九年级相似三角形射影定理和比例中项经典讲义
射影定理与比例中项
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上
射影与斜边的比例中项．即CD 2=AD ·BD ；AC 2=AD ·AB ；BC 2
=BD ·AB
比例中项：如果 a:b=b:c ，或b 2=ac ，那么，b 就叫做a 、c 的比例中项。
1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD
CD =
（ ）
A 、34
B 、43
C 、169
D 、916
4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3DE AC ADE CDE
⊥∠=∠，则E D B ∠=（ ）
A 、22.5
B 、
30 C 、
45 D 、
60
【填空题】
5、ABC 中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD=____，AC= ____，
22:AB AC = ___________。
6、如图2-1，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC=_____．
7、如图已知CD 是△ABC 的高，DE ⊥CA, DF ⊥CB ，求证：△CEF ∽△CBA
8、已知90CAB ∠=，AD CB ⊥，△ACE ，△ABF 是正三角形，求证：DE DF ⊥
9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E
是垂足，求证：
DE =
10、如图（３），已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，高AD 、BE 交于点Ｈ，
求证： DH ?DA=
4
1
BC 2
11、已知如图△ABC 中，AD 平分∠ABC ，AD 的垂直平分线交AB 于点Ｅ，交AD 于点Ｈ，交AC 于点Ｇ，交BC 的延长线于点Ｆ， 求证：DF 2＝CF ?BF
B
F
参考答案
1、C
2、B
3、C
4、C 5
、3,4:1
6、 8
7、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得，
2
CD CE AC =， 在Rt BCD 中，同理得 2
CD CF BC =
,CE BC
CE AC CF BC CF AC ∴=∴
= 又ECF BCA ∠=∠，CEF
CBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中，
22,AC CD CB AB BD
BC == AC CD AD
AB CD BD AD AD BD ∴
=====
,,AE AD
AC AE AB AF BF BD ==∴=
60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴∴∠=∠
90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥
9、证明：在Rt AMB 与Rt ADE 中，
AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE
所以
AB AM
DE AD =，因为AB=a ，BC=b
， 所以AB AD
DE AM
=
==
10、证△ABD ∽△BDH 即可
11、证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，
∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，
∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ
，
∴ＡＦ２＝ＣＦ?ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。
B
F
2017中考射影定理及其运用
相似三角形------射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。 一、射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD２＝ＢＤ?AD、 ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或 ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。 二、变式推广 １．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ? ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。 ２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣ Ｂ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中， Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤ Ｂ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。 三、应用 例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ， 求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得 ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。 （证明略）
相似三角形全讲义(教师版)
相似三角形全讲义(教师版)
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相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
相似三角形之射影定理
相似三角形之射影定理 1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ） A 、1.24cm B 、1.26cm C 、1.28cm D 、1.3cm 2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、在Rt ABC 中，90BAC ∠= ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD =（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、9 16 4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1 ,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60 【填空题】 5、ABC 中，90A ∠= ，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ， 22:AB AC = 。 6、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥， AC=6，AD=3.6，则BC= ．
【解答题】 7、已知CD 是ABC 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽ 8、已知90CAB ∠= ，AD CB ⊥，ACE ，ABF 是正三角形，求证：DE DF ⊥ 9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证： DE =
参考答案 1、C 2、B 3、C 4、C 5 、3,4:1 6、 8 7、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得， 2CD CE AC = ，在R t B C 中， 2C D C F B C = ,CE BC CE AC CF BC CF AC ∴=∴ = 又ECF BCA ∠=∠ ，CEF CBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中， 22,AC CD CB AB BD BC == AC CD AD AB AD BD ∴===== ,,AE AD AC AE AB AF BF BD ==∴ = 60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠ 又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴ ∴∠=∠ 90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥ 9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE 所以AB AM DE AD = ，因为AB=a ，BC=b ，
相似三角形---射影定理的运用
相似三角形--- 射影定理的运用
相似三角形 - 射- 影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路” 时，“柳暗花明又一村” 地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，２则有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略） 二、变式推广 １．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。 （证明略） ２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D 为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可，当点Ｄ后文简称： 中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△
得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ
ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ ＤＣＢ＝∠Ａ。 （证明略） 三、应用 例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求 证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900- ∠C ＝ ∠ HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成 立。 （证明略） 例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。 分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ Ｄ ＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故 有ＣＤ２＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８ （解略） 例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中， ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交Ａ Ｂ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， 求证：ＤＦ２＝ＣＦ?Ｂ 证明：连ＡＦ，∵Ｆ垂直平分ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ，ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ， ∵ＡＤ平分∠ＢＦ Ｈ ∠ Ａ
初三相似三角形讲义
初三相似三角形讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置， 这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△ A / B / C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比 例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b= c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3
(完整版)相似三角形中的射影定理
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
初中数学相似三角形的运用~~讲义、练习
C B A 相似三角形运用 班级________姓名___________ 【基础练习】： 1.如图所示，若点C 是AB 的黄金分割点，AB ＝1，则A C=___ ，BC=_____ ； 2.如图,在等腰三角形ABC 中,∠A=36°,BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线,BD 、CE 相交于点O,则图中的黄金三角形有______个。 3．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ， 如图（1）所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为 ____ 4．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 【典型例题】： 例1．（1）如图，以A 为位似中心，将四边形ABCD 放大为原来的2倍． （2）以O 为位似中心，将四边形ABCD 按位似比1:2缩小。 例2.（1）如图的五角星中, AC AB 与BC AC 的关系是( ) A 、相等 B 、AC AB >BC AC C 、AC AB 相似三角形----射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。 一、射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（1） : R t^ABC中，若CD为高， 贝U有C D 2=BD? AD、 BC 2=BD ?AB或 AC 2 =AD ?AB。 二、变式推广 1 ?逆用如图（1）:若AABC中，CD为高，且有DC 2 =BD? AD或AC 2 =AD ?AB或BC 2 = BD ?AB，则有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AABC为 直角三角形。 2 ?—般化，若AABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（2） : △ABC中，D 为AB上一点，若ZCDB = ZACB，或/DC B = ZA，则有△CDBs^ACB，可得B C 2 =BD?AB ;反之，若AABC 中， D为AB上一点，且有BC 2 =BD ?AB，则有△CDBs^ACB，可得到/CD B=/ACB，或/DCB=/Ao 三、应用 例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中，AB = AC,高AD、BE交于点H, 求证：4DH ?DA=BC 2 分析：易证/BAD = /CAD =90°-/C = /HBD，联想到射影定理变式（2）,可得BD 2 =DH ?DA，又BC=2BD，故有结论成立。 （证明略） 例2 如图（4）:已知OO中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦AC分为4和12 两部分，求DC。 分析：易得到/DBC = /ABD = /DCE, 满足射影定理变式（2）的条件，故有CD 2 =DE ?DB, 知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是： BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若 A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD 2=AD?BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB?CD=AC?BC→比例式证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法 2、间接法：⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换； ⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若d c b a, , ,是四条线段，欲证 d c b a =，可先证得 f e b a =（f e,是两条线段）然 后证 d c f e =，这里把 f e 叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD ②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形,求证：BD?CN=BM?CE． ③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证：BP?PC=BM?CN D C A word. 相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 相似三角形(二)（射影定理及角平分线的性质） 射影定理： 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt △ABC 中，∠C=90o，则 2 + 2 = 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt △ABC 中，∠C=90o，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC = 2 2 ③射影定理： CD 2 = · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ， S△ABC=20，AB=10。求AD 、BD 的长. B A 2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D 。（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。 【典型例题】 例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。 求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3 A M C D C 相似三角形的存在性（讲义） 知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图 结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例： 一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求 解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解． 精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使 点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为． 3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴 交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1． （1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）． （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由． 第1讲 相似图形与成比例线段 【学习目标】 1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。 2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。 【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。 【学习难点】成比例线段概念。 【学习过程】 知识点一：比例线段 定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中 两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比 ，如果 a c b d = ，那么就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 例：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 判断这四条线段是否成比例？ 解： 练习一： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC 、CD DE 、AC BE 、AC CD （2）试指出图中成比例线段 2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cm 、0.8cm 、12mm 判断这四条线段是否成比例？ 3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是 2 4、已知A 、B 两地的实际距离是250m 若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是___________ 5、已知线段a= 12、 b =2+、c=2-a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>，则 y =__________ 6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ） A a=3 b=6 c=2 d=4 d= C a=4 b=6 c=5 d=10 D 知识点二：比例线段的性质 比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b = （2） 合比性质：如果 a c b d =，那么a b c d b d ±±= 初三数学相似三角形知 识点归纳 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作： c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质: bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： n m b a = 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ，= ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或. 第1讲相似图形与成比例线段 【学习目标】 1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。 2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。 【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。 【学习难点】成比例线段概念。 【学习过程】 知识点一：比例线段 定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两 条线段的比，如果a c b d ，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线 段，简称比例线段。 例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？ 解： 练习一： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC、 CD DE、 AC BE、 AC CD （2）试指出图中成比例线段 2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？ 3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？ 4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的 比是___________ 5、已知线段a= 12、 b =2+c=2若a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>， 则y =__________ 6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ） A a=3 b=6 c=2 d=4 C a=4 b=6 c=5 d=10 知识点二：比例线段的性质 比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b = （2） 合比性质：如果 a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3） 等比性质：如果 a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么 a c e m a b d f n b ++++=+++ + 例2 填空： 如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b -= 练习二： 1、已知35a b =，求a b a b +- 2、若 234a b c ==，则23a b c a ++=_________ 3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ） A m x n y = B m n y x = C y m x n = D x y n m = 4、已知570x y -=，则 x y =_______ *欧阳光明*创编 2021.03.07 相似三角形------射影定理的推广及应用 欧阳光明（2021.03.07） 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。 一、射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD２＝ＢＤ?AD、 ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或 ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。 二、变式推广 １．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为 高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。 ２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若 ∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤ Ｂ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△Ａ ＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ， 则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣ Ｂ＝∠Ａ。 三、应用 例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ ２ 分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C ＝∠HBD ，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝ ２ＢＤ，故有结论成立。 （证明略） 例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。 分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２ ＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８ (解略) 例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡ Ｃ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， 求证：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。 证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分 ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡ Ｄ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡ Ｄ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共， ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ ， ∴ＡＦ２＝ＣＦ?ＢＦ，∴ＤＦ２ ＝ＣＦ?ＢＦ。 相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 相似三角形中的射影定 理 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= · AC2= · BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD 的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。B A 【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o ，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF A B M C N D C 相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得 到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长2017中考射影定理及其运用
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