高中数学必修5等差数列精品教案

等差数列

●教学目标

知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定

义判断一个数列是等差数列 ; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用

通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的

能力，积极思维，追求新知的创新意识。

●教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式。

●教学难点

等差数列的性质

●教学过程

Ⅰ. 课题导入

[ 创设情境 ]

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项

公式、递推公式、图象法. 这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。

课本 P41 页的 4 个例子：

①0， 5， 10， 15， 20， 25，⋯

②48， 53，58， 63

③18， 15.5 ， 13， 10.5 ， 8，5.5

④10072， 10144， 10216， 10288， 10366

观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每

相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征

的数列一个名字——等差数列

Ⅱ . 讲授新课

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列 { a n }, 若 a n－ a n 1 =d ( 与 n 无关的数或字母 ) ，n≥ 2，n∈

N ，则此数列

是等差数列， d 为公

差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分

别是什么？

2．等差数列的通项公式：a n a1 (n 1)d 【或

a n

a m (n

m)d 】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列

a n

的首项是

a1，公

差是 d，则据其定义可得：

a2a1 d 即： a

2

a1 d

a3a2 d 即： a

a2 d a1 2d

3

a4a3 d 即： a4a3 d a13d

⋯⋯

由此归纳等差数列的通项公式可得：a n a1(n 1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差 d，便可求得其通项a n。

由上述关系还可得：a m

a1(m 1)d

即： a1a m(m 1)d

则： a n a1(n 1)d = a m(m 1)d (n 1) d a m(n m)d

即等差数列的第二通项公式a n a m(n m)d

am

a

n ∴ d=

n

m

[ 范例讲解 ]

例1 ⑴求等差数列 8， 5， 2⋯的第 20 项

⑵-401 是不是等差数列 -5， -9， -13⋯的项？如果是，是第几项？

解：⑴由 a1

8, d 5 8 2 5 3 n=20 ，得 a208 (20 1) ( 3)49

⑵由 a15, d 9 ( 5) 4 得数列通项公式为：a n 5 4( n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得

401 5 4(n 1)

成立解之得

n=100，

即-401 是这个数列的第100 项

例 3 已知数列 { a n } 的通项公

式 a n pn q ，其中 p 、 q 是常数，那么这个数列是否一定

是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，

要判定a n 是不是等差数列，只要

看a n

a n 1（ n≥ 2）是

不

是一个与 n 无关的常数。

解：当 n≥ 2

时 , （取数列an 中的任意相邻两项

a n

1

与 a n

（ n≥2））

a n a n 1( pn q) [ p(

n1) q] pn q ( pn p q)

p 为常

数

∴ { a n } 是等差数列，

首项a1p q ，公差为 p。

注：①若 p=0 ，则 { a n } 是公差为0 的等差数列，即为常

数列

q， q， q，

⋯

②若 p≠ 0, 则 { a n } 是关于n 的一次式 ,从图象上看 ,表示数列的各点均在一次

函数

y=px+q 的图象上 ,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为q.

③数列 { a n } 为等差数列的充要条件是其通项a n =pn+q (p、q 是常数 )，称其为第 3

通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否

满足 3 个通项公式中的一个。

Ⅲ . 课堂练习

课本 P39 练习 1、 2、 3、 4

[ 补充练习 ]

1.（ 1）求等差数列3， 7， 11，⋯⋯的第 4 项与第 10 项 .

分析：根据所给数列的前 3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求

项.

解：根据题意可知：a1 =3,d=7－ 3=4.∴该数列的通项

公式为：

an =3+（n－ 1）× 4,即 an

=4n－ 1（ n≥1,n∈N* ）∴a4 =4 × 4－

1=15,

a10 =4× 10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

（ 2）求等差数列10， 8，6，

⋯⋯的第

20 项.

解：根据题意可知：a1 =10,d=8－10= － 2.

∴该数列的通项公式为：a n =10+（ n－ 1）×（－ 2）,即：a n =－ 2n+12, ∴ a20 =－ 2×20+12=

－28.

评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3） 100 是不是等差数列 2， 9，16，⋯⋯的项？如果是，是第几项？如果不是，说明

理由 .

分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得 a n等于这一数 .

解：根据题意可得：a1 =2,d=9－ 2=7. ∴此数列通项公式为： a n =2+ （ n－ 1）× 7=7n

－ 5.

令 7n－ 5=100, 解得： n=15, ∴ 100 是这个数列的第15 项 .

（4）－ 20 是不是等差数列 0，－3 1，－ 7，⋯⋯的项？如果是，是第几项？如果不是，

2

说明理由.

解

：

由

题

意可知：a

1=

,

d=－ 3