相似三角形六大证明技巧
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回顾相似三角形的判定方法总结:
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边成比例的两个三角形相似.(SSS )
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)
4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一:反A 型:
如图,已知△ABC ,∠ADE =∠C ,若连CD 、BE ,进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程
模型二:反X 型:
如图,已知角∠BAO =∠CDO ,若连AD ,BC ,进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程
应用练习:
1. 已知△ABC 中,∠AEF=∠ACB ,求证:(1)AE AB AF AC ⋅=⋅(2)∠BEO=∠CFO ,
∠EBO=∠FCO (3)∠OEF=∠OBC ,∠OFE=∠OCB
相似三角形6大证明技巧
相似三角形证明方法之反A 型与反X 型
O
F E
C
B
A E
D
C
B
A
O D
C
B
A
2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90∘,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P .
(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证: △APQ ∽ △ABC ; (2)当 △PQB 为等腰三角形时,求 AP 的长。
模型三:射影定理
如图已知△ABC ,∠ACB =90°,CH ⊥AB 于H ,求证:2AC AH AB =⋅,2BC BH BA =⋅,,2HC HA HB =⋅,试一试写出具体证明过程
模型四:类射影
如图,已知2AB AC AD =⋅,求证:BD AB
BC AC
=,试一试写出具体证明过程
相似三角形证明方法之射影定理与类射影
C
A
B
H
A B
C
D
应用练习:
1.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 。
求证:
2.如图,在ABC △中,AD BC ⊥于D ,DE AB ⊥于E ,DF AC ⊥于F ,连EF ,求证:∠AEF =∠C
F
E
D
C
B
A
模型五:一线三等角
如图,已知∠B =∠C =∠EDF ,则△BDE ∽△CFD (AA ),试一试写出具体证明过程
图3
图2
图1
E
F
F
C
B
B
C C B
A
D E
D A
E
D A
应用练习:
1.如图,△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合.将△DEF 绕点E 旋转,旋转过程中,线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .
(1) 如图①,当点Q 在线段AC 上,且AP=AQ 时,求证:△BPE ≌△CQE ; (2) (2)如图②,当点Q 在线段CA 的延长线上时,求证:△BPE ∽△CEQ ;
并求当BP=a ,CQ=9a/2 时,P 、Q 两点间的距离(用含a 的代数式表示)
相似三角形证明方法之一线三等角
2.△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B (1)如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.
(2)如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.
(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC 的面积的时,求线段EF的长.
3.如图,点在线段上,点、在同侧,,,。
(1)求证:。
(2)若,,点为线段上的动点,连接,作,交直线于点。
①当点与、两点不重合时,求的值。
②当点从点运动到的中点时,求线段的中点所经过的路径(线段)长。
(直接写出结果,不必写出解答过程)
通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A 型,X 型,线束型),也离不开上述的6种“相似模型”. 但是“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。
在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧. 技巧一:三点定型法 技巧二:等线段代换 技巧三:等比代换 技巧四:等积代换 技巧五:证等量先证等比 技巧六:几何计算
横向与纵向观察所证线段比列式(如果是等积式,则将其化为等比式)的分子分母,三个字母即可确定三角形,从而证三角形相似即可。
1.如图,在Rt ABC △中,AD 是斜边BC 上的高,ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ,交AD 于
F .求证:
BF AB
BE BC
=.
2.如图,平行四边形ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F ,求证:DC CF AE AD
=.
3.如图,ABC △中,90BAC ∠=︒,M 为BC 的中点,DM BC ⊥交CA 的延长线于D ,交AB 于E .求证:2AM MD ME =⋅
比例式的证明方法之三点定型 技巧一:三点定型
A
B
C
F
D
E
C
B
A
E D
M
D
B
A
C
F
E
若三点定型法无法确定哪两个三角形相似,则考虑用等量代换替代其中线段,然后再用三点定型法确定三角形证相似,常用的方法有:等线段代换,等比代换,等积代换 【例1】 如图,在△ABC ,AD 平分∠BAC ,AD 的垂直平分线交AD 于E ,交BC 的延长线于
F ,求证:2FD FB FC =⋅
证明:连接AF,
是
的平分线,
,
是AD 的垂直平分线,
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),
(等边对等角),
,,
,
又
, ,
【例2】 如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在边BA 的延长线上,CE 交AD 于F ,
比例式的证明方法之等线段代换 A
B
C
D E
F
ECA D ∠=∠.求证:AC BE CE AD ⋅=⋅.
【例3】 如图,△ACB 为等腰直角三角形,AB=AC ,∠BAC=90°,∠DAE=45°,求证:
2AB BE CD =⋅
【例4】 如图,ABC △中,AB AC =,AD 是中线,P 是AD 上一点,过C 作CF AB ∥,
延长BP 交AC 于E ,交CF 于F .求证:2BP PE PF =⋅.
比例式的证明方法之等比代换
C
B
A D E
F
A
B
C
D E
C B
A
D
P E
F
【例5】 如图,平行四边形ABCD 中,过B 作直线AC 、AD 于O ,E 、交CD 的延长线
于F ,求证:2OB OE OF =⋅.
【解题方法提示】
要证OB 2=OF·OE ,即证=,接下来你有思路了吗?
因为AB ∥CE ,由平行线分线段成比例定理,可得=;
同理因为AF ∥BC ,可得=,由等式的传递性,问题即可得证.
证明:∵AB ∥CE , ∴
=
.
∵AF ∥BC , ∵=, ∴=
,
∴OB 2=OE·OF .
【例6】 如图,在ABC △中,已知90A ∠=︒时,AD BC ⊥于D ,E 为直角边AC 的中点,
过D 、E 作直线交AB 的延长线于F .求证:AB AF AC DF ⋅=⋅.
【例7】 如图,在ABC △中(AB >AC )的边AB 上取一点D ,在边AC 上取一点E ,使
AD AE =,直线DE 和BC 的延长线交于点P .求证:BP CE CP BD ⋅=⋅
E
F
C
A
B
D
例8.(1)如图1,在△ABC 中,点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上,且DE ∥BC ,AQ 交DE 于点P ,求证:
BQ DP =PC
PE
; (2)如图,△ABC 中,∠BAC=90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF 分别交DE 于M ,N 两点. ①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN 的长; ②如图3,求证:MN 2=DM•EN .
比例式的证明方法之等积代换
E C
D
B
A
P
P M
N
D
A
B
C
【例8】 如图,ABC △中,BD 、CE 是高,EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长
线于M .求证:2HE HG MH =⋅.
A B
C
D
E H
G
M
【例9】 如图,在ABC △中,90BAC ∠=︒,D 为AC 中点,AE BD ⊥,E 为垂足,求证:
CBD ECD ∠=∠.
C
B
A
D
E
【例10】 在Rt △ABC 中,AD ⊥BC ,P 为AD 中点,MN ⊥BC ,求证2MN AN NC =⋅
11.如图,已知△ABC 中,AD ,BF 分别为BC ,AC 边上的高,过D 作AB 的垂线交AB 于E ,
交BF 于G ,交AC 延长线于H 。
求证: DE 2
=EG•EH
比例式的证明方法之证等量先证等比
【例11】 已知,平行四边形ABCD 中,E 、F 分别在直线AD 、CD 上,EF //AC ,BE 、BF
分别交AC 于M 、N .,求证:AM =CN.
【例12】 已知如图AB =AC ,BD //AC ,AB //CE ,过A 点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求
证:AM =NC ,MN //DE .
【例13】 如图,△ABC 为等腰直角三角形,点P 为AB 上任意一点,PF ⊥BC ,PE ⊥AC ,
AF 交PE 于N ,BE 交PF 于M .,求证:PM =PN ,MN //AB .
【例14】 如图,正方形BFDE 内接于△ABC ,CE 与DF 交于点N ,AF 交ED 于点M ,CE
C B A
P E
F N M
F
M
N
E
D
C
B A D
C
B
A
E
M N
与AF 交于点P . 求证:(1)MN //AC ;(2)EM =DN .
【例15】 (※)设E 、F 分别为AC 、AB 的中点,D 为BC 上一点,P 在BF 上,DP //CF ,
Q 在CE 上,DQ //BE ,PQ 交BE 于R ,交CF 于S ,求证:13
RS PQ
【例16】 (※)如图,梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ,过M 作MK //BD ,MN //AC ,
分别交AD 、BC 于K 、N ,连KN ,分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ,求证:KP =QN .
P
N
M E
F
D A
B
C
C
B
A
D
P Q
S
E F
G
R
Q
N
S
P
R
K
M
O D
C B
A
【例17】(2016年四月调考)如图,在△ABC中,AC>AB,AD是角平分线,AE是中线,BF⊥AD于G,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H.(1)求证:AH=BH,(2)
若∠BAC=60°,求FG
DG
的值.
H M
F
G
E
D C
B
A
【例18】(2016七一华源)如图:正方形ABCD中,点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上,∠1=∠2=∠3=α. 求证:(1)EF+EG=AE(2)求证:CE+CG=AF 比例式的证明方法之几何计算
比例式的证明方法之动点问题
运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形,此时分类讨论思想在动
态问题中尤其重要,应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。
利用相似三角形对应
边成比列为等量关系,建立方程求解,进而解决问题。
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射
线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.
2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.
(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析
式;
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.
3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB 交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.
(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;
(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?
4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P 点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、
Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
模型三:射影定理
如图已知△ABC ,∠ACB =90°,CH ⊥AB 于H ,求证:2AC AH AB =⋅,2BC BH BA =⋅,,2HC HA HB =⋅,试一试写出具体证明过程
模型四:类射影
如图,已知2AB AC AD =⋅,求证:BD AB
BC AC
=,试一试写出具体证明过程
应用练习:
1.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 。
求证:
2.如图,在ABC △中,AD BC ⊥于D ,DE AB ⊥于E ,DF AC ⊥于F ,连EF ,求证:∠AEF =∠C
C
A
B
H
A B
C
D F
E
D
C
B
A
模型五:一线三等角
如图,已知∠B =∠C =∠EDF ,则△BDE ∽△CFD (AA ),试一试写出具体证明过程
图3
图2
图1
E
F
F
C
B
B
C C B
A
D E
D A
E
D A
应用练习:
1.如图,△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合.将△DEF 绕点E 旋转,旋转过程中,
相似三角形证明方法之一线三等角
线段DE 与线段AB 相交于点P,线段EF 与射线CA 相交于点Q.
(3)如图①,当点Q 在线段AC 上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;(4)(2)如图②,当点Q 在线段CA 的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;
并求当BP=a,CQ=9a/2 时,P、Q 两点间的距离(用含a 的代数式表示)
2.△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B (1)如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.
(2)如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交
线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图
中所有的相似三角形,并证明你的结论.
(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC 的面积的时,求线段EF的长.
3.如图,点在线段上,点、在同侧,,,。
(1)求证:。
(2)若,,点为线段上的动点,连接,作,交直线于点。
①当点与、两点不重合时,求的值。
②当点从点运动到的中点时,求线段的中点所经过的路径(线段)长。
(直接写出结果,不必写出解答过程)
通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A型,X型,线束型),也离不开上述的6种“相似模型”. 但是“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。
在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧.
技巧一:三点定型法
技巧二:等线段代换
技巧三:等比代换
技巧四:等积代换
技巧五:证等量先证等比
技巧六:几何计算
横向与纵向观察所证线段比列式(如果是等积式,则将其化为等比式)的分子分母,三个字母即可确定三角形,从而证三角形相似即可。
1.如图,在Rt ABC
△中,AD是斜边BC上的高,ABC
∠的平分线BE交AC于E,交AD于
F.求证:BF AB
BE BC
=.
比例式的证明方法之三点定型
技巧一:三点定型
A
E
2.如图,平行四边形ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F ,求证:DC CF AE AD
=.
3.如图,ABC △中,90BAC ∠=︒,M 为BC 的中点,DM BC ⊥交CA 的延长线于D ,交AB 于E .求证:2AM MD ME =⋅
若三点定型法无法确定哪两个三角形相似,则考虑用等量代换替代其中线段,然后再用三点定型法确定三角形证相似,常用的方法有:等线段代换,等比代换,等积代换 【例19】 如图,在△ABC ,AD 平分∠BAC ,AD 的垂直平分线交AD 于E ,交BC 的延长线于
F ,求证:2FD FB FC =⋅
证明:连接AF,
是
的平分线,
,
是AD 的垂直平分线,
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),
(等边对等角),
,
比例式的证明方法之等线段代换 A
B
C
F
D
E
C B
A E
D
M
A
B
C
D E
F
,
,
又
, ,
【例20】 如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在边BA 的延长线上,CE 交AD 于F ,
ECA D ∠=∠.求证:AC BE CE AD ⋅=⋅.
【例21】 如图,△ACB 为等腰直角三角形,AB=AC ,∠BAC=90°,∠DAE=45°,求证:
2AB BE CD =⋅
【例22】 如图,ABC △中,AB AC =,AD 是中线,P 是AD 上一点,过C 作CF AB ∥,
C
B
A D E
F
A
B
C
D E
延长BP 交AC 于E ,交CF 于F .求证:2BP PE PF =⋅.
【例23】 如图,平行四边形ABCD 中,过B 作直线AC 、AD 于O ,E 、交CD 的延长线
于F ,求证:2OB OE OF =⋅.
【解题方法提示】
要证OB 2=OF·OE ,即证=,接下来你有思路了吗?
因为AB ∥CE ,由平行线分线段成比例定理,可得=;
同理因为AF ∥BC ,可得=,由等式的传递性,问题即可得证.
证明:∵AB ∥CE , ∴
=
.
∵AF ∥BC , ∵
=,
比例式的证明方法之等比代换 C B
A
D
P E
F
∴=,
∴OB 2=OE·OF .
【例24】 如图,在ABC △中,已知90A ∠=︒时,AD BC ⊥于D ,E 为直角边AC 的中点,
过D 、E 作直线交AB 的延长线于F .求证:AB AF AC DF ⋅=⋅.
【例25】 如图,在ABC △中(AB >AC )的边AB 上取一点D ,在边AC 上取一点E ,使
AD AE =,直线DE 和BC 的延长线交于点P .求证:BP CE CP BD ⋅=⋅
例8.(1)如图1,在△ABC 中,点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上,且DE ∥BC ,AQ 交DE 于点P ,求证:
BQ DP =PC
PE
; (2)如图,△ABC 中,∠BAC=90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,
E C
D
B
A
P
E
F
C
A
B
D
连接AG ,AF 分别交DE 于M ,N 两点.
①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN 的长; ②如图3,求证:MN 2=DM•EN .
【例26】 如图,ABC △中,BD 、CE 是高,EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长
线于M .求证:2HE HG MH =⋅.
A B
C
D
E H
G
M
【例27】 如图,在ABC △中,90BAC ∠=︒,D 为AC 中点,AE BD ⊥,E 为垂足,求证:
CBD ECD ∠=∠.
比例式的证明方法之等积代换
P M
N
D
A
B
C
C
B
A
D
E
【例28】 在Rt △ABC 中,AD ⊥BC ,P 为AD 中点,MN ⊥BC ,求证2MN AN NC =⋅
11.如图,已知△ABC 中,AD ,BF 分别为BC ,AC 边上的高,过D 作AB 的垂线交AB 于E ,
交BF 于G ,交AC 延长线于H 。
求证: DE 2
=EG•EH
【例29】 已知,平行四边形ABCD 中,E 、F 分别在直线AD 、CD 上,EF //AC ,BE 、BF
分别交AC 于M 、N .,求证:AM =CN.
【例30】 已知如图AB =AC ,BD //AC ,AB //CE ,过A 点的
直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证:AM =NC ,MN //DE .
比例式的证明方法之证等量先证等比
F
M
N
E
D
C
B A D
A
E
N
【例31】 如图,△ABC 为等腰直角三角形,点P 为AB 上任意一点,PF ⊥BC ,PE ⊥AC ,
AF 交PE 于N ,BE 交PF 于M .,求证:PM =PN ,MN //AB .
【例32】 如图,正方形BFDE 内接于△ABC ,CE 与DF 交于点N ,AF 交ED 于点M ,CE
与AF 交于点P . 求证:(1)MN //AC ;(2)EM =DN .
【例33】 (※)设E 、
F 分别为AC 、AB 的中点,D 为BC 上一点,P 在BF 上,DP //CF ,
C
B
A
P E
F
N M
P
N
M E
F
D A
B C
A
Q
E F
G
Q 在CE 上,DQ //BE ,PQ 交BE 于R ,交CF 于S ,求证:13
RS PQ
【例34】 (※)如图,梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ,过M 作MK //BD ,MN //AC ,
分别交AD 、BC 于K 、N ,连KN ,分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ,求证:KP =QN .
【例35】 (2016年四月调考)如图,在△ABC 中,AC >AB ,AD 是角平分线,AE 是中线,
BF ⊥AD 于G ,交AC 于点M ,EG 的延长线交AB 于点H .(1)求证:AH =BH ,(2)若∠BAC =60°,求
FG
DG
的值. H M
F G
E
D C
B
A
【例36】 (2016七一华源)如图:正方形ABCD 中,点E 、点F 、点G 分别在边BC 、AB 、
CD 上,∠1=∠2=∠3=α. 求证:(1)EF +EG =AE (2)求证:CE +CG =AF
比例式的证明方法之几何计算
Q
N
S
P
R
K
M
O D
C B
A
运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形,此时分类讨论思想在动
态问题中尤其重要,应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。
利用相似三角形对应
边成比列为等量关系,建立方程求解,进而解决问题。
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.
2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A 点出发,
沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.
(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.
3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB 交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.
(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;
(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?
4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的
速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的
时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明
理由.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开
始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以
1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间
(0<t<6)。
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
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