二项分布及泊松分布

可见， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
问(1)若只配备一名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？
“若只配备一名工人”那么只要同时发生故 障的设备的台数X大于1，其中的X-1 台设备就
会得不到及时维修。即所求为 P( X 1)
同理，“若只配备两名工人”那么只要同时 发生故障的设备的台数X大于2即可。所求为
想观看二项分布的图形随参数n,p的具体 变化，请看演示
二项分布
例5 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修 工人 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立， 发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一 台设备的故障可由一人来处理 . 问:
(1)若只配备一名工人，则设备发生故障而不 能及时维修的概率是多少？
至 达到最大值, 随后单调减少.
0...
n
当(n+1)p不为整数时，二项概率 P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；
n=10,p=0.7
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
二项分布的图形特点： X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增加时 ,Pk
概率P(X=k) 先是随之增加直
至 达到最大值, 随后单调减少.
称X服从0-1分布 X~B(n,p)
例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中 恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
..
..n
0 n=13,p=0.5
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.
P(X k) P( X k 1)
C
k n
pk q nk
Cnk Байду номын сангаас pk 1qnk
1
(n k 1) p kq
(n 1) p k(1 q) (n 1) p k kq
kq
kq
1 (n 1) p k (k 1,2 , n) kq
当k (n 1) p时，P( X k) P( X k 1)，
此时P( X k)随着k的增加而上升；
当k (n 1) p时，P( X K ) P( X K 1), 此时随着k的增加而下降;
当k (n 1) p为正整数时, P( X k) P( X k 1), 此时P( X k)在 k (n 1) p及(n 1) p 1都达到最大值; 若(n 1) p不是整数，则k [(n 1) p]时 达到最大值。
则 X ~ B (3, 0.05)， 于是，所求概率为：
P(X 2)C32(0.05)2(0.95) 0.007125
注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那 么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时， 只能用古典概型求解.
P(X 2)CC91513C0052 0.00618
可以简单地说，
(2)若配备两名工人，则设备发生故障而不能 及时维修的概率是多少？
(3) 若使设备发生故障时不能及时维修的概 率小于0.01，至少应配备多少工人?
我们先对题目进行分析： 300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01 . 一台设备故障一人来处理.
设X为300台设备同时发生故障的台数， 300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努利概型.
P( X 2)
300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 . 一 台设备故障一人来处理.
问(3) 需配备多少工人，若使设备发生故障时不 能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数，
X~B(n,p)，n=300, p=0.01
设需配备N个工人， 所求的是满足
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重复”是 指这次试验中各次试验条件相同 )，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率
都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验， 简称贝努利试验或贝努利概型.
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上
的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡
数.
X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k灯泡0,的1,2使,3用
P(X 1) =P(X=0)+P(X=1时) 数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” =(0.2)3+3(0视.8)为(0“.2)成2 功”.每次试验 “成功”的概率为0.8
=0.104
二项分布的图形特点： X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增加时 ,
Pk
概率P(X=k) 先是随之增加直
P{X k}C4k pk(1 p)4k, k0,1,2,3,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得， X的概率函数是：
P{
X
k}C3k
(
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个
互做逆“的成结功果”：和A“或失败”，A. 或者形象地把两个互逆结果叫
一、 贝努利概型 和 二项分布 例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中 “男孩”的个数.
我们来求X的概率分布.
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p.
X=0
X =1 X =2 X =3 X =4
男女
X的概率函数是：
X可取值0,1,2,3,4.
用X表示n重贝努利试验中事件A（成功）出现的 次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, , n
不难验证： （1） P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
当n=1时， 称r.vX服从参数为n和p的二项P(分X=布k)，=p记k(1作-p)1-k,k=0,1