高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理
几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。

一基本知识剖析
1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2. 几何概型的概率公式：
/、构成事件A的区域长度（面积或体积）
3. 角度之比型
例4.如图所示，在等腰直角 VABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部做一条射线 CM ，与
4•“会面”类型的几何概型
例5.某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天 9点到10点之间的某一时刻到达该码
头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠 20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至
少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

5.与其他章节知识综合类
例6.已知两数 m n 是某事件发生的概率取值， 则关于x 的
一
兀一次方程 x nx m 0
有实根的概率是( )
1 1 1
1 A.
B.
C.
D.
2
4
8
16
试求：(1) AOC 为钝角三角形的概率；
(2) AOC 为锐角三角形的概率.
线段AB 交于点M ，求AM AC 的概率。

经典例题：如图, AOB 60°
， OA 2， OB
5，在线段OB 上任取一点C ，
当堂练习:
1.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3 ,质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85] （ g ）范围内的概率是（ ） A. 0.62 B. 0.38 C . 0.02 D . 0.68 2 .在长为10 cm 的线段AB±任取一点P ,并以线段AP 为边作正方形，这个正方形 的面积介于25 cm 2与 49 cm 2之间的概率为（ ） 10
3. 同时转动如图所示的两个转盘， 记转盘甲得到的数为x ,转盘乙得到的数为y , 构成数对（x , y ）,则所有数对（x , y ）中满足xy = 4的概率为（ ）
4. 如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两 种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为
9. 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早 晨5:00至7:00和下午5:00至6:00 ,则该船在一昼夜内可以进港的概率是 （） A.
B. C. D.
A.
16
A. 3 4
5.两人相约7点到8点在某地会面, 两人会面的概率为（ 1 4
A . 1
B . 4
3
9
6如图，某人向圆内投镖， 方形区
域的概率为（
2
1
A . 2
B . 1
C . 1 4
先到者等候另一人20分钟, D . 1
8
过时离去.则求 C. 5
D . 1
9
10
如果他每次都投入圆内，那么他投中正 ） ZI
7.如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（
A
1 f
1 1 A.
B.
C.-
8
4
2
8. 现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取
20ml 的蒸馏水，抽
到细菌的概率为 A .丄 B
100
1
C
20
1 10
A. 4
10
12
1
D .
45°，若向圆内投镖, )
3 4
10. 在区间［0,10］中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（
A. 5
11 .过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为（）
A. 2
12. 在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察， 则发现草履虫的概率是（ ） A. 0.5 B . 0.4 C . 0.004 D .不能确定
13. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个 平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（
c ） r r a r a r
A. a
B
. 2a
C
. a
D . 2a
14. 已知地铁列车每10min 一班，在车站停1mi n .则乘客到达站台立即乘上车的
概率为 ___________ .
15. 随机向边长为2的正方形ABC 中投一点P,则点P 与A 的距离不小于1且与 CPD 为锐角的概率是 ___________________ .
5
16 .在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于 -的概率是
.
6
17 .假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6: 30〜7: 30之间把报纸送到你 家，你父亲离开家去上班的时间为早上7: 00〜& 00之间，你父亲在离开家前能 拿到报纸的概率为 __________ .
18 .飞镖随机地掷在下面的靶子上.
（1） 在靶子1中，飞镖投到区域A 、B 、C 的概率是多少？
（2） 在靶子1中，飞镖投在区域A 或B 中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没 有投在区域C 中的概率是多少？
19 . 一只海豚在水池中游弋，水池为长 30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖 离岸边不超过2m 的概率.
20 .在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段， 求这三段可以构成三角形的 概率.
12
几何概型练习
1. 某广播电台每当整点或半点时就会报时， 某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广
播电台，问这人等待的时间不超过5
min 的概率是 ____________ .
2. 已知地铁列车每10min —班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为—
3. 在线段［0,3］上任取一点，其坐标小于1的概率是 _____________ .
4. 在地球上海洋占70.9%的面积，陆地占29.1%的面积，现在太空有一颗陨石正朝着地球的方 向飞来，将落在地球的某一角•你认为陨石落在陆地的概率约为 ___________________ ,落在我国 国土内的概率为 __________ .（地球的面积约为
5.1亿平方千米） 5
的概率是
（）
6
率有多大?
9.
在1万平方千米的海域中有 80平方千米的大陆架贮藏着石油 .假
设在海域中的任意一点
钻探,钻到油层面的概率是多少？
10.
在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球
，假定这个玻
璃球在沙子中的任何一个位置是等可
能的，若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率
.
11•甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率.
12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 能的，如果甲船停泊时间为 1h,乙船停泊时间为 空
5•从区间（0,1）内任取两个数
,则这两个数的和小于 A.
B.
C.
16 25
D.
17 25
6.A 是圆上固定的一定点 ,在圆上其他位置任取一点
大于等于半径长度的概率为 B,连接A B 两点，它是一条弦，它的长度
（）
A.
B.
C.
7.已知集合A=
9, 7, 5, 3, 1,0,2,4,6,8 ,在平面直角坐标系x0y 中，点x, y 的坐标
x A, y
A ,点x,y 正好在第二象限的概率是
A.
B.
C.
D.
&取一根长度为3 m 的绳子,
拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1
m 的概
,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可 2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头
出的概率.
§ 3.2几何概型
经典例题：解：如图，由平面几何知识： 当 AD OB 时，0D 1 ;
当 OA AE 时，0E 4，BE 1.
(1) 当且仅当点C 在线段0D 或BE 上时，AOC 为钝角三角形
记" AOC 为钝角三角形"为事件 M ，则P(M) 0D EB LJ 0.4
OB 5
即AOC 为钝角三角形的概率为0.4 .
(2) 当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC 为锐角三角，
DE 3
记"AOC 为锐角三角"为事件N ，则P(N) ——
-0.6
OB 5
即AOC 为锐角三角形的概率为0.6.
当堂练习：
1.B;
2.B;
3.C;
4.A;
5.C;
6.A;
7.A;
8.B;
9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.
丄；
15.
11
4 arcsin
5
; 16.
; 17. 87.5%;
_
72
2
1 2 3 18. (1)都是丄；(2) 2;3。

3
3 4
19. 解：由已知可得，海豚的活动范围在 26X 16卅的区域外,
20. 解：设构成三角形的事件为A ,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ， y ，10—(x + y )，
0 x 10 0 x 10
则
0 y 10 ，即0 y 10
0 10 (x y)
10 0
x y 10
由一个三角形两边之和大于第三边，有 x y 10 (x y)，即
5 x y 10 .
又由三角形两边之差小于第三边，有 x 5，即 0 x 5，同理 0 y 5 .
0 x 5
构造三角形的条件为 0
y 5
5 x y 10
所以海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率为P
1 3 30 20
0.308。

yi
O
5
10 x
满足条件的点P (x，y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域
的边界).
几何概型练习：
1 1
1.
2.
3.
6 11 5. D 6 . B
7 . C
1
-
4. 29.1%, 0.019
3
1
2
25
阴十25飞
1 2
S °AB = 10 =50 .
2
P(A)=
S 阴影1
S OMN
P （ A ）= —
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本
事件出现的可能性相等.
4. 几何概型与古典概型的比较 ：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而 几何概型
则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关， 即试验结果具有无限性， 是不可数的。

这是二者的不同之处；
另一方面，古典概型与几何概
型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理， 我们不难看出其要核是： 要抓住几何概型 具有无限性和等可能性 两个特点，无限性是指在一次试验中， 基本事件的个数可以是无限的， 这是区分几何概型与古典概型的关键所在； 等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均 等的，这是解题的基本前提。

因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形 的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积 （体积）和角度等” 之比来表示。

下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

&解：设事件A={剪得两段的长都不小于 1m},
把绳子三等分，当剪断位置处在中间一段时 事件A 发生.由于中间一段的长度为
1m,
所以由几何概率公式得： P(A)= 1. 3 9.解：记“钻到油层面”为事件则 贮藏石油的大陆架面积 P(A)=所有海域大陆架面积 80 10000
0.008
答：钻到油层的概率是 0.008. 10.解：记事件 A 为“取1立方米沙子中含有玻璃球”， 则事件A
发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为1:10. • • •玻璃球在沙子中任何位置等可能 ， •••由几何概型概率计算公式得 P(A)=丄. 10
11. 解：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间 ， 则两人能会面的充要条件是 | x y | 15.在平面上 建立直角坐标系如图所示，则(x , y )的所有可能结 果是边长60的正方形,而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，这是一个几何概型问题. 12. 解：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与y, A 为两艘船都不需要码头空出， x, y |x 0,24 ,要满足 A,则 y x 1 或 x y 2 •- A= x,y | y x 1 或x y 2,x 0,24 S A
S
(24
1)2 1
2
24 2 242
506.5 576
0.87934 .
二常见题型梳理
1. 长度之比类型例1.小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小
时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率.
例2在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm* 2 3 4与81cm之间的概率.
2. 面积、体积之比类型
例3. （08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐
标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距
离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的
概率为____________________ 。

11。