几何概型的经典题型及标准答案

几何概型的经典题型及答案

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几何概型的常见题型及典例分析

一．几何概型的定义

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：

（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A A P =

说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.

（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；

②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型

例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2

cos x

π的值介于0到

2

1

之间的概率为( ).

A.31

B.π

2

C.21

D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

4

区间长度有关，符合几何概型的条件.

解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos

2

x π的值介于

0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322

x πππ≤≤

∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3

2

，

由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2

1

之间的概率为

3

1232

===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.

例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间

再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？

思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．

解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三

等分，由于中间长度为30×3

1

=10米，

∴3

1

3010)(==E P .

方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．

例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空

间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对

应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦，

K K K1图1-2图1-1

O O M N E

F M

N E F

E1F1

5

直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有

2

21()2232K R L G KK OK R R ⎛⎫

===-= ⎪⎝⎭

以几何概率公式得()33

()22

A L G R P L G R =

==

。 [解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一

条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R

设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是

222R X R -≥,

解不等式，得 3x 2R ≤

所以 3()232

A L G R R == 于是 33

()22

R P A R =

= [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和

有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。 例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．

分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率． 解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于

“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P(A)= 9612-=

1

4 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习：

2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )