2016高考数学理科二轮复习习题：专题8第一讲 几何证明选讲

专题八选修专题

第一讲几何证明选讲

1．平行线等分线段定理．

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等，即若l1∥l2∥l3，l分别交直线l1，l2，l3于A1，A2，A3，l′分别交直线l1，l2，l3于B1，B2，B3，A1A2＝A2A3，则B1B2＝B2B3.

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，即在△ABC中，若AD＝DB，DE∥BC，则AE＝EC.

推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰，即在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，则DF＝FC.

2．平行线分线段成比例定理．

三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线段成比例，即若l1∥l2∥l3，l分别交直线l1，l2，l3于A，B，C，l′分别交直线l1，l2，

l3于D，E，F，则AB

BC＝

DE

EF.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，

所得的对应线段成比例，即在△ABC，DE∥BC，则AD

DB＝

AE

EC.

3．相似三角形的定义．

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，解题时常常把对应点写在对应的位置上．

4．相似三角形的判定方法．

(1)两对对应角相等的两个三角形相似；(2)三边对应成比例的两个三角形相似；(3)两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．

5．相似三角形的性质．

(1)相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和它们周长的比都等于相似比(对应边的比)；(2)相似三角形的面积比等于相似比(对应边的比)的平方．

6．射影定理．

直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，则BD2＝AD·CD，AB2＝AD·AC，BC2＝CD·CA.

7．与圆有关的角的概念．

(1)圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角．如图1中的∠AOB.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．如图2中的∠DEF.

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图3中的∠MPN.

8．与圆有关的角的性质．

(1)圆周角定理：圆上的一条弧所对的圆周角大小等于它所对的

圆心角的一半．如图4，∠ACB＝1

2∠AOB.

(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，圆周角为90°时所对的弦是直径．如图5，∠DEF＝90°.

(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

如图6，∠MPN＝∠PQM.

9．圆的切线的判定和性质．

(1)圆的切线的定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

(2)圆的切线的判定：①若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；②经过直径的一端，并且垂直

于这条直径的直线是圆的切线．

(3)圆的切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

10．与圆有关的比例线段．

(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．如图7，PA·PB＝PC·PD．

(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线

与圆的交点的两条线段长的积相等．如图8，PA·PB＝PC·PD．

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．如图9，PA2＝PC·PD．

(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．如图10，PA＝PC，∠APO＝∠CPO.

11．圆内接四边形．

(1)圆内接四边形的判定：①如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上；②如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．

(2)圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于与它相邻的内角的对角．

12．直线与圆的位置关系．

(1)直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．

①相交——直线与圆有两个公共点；

②相切——直线与圆有一个公共点；

③相离——直线与圆没有公共点．

(2)判定直线与圆的位置关系的方法：直线与圆的位置决定于圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系．

①直线与圆相交⇔d

②直线与圆相切⇔d＝r；

③直线与圆相离⇔d>r．

判定直线与圆的位置关系时，先看：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；再算：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系；后断：然后根据上述关系作出判断．13．圆与圆的位置关系．

(1)平面内两圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

(2)判定两个圆的位置关系的方法：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则

①两圆外离⇔d>R＋r，有4条公切线；

②两圆外切⇔d＝R＋r，有3条公切线；

③两圆相交⇔R－rr)，有2条公切线；

④两圆内切⇔d＝R－r(R>r)，有1条公切线；

⑤两圆内含⇔dr)，没有公切线．

14．常用的辅助线的作法．

出现切线就连接切点和圆心的半径为辅助线，求弦长就作弦心距解直角三角形．