《概率论与数理统计》第2章作业题

0 1 - C5 (0.1) 0 (0.9)5 0.40951
第二章
2-8 甲，乙两人投篮，投中的概率分别为0.6， 0.7。今各投3次，求 (2)两人投中次数相等的概率； (2)甲比乙投中次数多的概率。
解 设X，Y分别表示甲，乙投中的次数，则 所求的概率为 X ~ b(3,0.6) ， Y ~ b(3,0.7) ， (2) P( X Y ) P{( X 0)(Y 0) ( X 1)(Y 1)
第二章
解 顾客未等到服务而离开窗口的 概率为
1 x p P{ X 10} e 5 dx e2 10 5

即 Y ~ b(5, e2) ， 故Y的分布律为：
k 2 k 2 5 k P(Y k ) C5 e (1 e ) ， k 0,1,2,,5.
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e ) 0.5167
2－2 将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得 到的小的点数试求X的分布律。
解 两次抛掷共有6×6即36个基本事件，以X表示两 次中得到的小的点数，Y表示另一点数,则 当X=2时， Y的可能值是2~6,即这时有(2,2)
(2,2) … (2,6),(2,2)(3,2) … (6,2)共11个基本事
件；当X=2时， Y的可能值是2~6 ，这时有(2,2) (2,3) … (2,6), (3,2) (4,2) … (6,2)共9个基本事 件…当X=6时，这时只有 (6,6)1个基本事件
Φ(1) Φ(0.5) Φ(1) {1 Φ(0.5)}
X -3 ~ N(0,1) 2
0.8412 1 0.6915 0.5328.
第二章
- 4 - 3 X - 3 10 - 3 } P{4 X 10} P{ 2 2 2 10 3 4 3 Φ Φ 2 2 Φ(3.5) Φ(3.5)
2Φ(3.5) 1
2 0.9998 1
0.9996.
第二章
P{| X | 2} 1 P{| X | 2} 1 P{2 X 2}
23 2 3 1 Φ Φ 2 2 1 Φ(0.5) Φ(2.5)
I h( w)
1 w , h( w) 2 2w 2
第二章
Baidu Nhomakorabea
即当162<w<242时，
1 1 1 f W ( w) f I (h( w))h( w) 2 2 2w 4 2w
1 , 162 w 242 f W ( w) 4 2w 其它. 0,
FX (5 / 2) FX (2)
ln(5 / 2) ln 2 ln(5 / 4).
第二章
2-24 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(分钟)服从指数分布，其概率密度为
1 x e 5 , x 0, f X ( x) 5 x 0. 0,
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就 离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月 内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分 布律，并求 P(Y ≥1 ).
1 1 P{ X c} P{ X c} ， 即 P{ X c} , 2 c 3 1 即 Φ Φ(0) 2 2
c 3 0， 2
c 3.
第二章
(3) 设d满足 P{ X d} 0.9,问d至多为多少？
d 3 由题设有 1 Φ 0.9 2
2 5
第二章
2-26设X～N（3, 22）
(1) 求P (2<X≤5)，P{(－4<X≤10}，P{|X|>2}，P (X>3) (2) 决定C使得P (X > C )=P (X≤C)
(3) 设d满足P{X>d}≥0.9，问d至少为多少？
第二章
X ~ N (3, 22) ， 所以
5 3 2 3 (1) P{2 X 5} Φ Φ 2 2
第二章
所以， X的分布律是
X
p
1
11 36
2
9 36
3
4
5 36
5
6
1 36
7 36
3 36
第二章
2-6 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表 明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问 在同一时刻 (1)恰有2个设备被使用的概率是多少？ (2)至少有3个设备被使用的概率是多少？ (3)至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4)至少有1个设备被使用的概率是多少？
3 d 即有 Φ 0.9 Φ(1.28), 2
因为分布函数是不减函数，固有 3 d 1.28, 2
d 3 2 1.28 0.436.
第二章
2-38 设电流I是一个随机变量，它均匀分布 在9A~ 11A之间，若此电流通过2Ω的电阻，在其上 消耗的功率W=2I2 ，求W的概率密度. 1 , 9 i 1 I ~ U ( 9 , 1 1 ) ， 解 f I (i ) 2 0, 其它. W的值域为 w∊(162,242), W=2I2 在(9,11)上单调且 可导，其反函数为
第二章
解 设同一时刻被使用的设备的个数为X，由于各
个设备使用与否是相互独立的，则X~b(5，0.1). (1) P{X=2} =
C (0.1) (0.9)
2 5
2
3
=20 (2)P{X≥3}
0.02 0.729
=0.0729
3 2 4 4 1 5 5 0 C3 (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) 5 5 5
2 3 2 1 1 3 1 2
3 3 0 2 2 1 C (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) C (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3
3 3 3 0 1 3 1 2
≈0.243
第二章
2－20 设随机变量 X的分布函数是
x 1, 0, FX ( x) ln x, 1 x e 1, x e.
0.43 0.33 (3 0.6 0.42) (3 0.7 0.32) 2 2 (3 0.6 0.4) (3 0.7 0.3) 0.63 0.73 0.32076.
第二章
(2) 甲比乙投中的次数多的概率为
P{X Y} P{X 1, Y 0} P{X 2, Y 0} P{X 2, Y 1} P{X 3, Y 0} P{X 3, Y 1} P{X 3, Y 2}
( X 2)(Y 2) ( X 3)(Y 3)}
第二章
而 P( X i) Ci3 0.6i 0.43i ; P(Y j ) C3j 0.7 j 0.33 j ;
所以，所求的概率为
0 0 P( X Y ) C 3 (0.6) 0 (0.4)3 C3 (0.7) 0 (0.3)3 1 2 1 1 2 C1 (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3 2 2 C3 (0.6) 2 (0.4)1 C3 (0.7) 2 (0.3)1 3 0 3 3 0 C3 (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3
1 2 0 0 3 2 2 1 0 0 3 C1 (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) C (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3 3 3
1 2 0 0 3 C (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) C1 (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3
第二章
求 (1) P{X 2}, P{0 X 3}, P{2 X 5 / 2}.
解 P{ X 2} P{ X 2} FX (2) ln 2.
第二章
P{0 X 3} FX (3) FX (0)
1 0 1.
P{2 X 5 / 2} P{2 X 5 / 2}
Φ(0.5) 1 Φ(2.5)
0.6915 1 0.9938 0.6977. 33 P{ X 3} 1 P{ X 3} 1 Φ 2 1 Φ(0) 1 0.5 0.5.
第二章
(2) 确定c, 使得 P{ X c} P{ X c}; 由 P{ X c} P{ X c} 得
0.00856
第二章
(3)
P( X 3) 1 P( X 4) P( X 5) C (0.1)
5 5
5
1 C (0.1) (0.9) 0.99954
4 5 4
1
(4) 考虑对立事件进行求解，则至少有1个设备被
使用的概率为：
P{X 1} 1 - P{X 1} 1 - P{X 0}