆去约束对原结构的作用，因此基本结构的
变形位移状态应与原结构完全一致，即B点的竖向位
δij=δji (c) 由力法方程解出多余未知力X1,X2,…,Xn后，即可 按照静定结构的分析方法求得原结构的反力和内力，
M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP (19.3) 再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。
图19.10
19.4 力法应用举例
综前所述，用力法计算超静定结构的步骤可归
(1) 选取基本结构。确定原结构的超静定次数， 去掉所有的多余约束代之以相应的多余未知力，从
移Δ1必须为零，也就是说基本结构在已知荷载与多
余未知力X1共同作用下；在拆除约束处沿多余未知
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力X1作用方向产生的位移应与原结构在X1方向的位
Δ1=0
(a)
这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称 位移条件
若用Δ1P和Δ11分别表示荷载q和多余未知力X1单 独作用下基本结构在X1作用处沿X1方向产生的位移， 则由叠加原理根据位移条件可得下列方程
用力法计算超静定结构时，解除超静定结构的 多余约束而得到静定的基本结构后，整个计算过程 自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定 结构的计算问题，转化为静定结构的位移和内力计 算问题。
图19.7
图19.8
图19.9
19.3 力法的典型方程
图19.10(a)所示的为一个三次超静定刚架。现去
如图19.1所示的梁具有一个多余约束。又如图 19.2所示的桁架具有两个多余约束。上述两个结构都 属于超静定结构。
超静定结构中多余约束的选择不是惟一的。 多余约束中产生的约束力称为多余未知力。 只要确定了多余未知力，其余的计算就转化为 静定结构的计算问题。
图19.1
图19.2
19.1.2 超静定次数的确定
19.7 单跨超静定梁的杆端弯矩和杆 端剪力
19.8 超静定结构的位移计算 19.9 超静定结构内力图的校核 19.10 两铰拱的计算 19.11 用弹性中心法计算无铰拱
19.1 超静定结构概述
19.1.1 超静定结构的概念
所谓超静定结构，是指那些从几何组成分析来 说具有几何不变性而又有多余约束的结构。
δ11X1+Δ1P=0
(4) 求多余未知力 将以上各系数和自由项代入力
4a3 3EI
X1
a3 2EI
X
2
5qa4 8EI
0
a3 2EI
X1
a3 3EI
X
2
qa4 4EI
0
3
3
(5)
X1
作内力图
7
qa,
X2
28
qa
① 根据叠加原理作弯矩图，如图19.14(f)
② 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图19.14(g)所示。
③ 根据剪力图和荷载利用结点平衡作轴力图，如图
【例19.2】作图19.13(a)所示连续梁的内力图。EI为常数。 【解】(1) 选取基本结构 此结构为一次超静定梁。将B 点截面用铰来代替，以相应的多余未知力X1代替原约束的 作用，其基本结构如图19.13(b)
(2) 建立力法方程 位移条件：铰B两侧截面的相对 转角应等于原结构B点两侧截面的相对转角。由于原结构 的实际变形是处处连续的，显然同一截面两侧不可能有相 对转动或移动，故位移条件为B点两侧截面相对转角等于
M=M1X1+MP 也就是将M1图的竖标乘以X1倍，再与MP图中的
MA=MAX1+MAP=l×3/8ql-1/2ql2 =-1/8ql2 (上侧受拉)
最后内力图如图19.9
综上所述，我们把这种取多余未知力作为基本 未知量，通过基本结构，利用计算静定结构的位移， 达到求解超静定结构的方法，称为力法。
δ11X1+Δ1P=0
(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯
矩图MP图和单位弯矩图M1图，如图19.13(c)、(d)
利用图乘法求得系数和自由项分别为
11
2 EI
(1 2
l
1
2 3
1)
l 3EI
1P
(3P 2ql)l2 48EI
(4) 求多余未知力 将以上系数和自由项代入力法
2l 3EI
利用图乘法求得力法方程中各系数和自由项分别为
δ11=l3/3EI δ22=l/EI δ33=l/EA δ12=δ21=-l2/2EI δ13=δ31=0 δ23=δ32=0
Δ1P=-ql4/8EI Δ2P= ql3/6EI Δ3P=0 (4) 求多余未知力
将以上各系数和自由项代入力法
l3 3EI
X1－
超静定结构中多余约束的数目称为超静定次数。 判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成 静定结构的方法进行。去掉多余约束的方式一般有
(1) 去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉 一个约束，图19.3
(2) 去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等 于去掉两个约束，图19.4
(3) 将固定端支座改成铰支座，或将刚性联结改 成单铰联结，等于去掉一个约束，图19.5。
Δ1=Δ11+Δ1P=0 (b) 若X1=1时在X1方向产生的位移为δ11，则有 Δ11=δ11X1，于是(b)
δ11X1+Δ1P=0 (19.1) 这就是求解多余未知力的补充方程，称为力法 方程。
为了计算δ11和Δ1P，分别作基本结构在荷载q作用 下的弯矩图MP(图19.8(a))和在单位力X1=1作用下的单 位弯矩图M1(图19.8(b))
19.14(h)所示。
【例19.4】求图19.15(a)所示超静定桁架各杆件的内力。已 知各杆EA相同。 【解】(1) 选取基本结构 此结构为一次超静定桁架， 切断下弦杆EF代之以相应的多余未知力X1，得到图19.15(b) 所示静定桁架作为基本结构。
(2) 建立力法方程 按照原结构变形连续的条件， 基本结构上与X1相应的位移，即切口两侧截面沿杆轴方向
11
1 EI
2
M 1 dx
1 (1 ll 2l)
l3
EI 2 3 3EI
1P
1 EI
M
1M
Pdx
1 EI
(1 3
ql 2 2
l
l
3 4
l)
ql 4 8EI
代入力法方程式(19.1)得
l3 3EI
X
1
ql 4 8EI
0 得 X1
3 ql2 8
多余未知力X1求得后，即可由静力平衡条件求 得其余的约束反力和内力。最后弯矩图也可以利用 已经绘出的基本结构的M1图和MP图由叠加原理按下
(4) 去掉一个固定端支座或切开刚性联结等于去 掉三个约束，图19.6
按所去掉的约束数目可以很简便地算出结构的 超静定次数。如从原结构中去掉n个约束结构就成为 静定的，则原结构称为n
图19.3
图19.4
图19.5
图19.6
19.2 力法原理
图19.7(a)所示为一次超静定梁，EI为常数。图中 虚线表示梁在受力后的弹性变形情况。由图中可见 梁A端的线位移及角位移为零，B端竖向位移也为零。 现拆去多余约束B端的支座链杆并用多余未知力X1代 替B端的约束对原结构的作用，得到如图19.7(b)所示 静定梁。这种去掉多余约束后所得到的静定结构， 称为原结构的基本结构，待求的多余未知力X1为力 法的基本未知量。
(2) 建立力法方程 原结构C支座处无竖向位移和水
δ11X1+δ12X2+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+Δ2P=0
(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯 矩图MP图和单位弯矩图M1图、M2图，如图19.14(c)、(d)、 (e)
利用图乘法计算各系数和自由项分别为
δ11= 4a3/3EI δ22=a3/3EI δ12=δ21=a3/2EI Δ1P=-5qa4/8EI Δ2P=-qa4/4EI
(2) 建立力法方程 根据原结构支座B处位移为零的
δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0 δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0
(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩 图MP图和单位弯矩图M1图、M2图、M3图，如图19.11(c)、 (d)、(e)、(f)
(5) 绘制内力图。求出多余未知力后，按分析静 定结构的方法，绘制原结构最后内力图。最后弯矩 图也可以利用已作出的基本结构的单位弯矩图和荷 载弯矩图按叠加式(19.3)求得。
【例19.1】作图19.11(a)所示单跨超静定梁的内力图。已 知梁的EI、EA 【解】(1) 选取基本结构 原结构是三次超静定梁，去 掉支座B的固定端约束，并代之以相应的多余未知力X1、 X2和X3，得到图19.11(b)
② 作剪力图根据已求出的杆端弯矩和荷载，画AB
梁的受力图如图19.12所示。由∑MA=0得
1 ql 1 ql2 2 12
1 12
ql
2
+QBA
l0
所以QBA=-ql/2 由∑Y=0
QAB－ql－QBA=0 QAB=ql+QBA=ql－ql/2=ql/2 因为AB梁受到均匀分布荷载，剪力图应为斜直线， 如图19.11(h)所示。
l2 2EI
X2－
ql 4 8EI
0
l2 2EI
X1 +
l EI
X2
ql 3 6EI
0
l EA X3 0
解得
X1
1 2
ql, X2
1 12
ql2 , X3
0
(5) 作内力图 ① 作M
M=M1X1+M2X2+M3X3+MP 计算A、B
MAB=-1/12ql2 (上拉) MBA=-1/12ql2 (上拉) M跨中=1/24ql2 (下拉) 根据三点竖标连以光滑曲线(q相对应M为抛物线)得 图19.11(g)所示M图。
X1
(3P 2ql)l2 48EI
0
X1
(3P
2ql)l 32
(5) 作内力图 ① 根据叠加原理作弯矩图，如图19.13(e) ② 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图19.13(f)所示。
【例19.3】作图19.14(a)所示超静定刚架的内力图。已知刚 架各杆EI均为常数。 【解】(1) 选取基本结构 此结构为二次超静定刚架，去 掉C支座约束，代之以相应的多余未知力X1、X2得如图 19.14(b)
掉固定支座B，加上相应的多余未知力X1、X2和X3， 便得到图19.10(b)所示的基本结构。由位移条件可知，
基本结构在外荷载和多余未知力X1、X2及X3共同作 用下，B处的水平位移Δ1、竖向位移Δ2和角位移Δ3即 分别沿X1、X2及X3
Δ1＝0
Δ2＝0
Δ3＝0
a
图19.10(c)、(d)、(e)、(f)分别表示了单位力X1=1、 X2=1、X3=1和荷载P单独作用于基本结构上时，B处 沿X1、X2及X3方向的相应位移。根据叠加原理，B处 应满足的位移条件可表示为