几何概型的经典题型及标准答案

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几何概型(有答案)

几何概型(有答案)
时刻(分钟),则
A
10 10
S
30
x
0 x 30
0 y 30
而二人会面 x y 10
SA P(A)= SS
302-202 = 302
9 5
练习:假设小明家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30至7:30之间把 报纸送到小明家,小明的爸爸离开家 去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到 报纸的概率是多少? 书本上P137例2
练习
在500ml的水中有一个草履虫,现 从中随机取出2ml水样放到显微镜下 观察,则发现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定
练习 取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米 1m 1m 的概率有多大?
3m
解:如上图,记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A,把绳子三等分,于 是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一,所以事件A发生的概率P (A)=1/3。
例9、(1)在面积为S的三角形ABC的AB边上 任取一点P,则三角形PBC的面积小于S∕2的 概率是___; (2)向面积为S的三角形ABC内任投一点P, 则三角形PBC的面积小于S∕2的概率是___;
典型例题讲解
例10、下图的矩形,长为5,宽为2, 在矩形内在随机地撒300颗黄豆,数 得落阴影部分的黄豆数为138颗,则 我们可以估计出阴影部分的面积 为 .
解题方法小结:

对于复杂的实际问题,解题的 关键是要建立概率模型,找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为 几何概型的问题,利用几何概 型公式求解。
练习

高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)

高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)

高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)一、古典概型1.互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件;对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,对立事件是互斥事件的特殊情况.(2)当事件A与B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),当事件A与B对立时,P(A+B)=P(A)+P(B)=1,即P(A)=1-P(B).(3)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P(A)求解.2.古典概型的求法对于古典概型概率的计算,关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m,有时需用列举法把基本事件一一列举出来,再利用公式P(A)=mn求出事件发生的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某种顺序,以保证不重复、不遗漏.1.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.[解]甲校两名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D 表示,两名女教师分别用E,F表示.(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果有:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率为P=4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果有:(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.所以,选出的2名教师来自同一学校的概率为P=615=25.注:解决与古典概型问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.2.某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角,后又从剩下的演员中挑选1名演配角.这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.13 B.110C.25 D.310解析:选D设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种.其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),故所求的概率为P=3 10.3.随着经济的发展,人们生活水平的提高,中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视.从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况,得下表:0.15.(1)求x的值;(2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取60名,问应在肥胖学生中抽多少名?(3)已知y ≥243,z ≥243,求肥胖学生中男生不少于女生的概率.解:(1)由题意得,从这批学生中随机抽取1名学生,抽到偏痩男生的概率为0.15,可知x3 000=0.15,所以x =450.(2)由题意,可知肥胖学生人数为y +z =500(人).设应在肥胖学生中抽取m 人,则m 500=603 000.所以m =10.即应在肥胖学生中抽10名.(3)由题意,可知y +z =500,且y ≥243,z ≥243,满足条件的基本事件如下: (243,257),(244,256),…,(257,243),共有15组.设事件A :“肥胖学生中男生不少于女生”,即y ≤z ,满足条件的(y ,z )的基本事件有:(243,257),(244,256),…,(250,250),共有8组,所以P (A )=815.所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815.二、几何概型(1)几何概型满足的两个特点:①等可能性;②无限性. (2)几何概型的概率求法公式P (A )=构成事件A 的区域长度(面积、体积)试验的全部结果长度(面积、体积).4.(1)已知平面区域D 1=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )| ⎩⎨⎧|x |<2,|y |<2,D 2={}(x ,y )|(x -2)2+(y -2)2<4.在区域D 1内随机选取一点P ,则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14 B.π4 C.π16D.π32(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________.[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14,从而所求概率P =14×22π42=π16,故选C.(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13木棒长度的区域内,故所求概率为2×13=23.[答案] (1)C (2)23 注:几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性,其概率就不能应用P (A )=mn 求解,因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.(2)在解题时要准确把握,要把实际问题作合理的转化;要注意古典概型和几何概型的区别,正确地选用几何概型的类型解题.5.如图,两个正方形的边长均为2a ,左边正方形内四个半径为a2的圆依次相切,右边正方形内有一个半径为a 的内切圆,在这两个图形上各随机撒一粒黄豆,落在阴影内的概率分别为P 1,P 2,则P 1,P 2的大小关系是( )A .P 1=P 2B .P 1>P 2C .P 1<P 2D .无法比较解析:选A 由题意知正方形的边长为2a .左图中圆的半径为正方形边长的14,故四个圆的面积和为πa 2,右图中圆的半径为正方形边长的一半,圆的面积也为πa 2,故P 1=P 2.6.在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析:选A 不等式-1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12≤log 1212,即12≤x +12≤2,解得0≤x ≤32,故由几何概型的概率公式得P =32-02-0=34.7.圆具有优美的对称性,以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用,如图1,图2,图3,图4,其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径,记图4中的阴影部分区域为M ,现随机往图4的圆内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率是( )A.34πB.334πC.2πD.3π解析:选B 设圆内每一个小正三角形的边长为r , 则一个三角形的面积为12×r ×32r =34r 2, ∴阴影部分的面积为334r 2. 又圆的面积为πr 2,∴点A 落在区域M 内的概率是334r 2πr 2=334π.。

几何概型的典型题型

几何概型的典型题型

几何概型的典型题型一、长度比(包括弧长比)1、A、P分别是一圆上的定点和一动点,求AP线段长超过此圆内接正三角形的边长的概率。

作圆内接等边三角形ABC,可知满足条件的点落在劣弧BC上,故概率等于弧长比,等于1/3。

2、P为三角形ABC的边BC上任一点,求使三角形APC的面积大于三角形ABC的面积的三分之一的概率。

取BC边靠近C点的三等分点M,则满足条件的P点组成线段AM,故概率等于长度比,等于2/3。

二、角度比(转化为角所在区间长度比)3、一被三等分成三个相等的扇形的质地均匀的圆盘,被过圆心的轴固定。

现用力转动圆盘,求从圆心指向外的一固定指针落在其中指定的一个扇形内的概率。

这个题中可设指针与圆中的某个扇形的一边所在的半径为始边,指针所在的射线为终边形成一个角。

将圆盘转动的整圈数去掉,只考虑最后不大于一圈的情况,指针可能落在这最后一周角内的任意位置,其角度分布区间为[0,360](单位为度),但要指针落在其中一个扇形中,其对应角范围如[120,240](单位为度),则所求的概率为(240-120)/(360-0)=1/3。

三、面积比4、一组平行线,任两相邻的两条相距3cm,现向其所在平面任投一枚半径为1cm 的硬币,求硬币与平行线不接触的概率。

先简化为只有两条平行线,投的硬币所在圆心落在这两条线围成的条形区域中。

现要求不与两线接触,则圆心到两线的距离应试大于1cm,故圆心应落在两线中间的条形区域中加两条与它们平等行的直线且将已知和区域等分成三等份的中间的一个区域中,故所求概率等于面积比,等于1/3。

5、向一三角形ABC内任意投一点P,求三角形PBC的面积小于等于三角形ABC面积一半的概率。

由于两三角形同底BC,故只要求三角形PBC的高小于等于三角形ABC的相应高的一半,即P点到BC的距离小于等于原高的一半,故P点组成三角形ABC内与BC平行的一条中位线与BC边之间的部分。

故概率等于面积比,等于3/4。

几何概型例题及解析

几何概型例题及解析

几何概型例题及解析题目:在边长为2的正方形内随机取一个点,则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。

A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析:在边长为2的正方形内,到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。

因此,所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比,即1/4。

题目:在半径为2的圆内随机取一条弦,则弦长小于等于2√3的概率为( )。

A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析:在半径为2的圆内,弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。

因此,所求概率为120°/360° = 1/3,但选项中并没有这个值,可能题目有误或选项不完整。

题目:在区间[0, 2]上随机取两个数x和y,则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。

A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析:在区间[0, 2]上随机取两个数x和y,对应的平面区域是一个边长为2的正方形。

满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。

所求概率为圆的面积与正方形面积之比,即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。

题目:在边长为1的正方形内随机取一个点,则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。

A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析:在边长为1的正方形内,到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。

因此,所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比,即(1/2)^2 = 1/4。

题目:在三维坐标系中,随机取一个点P(x, y, z),其中x, y, z ∈ [0, 1],则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。

A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析:在三维坐标系中,到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。

所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比,即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。

高一 几何概型知识点+例题+练习 含答案

高一 几何概型知识点+例题+练习 含答案

1.几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等),每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点,区域D内的每一点被取到的机会都一样;随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.这时,事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型.2.几何概型的概率计算公式一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=d的测度D的测度.3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;(2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性.4.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A)=MN作为所求概率的近似值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(√)(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是P =19.( × )1.(教材改编)在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于1的概率为________. 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1],长度为1,[0,3]区间长度为3,故所求概率为13.2.(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤12log ⎝⎛⎭⎫x +12≤1”发生的概率为________. 答案 34解析 ∵由-1≤12log ⎝⎛⎭⎫x +12≤1,得12≤x +12≤2, ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P =32-02-0=34.3.(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB =2,BC =1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________. 答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A , 则P (A )=阴影面积长方形面积=12π·121×2=π4.4.(2014·福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.答案 0.18解析 由题意知,这是个几何概型问题, S 阴S 正=1801 000=0.18, ∵S 正=1,∴S 阴=0.18.5.(教材改编)如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为________. 答案 1π解析 设圆的半径为R ,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角边长为2R ,则所求事件的概率为: P =S 阴S 圆=12×2R ×2R πR 2=1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ,则方程x 2+2px +3p -2=0有两个负根的概率为________.(2)(2015·烟台模拟)在区间[-π2,π2]上随机取一个数x ,则cos x 的值介于0到12之间的概率为________. 答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2+2px +3p -2=0有两个负根,则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,x 1+x 2<0,x 1·x 2>0,即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2-4(3p -2)≥0,-2p <0,3p -2>0,解得p ≥2或23<p ≤1,又p ∈[0,5],则所求概率为P =3+135=1035=23.(2)当-π2≤x ≤π2时,由0≤cos x ≤12,得-π2≤x ≤-π3或π3≤x ≤π2,根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示,在△ABC 中,∠B =60°,∠C =45°,高AD =3,在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ,求BM <1的概率. 解 因为∠B =60°,∠C =45°,所以∠BAC =75°. 在Rt △ABD 中,AD =3,∠B =60°, 所以BD =AD tan 60°=1,∠BAD =30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ,使BM <1”,则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生.由几何概型的概率公式,得:P (N )=30°75°=25.引申探究1.本例(2)中,若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”,则概率如何?解 当-π2≤x ≤π2时,由0≤cos x ≤32,得-π2≤x ≤-π6或π6≤x ≤π2,根据几何概型概率公式得所求概率为23.2.若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”,求BM <1的概率.解 依题意知BC =BD +DC =1+3,P (BM <1)=11+3=3-12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).(1)如图,在直角坐标系内,射线OT 落在30°角的终边上,任作一条射线OA ,则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________.(2)已知集合A ={x |-1<x <5},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x -23-x >0,在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________. 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图,因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的,所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°=16. (2)由题意得A ={x |-1<x <5},B ={}x | 2<x <3,故A ∩B ={x |2<x <3}.由几何概型知,在集合A 中任取一个元素x ,则x ∈(A ∩B )的概率为P =16.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且点C 与点D 在函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≥0,-12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________. 答案 14解析 由图形知C (1,2),D (-2,2),∵S 四边形ABCD =6,S 阴=12×3×1=32.∴P =326=14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________. 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x 分钟,第y 分钟,根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ={(x ,y )|y -x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50},如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为12×15×15=2252,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )=2252400=932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.(1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为a ,b ,则函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π2有零点的概率为________.(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,y ≥0,y -x -2≤0确定的平面区域记为Ω1,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,x +y ≥-2确定的平面区域为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为________. 答案 (1)1-π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π2有零点, 可得Δ=(2a )2-4(-b 2+π2)≥0,整理得a 2+b 2≥π2, 如图所示,(a ,b )可看成坐标平面上的点,试验的全部结果构成的区域为 Ω={(a ,b )|-π≤a ≤π,-π≤b ≤π}, 其面积S Ω=(2π)2=4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点,所构成的区域为M ={(a ,b )|a 2+b 2≥π2}, 即图中阴影部分,其面积为S M =4π2-π3,故P (A )=S M S Ω=4π2-π34π2=1-π4.(2)如图,平面区域Ω1就是三角形区域OAB ,平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ,易知C (-12,32),故由几何概型的概率公式,得所求概率P =S 四边形OACD S △OAB =2-142=78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为________. 答案 1-π12解析 V 正=23=8,V 半球=12×43π×13=23π,V 半球V 正=2π8×3=π12, 故点P 到O 的距离大于1的概率为1-π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A -A 1BD 内的概率为________.答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V --==13·S △ABD ·AA 1=16·S矩形ABCD ·AA 1=16V 长方体,故所求概率为1A A BD V V -长方体=16.12.混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这三条线段能构成三角形的概率.易错分析 不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率. 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个. 因为是长度,所以应有0<x <1,0<y <1,0<x +y <1,即(x ,y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点,如图所示.[6分]要形成三角形,由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x +y >1-x -y ,1-x -y >x -y ,1-x -y >y -x ,所以x <12,y <12,且x +y >12,故图中阴影部分符合构成三角形的条件.[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14,故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型,导致错误.(2)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否具有等可能性,导致错误.[方法与技巧]1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个. 2.转化思想的应用对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式.(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. [失误与防范]1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键;2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)1.(2014·湖南改编)在区间[-2,3]上随机选取一个数X ,则X ≤1的概率为________. 答案 35解析 在区间[-2,3]上随机选取一个数X ,则X ≤1,即-2≤X ≤1的概率为P =35.2.在区间[-1,4]内取一个数x ,则2x -x 2≥14的概率是________.答案 35解析 不等式22x x -≥14,可化为x 2-x -2≤0, 则-1≤x ≤2,故所求概率为2-(-1)4-(-1)=35.3.已知△ABC 中,∠ABC =60°,AB =2,BC =6,在BC 上任取一点D ,则使△ABD 为钝角三角形的概率为__________. 答案 12解析 如图,当BE =1时,∠AEB 为直角,则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时,△ABD 为钝角三角形;当BF =4时,∠BAF 为直角,则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时,△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1+26=12. 4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,0≤y ≤2表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________.答案 1-π4解析 如图所示,正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ,且区域D 的面积为4,而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4-π.因此满足条件的概率是1-π4. 5.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________.答案 45解析 由题意可知,三角形的三条边长的和为5+12+13=30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则它爬行的区域长度为3+10+11=24,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430=45. 6.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为________.答案 23解析 V 圆柱=2π,V 半球=12×43π×13=23π, V 半球V 圆柱=13, 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为m 和n ,则方程x 2m 2+y 2n 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________. 答案 12 解析 ∵方程x 2m 2+y 2n2=1表示焦点在x 轴上的椭圆,∴m >n . 如图,由题意知,在矩形ABCD 内任取一点Q (m ,n ),点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率,易知直线m =n 恰好将矩形平分,∴所求的概率为P =12. 8.随机地向半圆0<y <2ax -x 2(a 为正常数)内掷一点,点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______. 答案 12+1π解析 半圆域如图所示:设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4,由几何概型的概率计算公式得P (A )=A 的面积半圆的面积=14πa 2+12a 212πa 2=12+1π. 9.随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ,则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________.答案 24-π24解析 由题意作图,如图则点P 应落在深色阴影部分,S 三角形=12×6×52-32=12,三个小扇形可合并成一个半圆,故其面积为π2,故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12-π212=24-π24. 10.已知向量a =(-2,1),b =(x ,y ).(1)若x ,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a ·b =-1的概率;(2)若x ,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36(个); 由a ·b =-1有-2x +y =-1,所以满足a ·b =-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;故满足a ·b =-1的概率为336=112. (2)若x ,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x ,y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6};满足a ·b <0的基本事件的结果为A ={(x ,y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且-2x +y <0};画出图形如图,矩形的面积为S 矩形=25,阴影部分的面积为S 阴影=25-12×2×4=21, 故满足a ·b <0的概率为2125. B 组 专项能力提升(时间:30分钟)11.一个长方体空屋子,长,宽,高分别为5米,4米,3米,地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计),可捕捉距其一米空间内的苍蝇,若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入,并在房间内盘旋,则苍蝇被捕捉的概率是________.答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3=60立方米,捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3=π2立方米.故苍蝇被捕捉的概率是π260=π120. 12.(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ,y ,记p 1为事件“x +y ≤12”的概率,p 2为事件“xy ≤12”的概率,则下列正确的是________. ①p 1<p 2<12 ②p 2<12<p 1③12<p 2<p 1 ④p 1<12<p 2 答案 ④ 解析 在直角坐标系中,依次作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1,0≤y ≤1,x +y ≤12,⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1,0≤y ≤1,xy ≤12的可行域如图所示:依题意,p 1=S △ABOS 四边形OCDE ,p 2=S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE , 而12=S △OEC S 四边形OCDE ,所以p 1<12<p 2. 13.如图,已知点A 在坐标原点,点B 在直线y =1上,点C (3,4),若AB ≤10,则△ABC 的面积大于5的概率是________.答案 524解析 设B (x,1),根据题意知点D (34,1),若△ABC 的面积小于或等于5,则12×DB ×4≤5,即DB ≤52,此时点B 的横坐标x ∈[-74,134],而AB ≤10, 所以点B 的横坐标x ∈[-3,3],所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P =3-(-74)6=1924, 所以△ABC 的面积大于5的概率是1-P =524. 14.已知集合A =[-2,2],B =[-1,1],设M ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B },在集合M 内随机取出一个元素(x ,y ).(1)求以(x ,y )为坐标的点落在圆x 2+y 2=1内的概率;(2)求以(x ,y )为坐标的点到直线x +y =0的距离不大于22的概率.解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S =8.因圆x 2+y 2=1的面积S 1=π,故所求概率为S 1S =π8. (2)由题意|x +y |2≤22,即-1≤x +y ≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S 2=4, 所求概率为S 2S =12.15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ,乙船停泊时间为2 h ,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ,记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”,则0≤x ≤24,0≤y ≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上,即y -x ≥1或x -y ≥2.故所求事件构成集合A ={(x ,y )|y -x ≥1或x -y ≥2,x ∈[0,24],y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分,全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P (A )=A 的面积Ω的面积=(24-1)2×12+(24-2)2×12242 =506.5576=1 0131 152.。

高考数学(人教a版,理科)题库:几何概型(含答案)

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高考数学〔人教a版,理科〕题库:几何概型〔含答案〕第5讲几何概型一、选择题1、如图,在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?96A. 625 529C. 62598 B.625 68 D. 625解析因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。

设A=“粒子落在中间带形区域〞那么依题意得正方形面积为:25×25=625 1两个等腰直角三角形的面积为:2×2×23×23=529带形区域的面积为:625-529=9696P〔A〕= 625∴答案 A2.一只蚂蚁在如下图的地板砖(除颜色不同外,其余全部相同)上爬来爬去,它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )1111A. B. C. D. 4325解析每个小方块的面积相等,而黑色地板砖占总体的 41?,故蚂蚁停留在1231黑色地板砖上的概率是3答案 B3. 如图的矩形长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影局部的黄豆数为138颗,由此我们可以估计出阴影局部的面积约为( ). 23C.519D.516A.5 21B.5S13823解析由几何概型的概率公式,得10=300,所以阴影局部面积约为5,应选C. 答案 C4.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,那么该矩形面积小于32 cm2的概率为 1A.61B.32C.34D.5( ).解析设出AC的长度,先利用矩形面积小于32 cm2求出AC长度的范围,再利用几何概型的概率公式求解.设AC=x cm,CB=(12-x)cm,0<x<12,所以矩形面积小于32 cm2即为x(12-x)<32?0<x<4或8<x<12,故所求82概率为12=3. 答案 C5. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠局部如图中阴影区域所示,假设向该正方形内随机投一点,那么该点落在阴影区域的概率为 ( ). 4-πA.2 4-πC.4π-2B.2 π-2D.4解析设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积,即为π-2,那么阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为P2π-4π-2=4=2. 答案 B6.假设利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b,那么方程x =22a-2bx有不等实数根的概率为 1A.41B.22D.5 ( ).3C.42b解析方程x=22a-x,即x2-22ax+2b=0,原方程有不等实数根,那么需满足Δ=(22a)2-4×2b>0,即a>b.在如下图的平面直角坐标系内,(a,b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括2b边界),而事件A“方程x=22a-x有不等实数根〞的可能结果为图中阴影1 2×1×11局部(不包括边界).由几何概型公式可得P(A)==2.应选B.1×1答案 B 二、填空题1?ππ?7.在区间?-2,2?上随机取一个数x,cos x的值介于0至2之间的概率为 ??________.解析根据题目条件,结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P=?ππ? 2?2-3???1=. π?-π?3??2-?2?1答案 3 8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往1单位圆内投掷一点,假设此点到圆心的距离大于2,那么周1末去看电影;假设此点到圆心的距离小于4,那么去打篮球;否那么,在家看书.那么小波周末不在家看书的概率为________.解析设A={小波周末去看电影},B={小波周末去打篮球},C={小波周末11?2?2π-?4?2π在家看书},D={小波周末不在家看书},如下图,那么P(D)=1-π13=16. 13答案 16 9.有一个底面圆的半径为1,高为3的圆柱,点O1,O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,那么点P 到点O1,O2的距离都大于1的概率为________.解析确定点P到点O1,O2的距离小于等于1的点的集合为,以点O1,O21443为球心,1为半径的两个半球,求得体积为V=2×2×3π×1=3π,圆柱的体4π3积为V=Sh=3π,所以点P到点O1,O2的距离都大于1的概率为V=1-3π=5. 95答案 9 10.正三棱锥S-ABC的底边长为4,高为3,在三棱锥内任取一点P,使1得VP-ABC。

几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)

几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)

几何概型、古典概型常考经典题(史上最全面)1.在长为2的线段AB 上任意取一点C ,则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π42.已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P ,使得V P-ABC <12V S-ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.143.如图所示,A 是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点A ′,连接AA ′,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A .12 B.32 C .13 D.144.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π2上随机取一个数x ,则sin x +cos x ∈[1, 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.585.若m ∈(0,3),则直线(m +2)x +(3-m)y -3=0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________.6.如图,正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上,球心O 在平面ABCD 上,在球O 内任取一点,则这点取自正四棱锥内的概率为________.7.平面区域A 1={}(x ,y )|x 2+y 2<4,x ,y ∈R ,A 2={(x ,y )||x |+|y |≤3,x ,y ∈R}.在A 2内随机取一点,则该点不在A 1内的概率为________.8.在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ,使得OA ―→·OP ―→≤4的概率为( )A.12B.14C.13D.189.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35,则AD AB =________. 10.某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目时,看不到广告的概率为910,那么该台每小时约有________分钟的广告.11.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于12,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于14,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.12.在面积为S 的ABC ∆ 的边AB 上任取一点P ,则PBC ∆的面积大于4S 的概率为 .13.在ABC ∆中,060,2,6ABC AB BC ∠===,在BC 上任取一点D ,则使ABD ∆为钝角三角形的概率为( )A .16B .13C .12D .23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ,构成n 个数对11(,)x y ,22(,)x y ,[来源:学+,(,)n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A .4n m B .2n m C .4m n D .m n15. 在等腰Rt △ABC 中, (1)在斜边A B 上任取一点M ,求AM 的长小于AC 的长的概率.(2)过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM<AC 的概率.(3)已知P 是△ABC 所在平面内一点,PB +PC +2PA =0,现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A .14B .13C .23D .1216.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。

高一数学几何概型试题答案及解析

高一数学几何概型试题答案及解析

高一数学几何概型试题答案及解析1.在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由,可得或,即或,则的值介于到之间的概率为:.故选A.【考点】几何概型的问题.2.甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少().A.B.C.D.【答案】B【解析】由随机事件特点可知,甲乙两人可以在跑道上任何位置,且互不影响.同时考虑到两人距离不超过50米,将跑到建立数轴,且设甲乙两人的坐标为.则,满足几何概型.,,故B【考点】几何概型.3.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖,飞镖落在阴影部分的概率为 ().A.B.C.D.【答案】C【解析】观察这个图可知:阴影部分是一个小三角形,在直线AB的方程为6x-3y-4=0中,令x=1得A(1,),令y=-1得B(,-1).∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×(1+)(1-)=,则飞镖落在阴影部分(三角形ABC的内部)的概率是:P=.故选C.【考点】几何概型.4.在棱长为3的正方体内任取一个点,则这个点到各面的距离大于1的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内.这个小正方体的体积为1,大正方体的体积为27,故概率为p=.【考点】几何概型.5.如图,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为()A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1【答案】B【解析】点C的活动范围在线段OB上,所以D的测度为5,△ACO为钝角三角形包含∠OAC,∠OCA为钝角,△AOC为钝角三角形时,∠ACO为钝角,或∠OAB是钝角.当∠ACO=90°时,如下图由勾股定理可求 OC=1;∠OAB=90°时,由直角三角形中的边角关系可得OC=4,BC=1,综上,所以d的测度为2,故△AOC为钝角三角形的概率等于=0.4,故选B.【考点】几何概型.6.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5 cm的圆,中间有边长为0.5 cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为.【答案】【解析】如图,.【考点】几何概型.7.如右图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长。

高中几何概型试题及答案

高中几何概型试题及答案

高中几何概型试题及答案一、选择题1. 已知一个圆的半径为r,随机取圆内一点,该点落在半径为r/2的同心圆内的概率是多少?A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案:A2. 从长度为1的线段上随机取两点,将线段分为三段,求这三段能构成三角形的概率。

A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/6答案:C3. 在一个边长为1的正方形内随机投掷一个半径为1/2的圆盘,求圆盘完全落在正方形内的概率。

A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案:A二、填空题4. 一个圆的面积为π,随机取圆内一点,该点落在半径为1的同心圆内的概率是______。

答案:1/45. 从长度为3的线段上随机取两点,将线段分为三段,这三段能构成三角形的概率是______。

答案:1/26. 在一个边长为2的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘,圆盘完全落在正方形内的概率是______。

答案:1/4三、解答题7. 一个圆的半径为2,随机取圆内一点,求该点到圆心的距离小于1的概率。

答案:设圆心为O,随机点为P,OP<1,则P点落在半径为1的同心圆内。

由于大圆面积为4π,小圆面积为π,所以概率为π/4π=1/4。

8. 从长度为4的线段上随机取两点,将线段分为三段,求这三段能构成三角形的概率。

答案:设线段为AB,随机取点C和D,使得AC+CD+DB=4。

要构成三角形,必须满足AC+CD>DB,AC+DB>CD,DB+CD>AC。

这等价于C和D位于线段AB的中点两侧,且不同时位于AB的中点。

因此,构成三角形的概率为1/2。

9. 在一个边长为3的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘,求圆盘完全落在正方形内的概率。

答案:设正方形为ABCD,圆心为O,圆盘完全落在正方形内,即O点到正方形任意一边的距离都小于1。

由于正方形的对角线长度为√(3²+3²)=3√2,半径为1的圆盘可以完全落在正方形内,因此概率为1。

几何概型

几何概型

几何概型习题(含答案)一、单选题1.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8πC.12D.4π2.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线与圆有交点的概率为,则a =A.B.C.1D.23.在区间上随机取两个数x,y,记P为事件“”的概率,则A.B.C.D.4.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )A.B.C.D.5.如图,边长为2的正方形中有一阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为( )A.B.C.D.无法计算6.在区间上随机取两个实数,记向量,,则的概率为()A.B.C.D.7.某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为()A.B.C.D.8.在上任取一个个实数,则事件“直线与圆”相交的概率为( )A.B.C.D.9.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为()A.B.C.D.二、填空题10.任取两个小于1的正数x、y,若x、y、1能作为三角形的三条边长,则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________.11.已知,,,都在球面上,且在所在平面外,,,,,在球内任取一点,则该点落在三棱锥内的概率为__________.12.已知,点的坐标为,则当时,且满足的概率为__________.13.在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为_______。

几何概型经典练习及解答

几何概型经典练习及解答

几何概型1.几何概率模型定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;2.几何概型的概率公式P (A )=积)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件A ; 3.几何概型的特点1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.4.几何概型和古典概型的区别与联系联系:两种概率模型的思路是相同的,同属于“比例解法”,并且都是在随机事件“等可能”的前提下; 区别:古典概型中试验的基本事件的个数是有限的,而几何概型中试验的基本事件的个数是无限的,在具体问题的求解中要严格区别.5.计算几何概型的概率的步骤1)判断是否是几何概率,尤其是判断等可能性;2)计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积);3)代入公式计算.1.下列概率模型中,几何概型的个数为( C )注:①不是几何概型①从区间[10,10]-内任取出一个数,求取到1的概率;②从区间[10,10]-内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;③从区间[10,10]-内任取出一个数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为4cm 的正方形ABCD 内投一点P ,求点P 离中心不超过1cm 的概率.A .1B . 2C . 3D .42.某公共汽车站每隔5min 有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个乘客候车时间不超过3min 的概率为( C )A .51 B . 52 C . 53 D .54 3.在棱长为3的正方体内任取一点,则这个点到各面的距离大于1的概率为( C ) A .13 B .19 C .127 D .344.在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ,则PBC ∆的面积大于4S 的概率是( C ) A .14 B .12 C . 34 D .235.在区间[1,1]-上随机取一个数x ,cos 2x π的值介于0到12之间的概率为( A ) A .13 B .2π C .12 D .23 6.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( A )A .π21- B .π121- C .π2 D .π1 7.在区间[1-,2]上随机取一个数x ,则||x ≤1的概率是 .328.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于12,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于14,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .)(161431613+= 9.分别计算下列三个小题的概率:①设p 在[0,5]上随机地取值,求方程21042p x px +++=有实根的概率. ②在[1,1]-上任取两个实数,a b ,求二次方程2220x ax b ++=有两个非负实根的概率.③在区间[0,1]上任取三个实数,,x y z ,事件222{(,,)|1}A x y z x y z =++<.(1)构造出此随机事件A 对应的几何图形;(2)利用此图形求事件A 的概率. 答案:①35 ;②14 ;③6π.。

几何概型练习及答案

几何概型练习及答案

几何概型14.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 14.解:以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能会面的充要条件是||15x y -≤.在平面上 建立直角坐标系如图所示,则(x ,y )的所有可能结果是边长60的正方形,而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示,这是一个几何概型问题.15.解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y,A 为两艘船都不需要码头空出,()[]{},|0,24x y x Ω=∈,要满足A,则1y x -≥或2x y -≥∴A=()[]{},|12,0,24x y y x x y x -≥-≥∈或∴()22211(241)242506.5220.8793424576A A S P S Ω-⨯+-⨯====.如图,60AOB ∠=,2OA=,5OB =,在线段OB 上任取一点C ,试求:(1)AOC∆为钝角三角形的概率;(2)AOC ∆为锐角三角形的概率.当堂练习:1.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g 的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85](g )范围内的概率是( B )A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.682.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ,并以线段AP 为边作正方形,这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( B )A .310 B .15 C .25 D .453.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x ,转盘乙得到的数为y ,构成数对(x ,y ),则所有数对(x ,y C ) B .216 C .316 D .144.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为( A )A .34 B .38 C .14 D .185.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.则 求两人会面的概率为( C )A .13B .49C .59D .7106如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为( A )A .2πB .1πC .23D .137.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45,若向圆内投镖,如果某人每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( A )A .18B .14C .12D .348.现有100ml 的蒸馏水,假定里面有一个细菌,现从中抽取20ml 的蒸馏水,则抽到细菌的概率为( B )A .1100 B .120 C .110D .159.一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口,已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00,则该船在一昼夜内可以进港的概率是( C )A .14 B .18 C .110 D .11210.在区间[0,10]中任意取一个数,则它与4之和大于10的概率是( C )A .15 B .25 C . 35 D .27 11.若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ,则L 与线段BC 相交的概率为( C )A .12 B .13 C . 16 D .11212.在500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( B )A .0.5B .0.4C .0.004D .不能确定13.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率( c )A .r aB .2r aC . a r a -D .2a r a -14.已知地铁列车每10min 一班,在车站停1min .则乘客到达站台立即乘上车的概率为 111.16.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于56的概率是 .17.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去上班的时间为早上7:00~8:00之间,你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______. 18.飞镖随机地掷在下面的靶子上.(1)在靶子1中,飞镖投到区域A 、B 、C 的概率是多少?(2)在靶子1中,飞镖投在区域A 或B 中的概率是多少?在靶子2中,飞镖没有投在区域C 中的概率是多少?19.一只海豚在水池中游弋,水池为长30m ,宽20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率. 20.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.21.利用随机模拟方法计算曲线1y x=,1x =,2x =和0y =所围成的图形的面积.经典例题:解:如图,由平面几何知识:当AD OB ⊥时,1OD =;当OA AE ⊥时,4OE =,1BE =. (1)当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时,AOC ∆为钝角三角形 记"AOC ∆为钝角三角形"为事件M ,则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C 在线段DE 上时,AOC ∆为锐角三角, 记"AOC ∆为锐角三角"为事件N ,则3()0.65DE P N OB ===即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6. 1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14. 111; 16.2572; 17. 87.5%;18.(1)都是13;(2)23;34。

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题(含答案)[例1]甲、乙两人约定在下午 4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一人15分钟,若另一人仍不到则可以离去,试求这人能相见的概率。

解:设x 为甲到达时间,y 为乙到达时间.建立坐标系,如图|x — y|乞15时可相见,即阴 60 -4527影部分P2 6021 21 [例3]将长为1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过的概率。

2解:设第一段的长度为x ,第二段的长度为y ,第三段的长度为1-x -y ,则基本事件 组所对应的几何区域可表示为门二{(x, y) |0 ::: x :: 1,0 ::: y ::: 1,0 ::: x • y ::: 1},即图中黄色区域,此区域面积为[例2]设A 为圆周上一定点, 率。

在圆周上等可能任取一点与A 连接,求弦长超过半径,2倍的概cf BCD P =-圆周1事件“三段的长度都不超过丄”所对应的几何区域可表示为2 111 A ={(x, y)| (x, yb 11,x , y ,1 — x — y }2 22=181丄”的概率为P 二直2 12即图中最中间三角形区域,此区域面积为此时事件“三段的长度都不超过2 • -(-)22 2解:| AB |=| AC 匸..2R .y=-15x-y=1515 06012[例4]两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公司工作,他们对讲机的接收范围是25km,X i x 2 _ -a 0 X 2 = b 0解: (2)(1)利用计算器产生 0 变换 a = a ! ” 2 _ 1 , (3) 从中数出满足条件 b至1区间两组随机数a 1,b 1 b = b - ” 2 -1 1 2a 且a . 0且b 0的数m 4c :解法1:记 ABC 的三内角分别为 形”,则试验的全部结果组成集合$11={「, )0 J , :: ,0 J因为ABC 是锐角三角形的条件是n , 3TnJI0 ,且二川:—2 2所以事件A 构成集合A={(「)|,0 (2)由图2可知,所求概率为A 、B 、C,求 ABC 是锐角三角形的概率。

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及习题(含答案)

2几何概型例题分析及练习题(含答案)[例1]甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人 15分钟,若另一人仍不 到则可以离去,试求这人能相见的概率。

解:设X 为甲到达时间,y 为乙到达时间.建立坐标系,如图[例2]设A 为圆周上一定点,在圆周上等可能任取一点与 A 连接,求弦长超过半径 2倍的概率[例3]将长为1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过丄2的概率。

解:设第一段的长度为x ,第二段的长度为y ,第三段的长度为1 x y ,则基本事件组所对应的几何区域可表示为{(x,y)|O x 1,0 y 1,0 x y 1},即图中黄色区域,此区域面积为1。

2事件“三段的长度都不超过 1”所对应的几何区域可表2 示为1 1 1A {( x, y)|(x, y) , x -,y J x y 才即图中最中间三角形区域,此区域面积为 丄(丄)2 12 2 81此时事件“三段的长度都不超过1”的概率为P -8 1 2 14|x y| 15时可相见,即阴影部分602 452 602rinx-尸一 13flJ 1 S 哎y60 K解:| AB| | AC| ,2R .BCD圆周7 16A[例4]两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公司工作,他们对讲机的接收范围是25,下午3: 00张三在基地正东30内 部处,向基地行驶,李四在基地正北 40内部处,向基地行 驶,试问下午3: 00,他们可以交谈的概率。

解:设x,y 为张三、李四与基地的距离x [0,30],y [0,40],以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对(x,y ),表示区域总 面积为1200,可以交谈即x 2 y 2 25程x 2 ax b 0两根均为正数的概率a 2 4b 0-252 120025 192[例5]在区间[1,1]上任取两数a,b , 运用随机模拟方法求二次方解:(2)X2 a 0x2 b 0(1 )利用计算器产生变换 a a1 2 1,0至1区间两组随机数a1,b1b1 2 1,事件A表示b三角形的概率。

几何概型典型例题

几何概型典型例题

几何概型1.(2009年高考福建卷)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B ,则劣弧的长度小于1的概率为________.答案:23解析:设事件M 为“劣弧的长度小于1”,则满足事件M 的点B 可以在定点A 的两侧与定点A 构成的弧长小于1的弧上随机取一点,由几何概型的概率公式得:P (M )=23.2.(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000粒黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为600粒,则可以估计出阴影部分的面积约为________.答案:36解析:设所求的面积为S ,由题意得6001000=S5×12,∴S =36.3.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ,则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________.解析:P =18×43πa 3a 3=π6.答案:π64.(2010年扬州调研)已知集合A {x |-1<x <5},B ={x |x -23-x>0},在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________.解析:由题意得A ={x |-1<x <5},B ={x |2<x <3},由几何概型知:在集合A 中任取一个元素x ,则x ∈A ∩B 的概率为P =16.答案:165.某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过,小王随机赶到车站,则小王等车时间不超过4分钟的概率是________.答案:256.如图,M 是半径为R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N ,连结MN ,则弦MN 的长度超过2R的概率是________.答案:12解析:连结圆心O 与M 点,作弦MN 使∠MON =90°,这样的点有两个,分别记为N 1,N 2,仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取值时,满足MN >2R ,此时∠N 1ON 2=180°,故所求的概率为180°360°=12. 7.已知Ω={(x ,y )|x +y ≤6,x ≥0,y ≥0},E ={(x ,y )|x -2y ≥0,x ≤4,y ≥0},若向区域Ω内随机投一点P ,则点P 落入区域E 的概率为________.解析:如图,区域Ω表示的平面区域为△AOB 边界及其内部的部分,区域E 表示的平面区域为△COD 边界及其内部的部分,所以点P 落入区域E 的概率为S △CODS △AOB=12×2×412×6×6=29.答案:298.已知函数f (x )=-x 2+ax -b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则f (1)>0成立的概率是________.解析:f (1)=-1+a -b >0,即a -b >1,如图:A (1,0),B (4,0),C (4,3),S △ABC =92,P =S △ABC S 矩=924×4=932.答案:9329.在区间[0,1]上任意取两个实数a ,b ,则函数f (x )=12x 3+ax -b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为________.解析:f ′(x )=32x 2+a ,故f (x )在x ∈[-1,1]上单调递增,又因为函数f (x )=12x 3+ax -b 在[-1,1]上有且仅有一个零点,即有f (-1)·f (1)<0成立,即(-12-a -b )(12+a -b )<0,则(12+a+b )(12+a -b )>0,可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112+a -b >012+a +b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1≤b ≤112+a -b <0,12+a +b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域,再由几何概型可以知道,函数f (x )=12x 3+ax -b 在[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a =0,a =1,b =0,b =1围成的正方形的面积,计算可得面积之比为78.答案:7810.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤60≤y ≤6表示的区域为A ,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6x -y ≥0表示的区域为B .(1)在区域A 中任取一点(x ,y ),求点(x ,y )∈B 的概率;(2)若x ,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x ,y )在区域B 中的概率. 解:(1)设集合A 中的点(x ,y )∈B 为事件M ,区域A 的面积为S 1=36,区域B 的面积为S 2=18,∴P (M )=S 2S 1=1836=12.(2)设点(x ,y )在区域B 为事件N ,甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x ,y )的个数为36个,其中在区域B 中的点(x ,y )有21个,故P (N )=2136=712.11.(2010年江苏南通模拟)已知集合A ={x |-1≤x ≤0},集合B ={x |ax +b ·2x -1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}.(1)若a ,b ∈N ,求A ∩B ≠∅的概率; (2)若a ,b ∈R ,求A ∩B =∅的概率.解:(1)因为a ,b ∈N ,(a ,b )可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共9组.令函数f (x )=ax +b ·2x -1,x ∈[-1,0], 则f ′(x )=a +b ln2·2x .因为a ∈[0,2],b ∈[1,3],所以f ′(x )>0, 即f (x )在[-1,0]上是单调递增函数.f (x )在[-1,0]上的最小值为-a +b2-1.要使A ∩B ≠∅,只需-a +b2-1<0,即2a -b +2>0.所以(a ,b )只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)7组.所以A ∩B ≠∅的概率为79.(2)因为a ∈[0,2],b ∈[1,3],所以(a ,b )对应的区域为边长为2的正方形(如图),面积为4.由(1)可知,要使A ∩B =∅,只需f (x )min =-a +b2-1≥0⇒2a -b +2≤0,所以满足A ∩B =∅的(a ,b )对应的区域是如图阴影部分.所以S 阴影=12×1×12=14,所以A ∩B =∅的概率为P =144=116.12.将长为1的棒任意地折成三段,求:三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)的概率.解:设第一段的长度为x ,第二段的长度为y , 第三段的长度为1-x -y ,则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω={(x ,y )|0<x <1,0<y <1,0<x +y <1},此区域面积为12.事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ={(x ,y )|(x ,y )∈Ω,x <a ,y <a,1-x -y <a }.即图中六边形区域,此区域面积:当13≤a ≤12时,为(3a -1)2/2,此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P=(3a -1)2/21/2=(3a -1)2;当12≤a ≤1时,为12-3(1-a )22.此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P =1-3(1-a )2.。

高一数学几何概型试题答案及解析

高一数学几何概型试题答案及解析

高一数学几何概型试题答案及解析1.已知实数x,y满足0≤x≤2π,|y|≤1则任意取期中的x,y使y>cosx的概率为()A.B.C.D.无法确定【答案】A【解析】0≤x≤2π,|y|≤1所对应的平面区域如下图中长方形所示,“0≤x≤2π,|y|≤1,且y>cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示:根据余弦曲线的对称性可知,蓝色部分的面积为长方形面积的一半,故满足“0≤x≤2π,|y|≤1,且y>cosx”的概率P=.故选A.【考点】几何概型.2.甲、乙两人约定某天晚上7:00~8:00之间在某处会面,并约定甲早到应等乙半小时,而乙早到无需等待即可离去,那么两人能会面的概率是()A.B.C.D.【答案】C【解析】设甲到达会面处的时该为7点x分钟,则,设乙到达会面处的时该为7点y分钟,则;根据题意知所有可能情况为不等式组,两人能会面则必须满足,画出不等式组所表示的平面区域:,则所求的概率为:,故选C.【考点】几何概率.3.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖,飞镖落在阴影部分的概率为 ().A.B.C.D.【答案】C【解析】观察这个图可知:阴影部分是一个小三角形,在直线AB的方程为6x-3y-4=0中,令x=1得A(1,),令y=-1得B(,-1).∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×(1+)(1-)=,则飞镖落在阴影部分(三角形ABC的内部)的概率是:P=.故选C.【考点】几何概型.4.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率是【答案】【解析】设在区间(0,1)中随机地取出的两个数为,满足条件的为图中阴影部分,所以概率为阴影部分面积:总面积=.【考点】几何概型.5.有四个游戏盘面积相等,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )【答案】A【解析】第一个转盘中奖的概率为;第二个转盘中奖的概率为;第三个转盘中奖的概率为;第四个转盘中奖的概率为,所以中奖最高为A。

几何概型习题附答案

几何概型习题附答案

1.在区间[0,2]上随机地取出一个数x ,则事件“-1≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤1”发生的概率为( )A .34 B.23 C .13D .14解析:选A .不等式-1≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤log 1212,即12≤x +12≤2,解得0≤x ≤32,故由几何概型的概率公式得P =32-02-0=34.2.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A .16 B.13 C .23D .45解析:选C .设AC =x (0<x <12),则CB =12-x ,所以x (12-x )<32,解得0<x <4或8<x <12. 所以P =4+412=23.3.在如图所示的圆形图案中有12片树叶,构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3,若在圆内随机取一点,则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A .2-33πB.4-63πC .13-32πD .23解析:选B .设圆的半径为r ,根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S =24⎝⎛⎭⎫16πr 2-34r 2=4πr 2-63r 2,圆的面积S ′=πr 2,所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′=4-63π,故选B .4.已知平面区域D ={(x ,y )|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1},在区域D 内任取一点,则取到的点位于直线y =kx (k ∈R )下方的概率为( )A .12 B.13 C .23D .34解析:选A .由题设知,区域D 是以原点为中心的正方形,直线y =kx 将其面积平分,如图,所求概率为12.5.如图所示,A 是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点A ′,连接AA ′,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )A .12 B.32C .13D .14解析:选C .当AA ′的长度等于半径长度时,∠AOA ′=π3,A ′点在A 点左右都可取得,故由几何概型的概率计算公式得P =2π32π=13,故选C .6.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________.解析:设正三角形的边长为a ,圆的半径为R ,则正三角形的面积为34a 2. 由正弦定理得2R =a sin 60°,即R =33a ,。

几何概型的经典题型及答案

几何概型的经典题型及答案

几何概型的经典题型及答案2345直径MN 垂直于EF 和E 1F 1,与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。

依题设条件,样本空间所对应的区域是直径MN ,有L(G)=MN=2R ,注意到弦的长度与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是KK 1,有1()2K L G KK OK ====以几何概率公式得()()22A L G P L G R ===。

[解法2].如图1-1所示,设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条,直径MN ⊥弦EF ,它们的交点为K ,则点K 就是弦EF 的中点。

设OK=x ,则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”,则A 的有利场合是R ≥,解不等式,得x R ≤所以()A L G R == 于是()P A == [评注] 本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。

两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率.分析:正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ,求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率.解:记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ,事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率,所以,P(A)= 9612-=14 小结:解答本例的关键是,将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习:2、已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min ,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )6A.110 B.19 C.111 D.18解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成事件A 的区域长度为1 min ,故P (A )=110.答案:A3、已知集合A {x |-1<x <5},B ={x |x -23-x>0},在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________.解析:由题意得A ={x |-1<x <5},B ={x |2<x <3},由几何概型知:在集合A 中任取一个元素x ,则x ∈A ∩B 的概率为P =16.答案:164、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率.分析:因为客车每小时一班,而小赵在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时,即60分钟,因此,由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61,即此人等车时间不多于10分钟的概率为61.(二)、与面积有关的几何概型例1、ABCD 为长方形,1,2==BC AB ,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A .4π B.14π- C.8πD.18π-分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多个,所以符合几何概型.解:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半AODC B1图7圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-,则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.例2、 如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?思路点拨 此为几何概型,只与面积有关.解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内,而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ.即:“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积;总面积为最大环的圆面积.例3、在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为 。

高一数学几何概型试题答案及解析

高一数学几何概型试题答案及解析

高一数学几何概型试题答案及解析1.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为A.B.C.D.【答案】B【解析】以直角顶点为圆心,1为半径作圆,与三角形相交部分设为,当点在内时,到顶点的距离小于等于1,因此该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为.【考点】几何概型的概率计算公式.2. x的取值范围为[0,10],给出如图所示程序框图,输入一个数x.求:(Ⅰ)输出的x(x<6)的概率;(Ⅱ)输出的x(6<x≤8)的概率.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由已知中的程序框图,我们根据选择结构的功能,可分析出程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值,输出的x(x<6),可得x<5,即可求出输出的x(x<6)的概率;(Ⅱ)由输出的结果在区间6<x8上,我们可以分当x7时和x>7时两种情况,分别讨论满足条件的x的取值范围,得到输出结果的范围,最后根据输入x的取值范围利用几何概型求出概率即可.试题解析:(Ⅰ)由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值,当x<6时,输出x+1,此时输出的结果满足x+1<6,所以x<5,所以输出的x(x<6)的概率为P==;(Ⅱ)当x≤7时,输出x+1,此时输出的结果满足6<x+1≤8解得5<x≤7;当x>7时,输出x﹣1,此时输出的结果满足6<x﹣1≤8解得7<x≤9;综上,输出的x的范围中5<x≤9.则使得输出的x满足6<x≤8的概率为P==.【考点】1.程序框图;2.几何概率.3.利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为_______.【答案】【解析】3a-1<0即a<,则事件“3a-1<0”的概率为P==.故答案为:.【考点】几何概型.4.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行,某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为;【答案】【解析】距离三角形的三个顶点的距离均超过1即在如图所示的阴影区域内爬行:三角形面积为,阴影面积为,∴概率为.【考点】5.向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为( ) A.B.C.D.【答案】D【解析】以A为圆心、AC为半径作圆,令圆与AB边相交于点D,则点M在扇形ACD内时,小于,因为在等腰直角三角形ABC中,,所以扇形的面积,又等腰直角三角形ABC的面积,所以所求概率。

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几何概型的经典题型及答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:23几何概型的常见题型及典例分析一.几何概型的定义1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点:(1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等. 3.计算公式:.)(积)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件A A P =说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系: (1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的.(2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的;②两种概型的概率计算公式的含义不同.二.常见题型(一)、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ,2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31B.π2C.21D.32 分析:在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的4区间长度有关,符合几何概型的条件.解:在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤,区间长度为32,由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少?思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型.解 记 E :“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”,把AB 三等分,由于中间长度为30×31=10米,∴313010)(==E P .方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.例3、在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

思考方法:由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以,题中的等可能参数是平行弦的中点,它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)。

也就是说,样本空间所对应的区域G 是一维空间(即直线)上的线段MN ,而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。

[解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦,K K K1图1-2图1-1O O M N EF MN E FE1F15直径MN 垂直于EF 和E 1F 1,与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。

依题设条件,样本空间所对应的区域是直径MN ,有L(G)=MN=2R ,注意到弦的长度与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是KK 1,有221()2232K R L G KK OK R R ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭以几何概率公式得()33()22A L G R P L G R ===。

[解法2].如图1-1所示,设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条,直径MN ⊥弦EF ,它们的交点为K ,则点K 就是弦EF 的中点。

设OK=x ,则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”,则A 的有利场合是222R X R -≥,解不等式,得 3x 2R ≤所以 3()232A L G R R == 于是 33()22R P A R == [评注] 本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。

两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率.分析:正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ,求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率. 解:记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ,事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率,所以,P(A)= 9612-=14 小结:解答本例的关键是,将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习:2、已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min ,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )6A.110 B.19 C.111 D.18解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成事件A 的区域长度为1 min ,故P (A )=110.答案:A3、已知集合A {x |-1<x <5},B ={x |x -23-x>0},在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________.解析:由题意得A ={x |-1<x <5},B ={x |2<x <3},由几何概型知:在集合A 中任取一个元素x ,则x ∈A ∩B 的概率为P =16.答案:164、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率.分析:因为客车每小时一班,而小赵在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时,即60分钟,因此,由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61,即此人等车时间不多于10分钟的概率为61.(二)、与面积有关的几何概型例1、ABCD 为长方形,1,2==BC AB ,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A .4π B.14π- C.8πD.18π-分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多个,所以符合几何概型.解:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半AODC B1图7圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-,则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.例2、 如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?思路点拨 此为几何概型,只与面积有关.解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内,而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ.即:“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积;总面积为最大环的圆面积.例3、在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为 。

解析:如图:区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界),而区域E 表示单位圆及其内部,因此214416P ππ⨯==⨯。

答案16π点评:本小题中的试验结果是区域中的部分点集,其结果是不可数的,属于几何概型中典型的面积之比。

8例4、在三角形ABC 中任取一点P ,证明:△ABP与△ABC 的面积之比大于1n n -的概率为21n 。

思考方法 本题的随机点是ABP ∆的顶点P ,它等可能的分布在ABC ∆中,因此,与样本空间对应的平面区域是ABC ∆,注意到ABP ∆于ABC ∆有公共边AB ,所以的面积决定于顶点P 离底边AB 的距离。

这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。

解 设ABP ∆与ABC ∆的面积之比为1n n -,ABC ∆的高CD 为h ,ABP ∆的高PG 为h1,公共底边AB 的长为c ,(图2)则1111212ABPABCch S h n S h n ch ∆∆-=== 11n h h n-=过点P 作EF//AB,交CD 于H,则有立场合所对应的平面区域为CEF ∆.于是所求概率为EFCABCS P S ∆∆=注意到EF//AB ,~EFC ABC ∆∆,且 CH=h -h 1 = h-1n n -h=1h n,2221EFC ABCh s np S h n∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=== 由此,原题得证。

评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应,但因三角形ABC 于三角形ABP 有公共底边AB ,所以,实际变化着的量只有一个(即点P 于AB 的距离),问题还比较简单,对于较复杂的平面区域,常常要根据题设选定两个变量,由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。

例5、将长为L 的木棒随机的折成3段,求3段构成三角形的概率. 解:设M =“3段构成三角形”.x y ,分别表示其中两段的长度,则第三段的长度为L x y--.{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<,,,|.图2H P G FE DCB A9由题意,x y L x y --,,要构成三角形,须有x y L x y +>--,即12x y +>; ()x L x y y +-->,即2L y <;()y L x y x +-->,即2L x <. 故()|222L L L M x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩⎭,,,.如图1所示,可知所求概率为221122()42L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积. 例6、已知函数f (x )=-x 2+ax -b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则f (1)>0成立的概率是________.解析:f (1)=-1+a -b >0,即a -b >1,如图:A (1,0),B (4,0),C (4,3),S △ABC =92,P =S △ABC S 矩=924×4=932.答案:932练习1、ABCD 为长方形,AB =2,BC =1,O 为AB 的中点.在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( )A.π4 B .1-π4 C.π8 D .1-π8 解析:对应长方形的面积为2×1=2,而取到的点到O 的距离小于等于1时,其是以O 为圆心,半径为1所作的半圆,对应的面积为12×π×12=12π,那么满足条件的概率为:1-12π2=1-π4.答案:B102、设-1≤a ≤1,-1≤b ≤1,则关于x 的方程x 2+ax +b 2=0有实根的概率是 ( )A.12B.14C.18D.116 解析:由题知该方程有实根满足条件⎩⎨⎧-1≤a ≤1,-1≤b ≤1,a 2-4b 2≥0,作平面区域如右图:由图知阴影面积为1,总的事件对应面积为正方形的面积, 故概率为14.答案:B3、已知Ω={(x ,y )|x +y ≤6,x ≥0,y ≥0},A ={(x ,y )|x ≤4,y ≥0,x -2y ≥0},若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率为 ( )A.13B.23C.19D.29 解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界,A 表示的 区域为三角形OCD 及其边界.容易求得D (4,2)恰为直线x =4,x -2y =0,x +y =6三线的交点. 则可得S △AOB =12×6×6=18,S △OCD =12×4×2=4.所以点P 落在区域A 的概率为418=29.答案:D4、在区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x 内任取一点P ,则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( ) A.π2 B.π8 C.π6 D.π4 解析:区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 P =S 半圆S △ABC =π212×22×2=π4.答案:D5、在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ,则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________.解析:以A 、B 、C 为圆心,以1为半径作圆,与△ABC相交出三个扇形(如图所示),当P 落在阴影部分时符合要求.∴P =3×(12×π3×12)34×22=3π6.答案:36π6、在区间[0,1]上任意取两个实数a ,b ,则函数f (x )=12x 3+ax -b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为________.解析:f ′(x )=32x 2+a ,故f (x )在x ∈[-1,1]上单调递增,又因为函数f (x )=12x 3+ax -b 在[-1,1]上有且仅有一个零点,即有f (-1)·f (1)<0成立,即(-12-a -b )(12+a -b )<0,则(12+a +b )(12+a -b )>0,可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112+a -b >012+a +b >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112+a -b <0,12+a +b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域,再由几何概型可以知道,函数f(x)=12x3+ax-b在[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a=0,a=1,b=0,b=1围成的正方形的面积,计算可得面积之比为78。

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