(新)几何概型典型例题
几何概型(有答案)
A
10 10
S
30
x
0 x 30
0 y 30
而二人会面 x y 10
SA P(A)= SS
３０２－２０２ ＝ ３０２
９ ５
练习:假设小明家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30至7:30之间把 报纸送到小明家,小明的爸爸离开家 去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到 报纸的概率是多少? 书本上P137例2
练习
在500ml的水中有一个草履虫，现 从中随机取出2ml水样放到显微镜下 观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
练习 取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米 1m 1m 的概率有多大?
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A，把绳子三等分，于 是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一，所以事件A发生的概率P （A）=1/3。
例9、（1）在面积为S的三角形ABC的AB边上 任取一点P，则三角形PBC的面积小于S∕2的 概率是＿＿＿； （2）向面积为S的三角形ABC内任投一点P， 则三角形PBC的面积小于S∕2的概率是＿＿＿；
典型例题讲解
例10、下图的矩形，长为5，宽为2， 在矩形内在随机地撒300颗黄豆，数 得落阴影部分的黄豆数为138颗，则 我们可以估计出阴影部分的面积 为 ．
解题方法小结：
对于复杂的实际问题，解题的 关键是要建立概率模型，找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域，把问题转化为 几何概型的问题，利用几何概 型公式求解。
练习
几何概型的经典例题
几何概型的经典例题
一、例题
在区间[ - 1,2]上随机取一个数x，则| x|≤slant1的概率为多少？
二、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域长度
- 区间[ - 1,2]的长度为2-( - 1)=3。
2. 然后确定满足条件| x|≤slant1，即-1≤slant x≤slant1的区域长度
- 区间[ - 1,1]的长度为1-( - 1)=2。
3. 最后根据几何概型的概率公式P(A)=(构成事件A的区域长度(面积或体积))/(试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积))
- 这里是在数轴上的区间问题，属于长度型几何概型，所以P = (2)/(3)。
三、例题
已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，求点P到正方形各顶点的距离都大于1的概率。
四、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域面积
- 正方形ABCD的边长为2，则其面积S = 2×2 = 4。
2. 然后确定满足条件的区域面积
- 点P到正方形各顶点的距离都大于1，那么点P在以正方形各顶点为圆心，1为半径的四个四分之一圆的外部（这些圆在正方形内部的部分）。
- 四个四分之一圆的面积之和相当于一个半径为1的圆的面积，即
S_1=π×1^2=π。
- 满足条件的区域面积S_2=4 - π。
3. 最后根据几何概型的概率公式
- 这里是平面区域问题，属于面积型几何概型，所以P=frac{S_2}{S}=(4 - π)/(4)。
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。
题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。
题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。
题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
高中数学必修三3.3.1几何概型习题新人教A版必修3
A′，连接 AA′，它是一条弦，
1
31 1
A. B. C. D.
2
23 4答案： C3．已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点
1 AD
为 2，则 AB＝ (
)
P，使△ APB的最大边是
AB”发生的概率
1 13
7
A. B. C. D.
2 42
4
答案： D
几何概型
1．如图所示，在一个边长分别为
A 组 基础巩固 a， b( a>b>0) 的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分
aa 别为 3， 2，且高为 b. 现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是
()
7
5
A. 10 B. 7
55 C. D.
12 8
答案： C
2. 如图， A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点
所以
P( A) ＝
r ， a] 的长度 [0 ， a] 的长度
＝
a－ a
r
.
10．在长度为 10 cm 的线段 AD上任取两点 B， C在 B， C处折此线段而得一折线，求此折线
能构成三角形的概率．
解：设 AB， AC的长度分别为 x， y，由于 B， C在线段 AD上，因而应有 0≤ x，y≤10，
1 所以 GS∥ CD， GS＝ 2CD.
又 AB∥ CD， AB＝ CD，
1 所以 GS∥ AB，且 GS＝ 2AB，
又 M为 AB中点，所以 GS＝ AM， 所以四边形 AGSM为平行四边形． 所以 AG∥ MS， 又 MS? 平面 FMC， AG?平面 FMC， 所以 AG∥平面 FMC， 即 GP∥平面 FMC.
几何概型知识点及练习
3.3几何概型1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。
备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。
2、几何概型的概率计算公式 积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A )(A P 【典型例题】1、 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?2、在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：(1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？【练习】1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ B ）A ．14B ．18C ．110D ．1122、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________.3、已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为___________.4、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.5、在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为 5.1亿平方千米)6、已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y中,点(),x y的坐标,x A y A∈∈,点(),x y正好在第二象限的概率是 ( )A. 13B.14C.15D.257、取一根长度为３m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m的概率有多大？8、在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.。
几何概型的经典题型及答案
几何概型的经典题型及答案(总23页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型3例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31B.π2C.21D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件.解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2xπ的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．4解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米，∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
几何概型例题分析及习题(含答案)
几何概型例题分析及练习题 (含答案)[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167604560222=-=P[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。
解：R AC AB 2||||==. ∴ 212===⋂R R BCDP ππ圆周[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率。
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为21。
事件“三段的长度都不超过21”所对应的几何区域可表示为Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}211,21,21<--<<y x y x 即图中最中间三角形区域，此区域面积为81)21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过21”的概率为412181==P[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25，下午3：00张三在基地正东30内部处，向基地行驶，李四在基地正北40内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。
解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x故19225120025412ππ==P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02=++b ax x 两根均为正数的概率。
几何概型的常见题型及典例分析
几何概型的常见题型及典例分析2345直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。
依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有1()2K L G KK OK ====以几何概率公式得()()22A L G P L G R ===。
[解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。
设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是R ≥,解不等式，得x R ≤ 所以()A L G R == 于是()P A == [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。
两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P(A)= 9612-=14 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。
练习：2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )6 A.110 B.19 C.111 D.18解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A3、已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：164、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．分析：因为客车每小时一班,而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时，即60分钟，因此，由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61． （二）、与面积有关的几何概型例1、ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B.14π- C.8π D.18π- 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型.解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半A ODC B1图7圆)面积为2π，因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-，则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.例2、 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．例3、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
专题四 几何概型及综合
专题四 几何概型及综合【典型例题】（一）、与长度有关的几何概型例1、（1）在长为12cm 的线段AB 方上任取一点M ，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．（2）在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
（1） 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.183、已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：164、 小赵从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．（二）、与面积有关的几何概型例2、（1）ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B.14π- C.8π D.18π-（2）、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），而区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。
几何概型大题
1．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：3 456停靠时间12121720151383-轮船数量（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；(（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．2．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30﹣7：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少--3．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数 级别类别 户外活动建议 0～50Ⅰ 优 可正常活动 51～100 ：Ⅱ良 101～150Ⅲ 轻微污染 易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．151～200 轻度污染 201～250Ⅳ 中度污染 心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动． 251～300 中度重污染301～500 《 Ⅴ重污染 健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动． 现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x ，y ，求事件|x ﹣y|≤150的概率．'（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．}5．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．·当a∈[0，3]，b∈[0，2]时，方程①有实数根的概率为p1；当a∈[0，3]，b∈[0，2]并且a∈N，b∈N时，方程①有实数根的概率为p2，求p1，p2的值．)7．已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．)8．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M．（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率．》9．在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．（素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．（提示：可以考虑采用数形结合法）】11．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．,（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）在x∈R内是偶函数的概率；（2）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）有零点的概率；（3）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈R}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．.（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．—13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率．！50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．（1）求成绩在区间[80，90）内的学生人数及成绩在区间[60，100]内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率．\15．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开，求甲、乙能见面的概率．~（1）若甲预计在元月1日、3日、5日中的一天到达该港口，乙预计在元月1日、2日、3日中的一天到达该港口，且甲、乙在预计日期到达该码头均是等可能的，求甲、乙在同一天到该港口的概率．（2）若甲、乙均预计在元月1日00：00点﹣﹣﹣01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，求甲、乙中有船要等待的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间`3456轮船数量1212}1720151383（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．【解答】解：（Ⅰ）a=（×12+3×12+×17+4×20+×15+5×13+×8+6×3）=4，（Ⅱ）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则`若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y﹣x|＜4，所以必须等待的概率为P=1﹣=，答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为．2．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30﹣7：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示父亲离家时间，建立平面直角坐标系，父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）==．|3．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数级别类别户外活动建议～5Ⅰ优可正常活动、51～1Ⅱ良1 0 1～1 5Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．1 5 1～2 0 0￥轻度污染2 0 1～2 5 0Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．2 5 1～3 0 0中度重污染)3 0 1～5 0 0Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|x﹣y|≤150的概率．】【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在151～200之间，共有×50×60=9天．（2）由直方图知60天空气质量指数的平均值为．（3）第一组和第五组的天数分别为60×=6天，60×=3天，则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种，由|x﹣y|≤150知两天只能在同一组中，而两天在同一组中的基本事件有18种，用M表示|x﹣y|≤150这一事件，则概率．4．设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．~（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解答】解：（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．设事件A为“方程x2+ax+b2=0有实根”．则判别式△=a2﹣4b2≥0，即a≥2b，若a=0，则b=0，若a=1，则b=0，若a=2，则b=0或b=1，-若a=3，则b=0或b=1共有6个，则对应的概率P=．（2）记事件B=“方程x2+ax+b2=0有实根”．由△=a2﹣4b2≥0，得：a≥2b全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面积为S=3×2=6．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，则D（3，）其面积为S′=×3×=，对应的概率P==．@5．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为直线x=，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a．…（2分）若a=1，则b=﹣1；若a=2，则b=﹣1或1；若a=3，则b=﹣1或1．∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5．…（4分）而满足条件的数对（a，b）共有3×5=15个∴所求事件的概率为=．…（6分）`（2）方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故…（8分）化简得又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，…（10分）阴影部分的面积为，故所求的概率P=．…（12分）6．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0①，当a∈[0，3]，b∈[0，2]时，方程①有实数根的概率为p1；当a∈[0，3]，b∈[0，2]并且a∈N，b∈N时，方程①有实数根的概率为p2，求p1，p2的值．【解答】解：（1）如图所示，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}（图中矩形所示）；其面积为S=3×2=6；；而构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如图阴影所示）；故所求的概率为P1==；（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，且a∈N，b∈N}如图中矩形中的点，共12个；而构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，且a≥b，a∈N，b∈N}，如图阴影部分中的点，共9个；故所求的概率为P2==．(7．已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．【解答】解：方程的△=36m2+36（n2﹣4）．（1）m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}={1，2，3}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}={0，1，2}，基本事件总数为9△＞0，m2+n2＞4，满足条件的（m，n）为（1，2），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），共6个，∴方程有两个不相等实根的概率为=；（2）m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，对应区域的面积为6，△≥0，m2+n2≥4，对应区域的面积为6﹣=6﹣π，∴方程有实数根的概率为=1﹣．—8．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M．（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率．【解答】解：（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}，整点共有3×3=9个，事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}整点有3个．是一个古典几何概型，所以P（M）=（2）如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ=4，】事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}即图中的阴影部分，面积为S A=．这是一个几何概型，所以P（M）==．9．在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．【解答】解：（1）从袋中6个球中无放回的摸出2个，试验的结果共有6×5=30种，中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为2×1=2；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为4×3=12．:所以，中奖这个事件包含的基本事件数为14．因此，中奖概率为．…（6分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤40，20≤y≤60}；记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤40，20≤y≤60}．如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）==．所以，甲比乙提前到达的概率为．…（12分）:10．已知集合A=[﹣3，3]，B=[﹣2，2]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．（提示：可以考虑采用数形结合法）【解答】解：（1）A=[﹣3，3]，B=[﹣2，2]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，表示的区域的面积为6×4=24．圆x2+y2=4的面积为4π，∴以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率为P1==，（2）由题意，到直线x+y=0的距离不大于的点为夹在两条平行直线x+y﹣2=0与x+y+2=0之间的范围内，如图所示，故所求事件的概率为．>11．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）在x∈R内是偶函数的概率；（2）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）有零点的概率；（3）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈R}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：（1）由已知得，P={1，2，3}，Q={﹣1，0，1，2，3，4}．所有的有序数对有（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有18对，要使f（x）是偶函数，须有b=0，满足条件的有序数对有（1，0），（2，0），（3，0）共有3对，∴；{（2）由已知得，P={1，2，3}，Q={﹣1，0，1，2，3，4}，所有的有序数对有（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有18对，要使f（x）有零点，则b2﹣4a≥0，满足条件的有序数对有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共有6对，∴；（3）要使y=f（x）单调递增，则，即2a≥b，（a，b）可看成是平面区域Ω={（a，b）|1≤a≤3，﹣1≤b≤4}中的所有点，而满足条件是在平面区域A={（a，b）|2a≥b，1≤a≤3，﹣1≤b≤4}中的所有点，∴．[12．某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．【解答】解：（1）某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m==4×3=12，∴甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率：p=．（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，—依题意得，即，作出不等式表示的区域，如图：记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件B，P（B）==．∴两个旅游团在该著名景点相遇的概率为．13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率．【解答】解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD…设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为S弓形OMC=S扇形OCD﹣S Rt△DCO=•π•12﹣×1×1=﹣可得空白部分面积为S空白=2（S半圆AO﹣2S弓形OMC）=2[•π•12﹣（﹣1）]=2因此，两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OAB﹣S空白=π•22﹣2=π﹣2可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P===1﹣答：在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为1﹣．14．在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．（1）求成绩在区间[80，90）内的学生人数及成绩在区间[60，100]内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率．【解答】解：（1）∵各组的频率之和为1，∴成绩在区间[80，90）的频率为1﹣（×2+++）×10=，∴40名学生中成绩在区间[80，90）的学生人数为40×=4，成绩在区间[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]内的人数分别为18，8，4，2，∴成绩在区间[60，100]内的平均成绩为；（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间[90，100]内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d．成绩在区间[90，100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f，则选取学生的所有可能结果为：，事件总数为20．事件“至少有1名学生成绩在区间[90，100]之间”的可能结果为，基本事件为数16，∴．15．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开，求甲、乙能见面的概率．【解答】解：如图所示，以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点和时间，则两人能够会面的等价条件是|x﹣y|＜15．在平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域．由几何概型的概率公式得：=．所以两人能会面的概率是．16．甲、乙两艘货轮均要到某深入港停靠．（1）若甲预计在元月1日、3日、5日中的一天到达该港口，乙预计在元月1日、2日、3日中的一天到达该港口，且甲、乙在预计日期到达该码头均是等可能的，求甲、乙在同一天到该港口的概率．（2）若甲、乙均预计在元月1日00：00点﹣﹣﹣01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，求甲、乙中有船要等待的概率．【解答】解：（1）甲乙到达港口的时间有以下情况（1，1），（1，2），（1，3），（3，1），（3，2），（3，3），（5，1），（5，2），（5，3）共有9种，其中甲、乙在同一天到该港口的有（1，1），（3，3）共有2种，故甲、乙在同一天到该港口的概率P=；（2）甲、乙均预计在元月1日00：00点﹣﹣﹣01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，则满足x﹣y≤20或y﹣x≤20．设在上述条件时“甲、乙中有船要等待”为事件B，则S阴影=60×60﹣2××40×40=2000，S正方形=60×60=3600，故P（B）==．。
几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)
几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面）1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π42．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC ＜12V S-ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.143.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A .12 B.32 C .13 D.144．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.585．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________．8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA ―→·OP ―→≤4的概率为( )A.12B.14C.13D.189．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．12.在面积为S 的ABC ∆ 的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率为 .13．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.（2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.（3）已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．1216.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。
几何概型典型例题
∴P(M)＝SS21＝1386＝12.
(2)设点(x，y)在区域 B 为事件 N，甲、乙两人各掷一次骰子所得 的点(x，y)的个数为 36 个，其中在区域 B 中的点(x，y)有 21 个，故 P(N)＝2316＝172.
几何概型典型例题
1．点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机 取一点 B，则劣弧 的长度小于 1 的概率为________．
解析：设事件 M 为“劣弧 的长度小于 1”，则满足事件 M 的 点 B 可以在定点 A 的两侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随机取一 点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝32.
6．将长为
1
的棒任意地折成三段，求：三段的长第一段的长度为 x，第二段的长度为 y， 第三段的长度为 1－x－y， 解：设第一段的长度为 x，第二段的长度为 y，第三段的长度为 1 －x－y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为 Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0 ＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此区域面积为12.
事件“三段的长度都不超过 a(31≤a≤1)”所对应的几何区域可表 示为 A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a≤21时，
为(3a－1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过
1 a(3
≤a≤1)”的概率为 P＝(3a－1/21)2/2＝(3a－1)2；
当21≤a≤1
时，为21－3(1－2 a)2.此时事件“三段的长度都不超过
1 a(3
≤a≤1)”的概率为 P＝1－3(1－a)2.
几何概型例题分析及习题(含答案)
几何概型例题分析及练习题(含答案)［例1］甲、乙两人约定在下午 4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图|x — y|乞15时可相见，即阴 60 -4527影部分P2 6021 21 ［例3］将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率。
2解：设第一段的长度为x ,第二段的长度为y ,第三段的长度为1-x -y ，则基本事件 组所对应的几何区域可表示为门二{(x, y) |0 ::: x :: 1,0 ：：： y ：：： 1,0 ：：： x • y ：：： 1}，即图中黄色区域，此区域面积为［例2］设A 为圆周上一定点, 率。
在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径,2倍的概cf BCD P =-圆周1事件“三段的长度都不超过丄”所对应的几何区域可表示为2 111 A ={(x, y)| (x, yb 11，x , y ,1 — x — y }2 22=181丄”的概率为P 二直2 12即图中最中间三角形区域，此区域面积为此时事件“三段的长度都不超过2 • -(-)22 2解：| AB |=| AC 匸..2R .y=-15x-y=1515 06012［例4］两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，X i x 2 _ -a 0 X 2 = b 0解： （2）（1）利用计算器产生 0 变换 a = a ! ” 2 _ 1 , (3) 从中数出满足条件 b至1区间两组随机数a 1,b 1 b = b - ” 2 -1 1 2a 且a . 0且b 0的数m 4c ：解法1：记 ABC 的三内角分别为 形”，则试验的全部结果组成集合$11=｛「， ）0 J , :: ,0 J因为ABC 是锐角三角形的条件是n ， 3TnJI0 ,且二川：—2 2所以事件A 构成集合A=｛（「）|,0 (2)由图2可知，所求概率为A 、B 、C,求 ABC 是锐角三角形的概率。
几何概型例题分析及习题(含答案)
2几何概型例题分析及练习题(含答案)［例1］甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人 15分钟，若另一人仍不 到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设X 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图［例2］设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与 A 连接，求弦长超过半径 2倍的概率［例3］将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过丄2的概率。
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1 x y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为{(x,y)|O x 1,0 y 1,0 x y 1}，即图中黄色区域，此区域面积为1。
2事件“三段的长度都不超过 1”所对应的几何区域可表2 示为1 1 1A {( x, y)|(x, y) ， x -,y J x y 才即图中最中间三角形区域，此区域面积为 丄(丄)2 12 2 81此时事件“三段的长度都不超过1”的概率为P -8 1 2 14|x y| 15时可相见，即阴影部分602 452 602rinx-尸一 13flJ 1 S 哎y60 K解：| AB| | AC| ,2R .BCD圆周7 16A［例4］两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25,下午3： 00张三在基地正东30内 部处，向基地行驶，李四在基地正北 40内部处，向基地行 驶，试问下午3： 00,他们可以交谈的概率。
解：设x,y 为张三、李四与基地的距离x ［0,30］，y ［0,40］，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对（x,y ），表示区域总 面积为1200，可以交谈即x 2 y 2 25程x 2 ax b 0两根均为正数的概率a 2 4b 0-252 120025 192［例5］在区间［1,1］上任取两数a,b ， 运用随机模拟方法求二次方解:（2）X2 a 0x2 b 0（1 ）利用计算器产生变换 a a1 2 1，0至1区间两组随机数a1,b1b1 2 1，事件A表示b三角形的概率。
几何概型(新高考地区专用)(含解析)
几何概型（客观题）一、单选题1．如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概率为A ．12B C ．13D ．152．在等腰直角三角形ABC 中，角C 为直角．在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM AC <的概率A ．2B ．12C ．34D ．143．在区间[2,2]-内随机取一个数a ，则关于x 的方程220x x a -+=无实根的概率是 A ．15 B ．14C ．13D ．344．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米．现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为1625π，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为A ．0.8厘米B ．1厘米C ．1.1厘米D ．1.2厘米5．在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为43C．13D．126．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理．已知铜钱是直径为()1cma a>的圆，正中间有一边长为0．5cm的正方形小孔，现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为116π，则a=A．4B．3C．2D7．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A．16B．13C．23D．458．古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一，金字塔（如图1）作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔的高146．5米，底面正方形边长230米．若小明在距离金字塔底而中心230米的圆周．上任取一点（圆周上所有点被选取的概率相等），从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为A．13B．23449．在区间[]0,8上随机取一个实数a ，则方程22160x ax ++=有实数根的概率为A ．14 B ．12C ．13D ．2310．已知x 、y 满足1x y +≤，则事件“2212x y +≤”的概率为 A ．8π B ．4π C ．18π-D ．14π-11．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为A ．13 B ．4ππ-C ．22ππ-D ．22ππ+12．在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点，在所取的点恰好满足x y +≤ A ．116 B ．18C ．14D ．1213．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是1616C．35D．1214．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为A B．C．D．15．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是A．136B．19C．16D．2916ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，点E为线段DC上的点，且1CE ，则在旋转的过程中，BP与线段EC有交点的概率为A．13B．12C．23D．1417．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是A ．14B ．12C ．58D ．3418．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,a b b a N 、∈<，则圆周率的近似值为A．(a bB．(b aC．(a bD．(b a-19．在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为A ．16π B ．12πC ．44π-D ．1420．在区间[-2，2]上随机抽取一个数x ，则事件“-1≤ln （x ＋1）≤1”发生的概率为A ．2e 13e-B ．2e 14e-C ．2e 2e 13e--D ．2e 2e 14e--21．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是A B ．12C ．14-D ．3422．为了求得椭圆()222210x y a b a b+=>>的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入()()()1122,,,,,n n x y x y x y 共n 个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有()m m n <个．若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为A ．mn B ．2mn C ．2m nD ．n m23．刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一．他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题．如下图在圆的直径CD 上任取一点E ，过点E 的弦AB 和CD 垂直，则AB 的长不超过半径的概率是A ．1-B ．13C ．14D ．14- 24．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 2θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭形区域的概率为．A ．14 B ．15 C ．25D ．3525．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体1111ABCD A B C D -，随机在线段1AC 上取一点，过该点作垂直于1AC 的平面α，则平面α“解”正方体1111ABCD A B C D -所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为 A ．16B ．13 C ．12D ．2326．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是A ．12- B ．2C ．44D27．已知[]8,4a ∈-，则命题00x ∃>，20010x ax ++<为假命题的概率A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.528．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-29．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，且满足CA CB =，圆内的弧线是以C 为圆心，CA 为半径的圆的一部分．记ABC ∆三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为1P ，2P ，则A ．12P P =B ．12P P >C ．1241P P π+=+ D ．2111P P π-=+ 30．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为A ．12BC ．23D二、填空题1．在区间()0,6中任取一个数x ．则能使2，3，x 是某个三角形三边长的概率是__________． 2．在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为__________．3．如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为__________．4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90C =∠，30B ∠=，在BAC ∠内过点A 任作一射线与BC 相交于点D ，使得30DAC ∠<的概率为__________．5．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05-20：50时间段通过班级群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是__________．6．勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形ABDE 是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记ABC θ∠=，若tan 74πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，在正方形ABDE 内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为__________．7．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是__________．8．在区间[2,3]-上随机取一个实数x ，则“||1x ≤”的概率为__________． 9．点P 是ABC 内部任意一点，则PAB △的面积小于ABC 面积一半的概率为__________．10．记函数()f x =D ，若在区间[]5,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率为__________．11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请160名同学，每人随机写下开一个都小于4的正实数对(),x y ；再统计两数能与4构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数n ；最后再根据统计数n 来估计π的值．假如统计结果是126n =，那么据此估计π的值为__________．12．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如上图．现在图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为__________．13．如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为__________．14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为__________．15．如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的．现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________．16．已知直线:4l y x =-与曲线:C y =C 上随机取一点M ，则点M 到直线l 的概率为__________．17．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin4πx 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示)．其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__________．18．若在不等式221x y +≤所表示的平面区域内随机投一点P ，则该点P 落在不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域内的概率为__________． 19．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC ，AB ，AC 为直径的三个半圆组成，2BC =，点A 在弧BC 上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P ，则P 的最大值是__________．20．在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则能够使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为______．21．如图所示，是一正方形苗圃图案，中间黑色的大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机地取一点，则该点取自黑色区域的概率为__________．22．如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥．则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是__________．23．在区间[0,]π上随机取一个数α，则11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的概率为__________． 24．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形1A AB 中，112A A AB =．根据这些信息，若在正五边形ABCDE 内任取一点，则该点取自正五边形11111A B C D E 内的概率是__________．25．已知P ，E ，F 都在球面C 上，且P 在EFG ∆所在平面外，PE EF ⊥，PE EG ⊥，224PE GF EG ===，120EGF ︒∠=，在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P ﹣EFG内的概率为__________．26．在曲线22x y x y +=+上及其内部随机取一点，则该点取自圆221x y +=上及其内部的概率为__________．一、单选题1．如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概率为A ．12B C ．13D ．15【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文） 【答案】D【分析】求出阴影部分的面积，大正方形的面积即可得概率．25S ==，小正方形边长为1，面积为2111S ==，所以所求概率为115S P S ==．故选D ． 2．在等腰直角三角形ABC 中，角C 为直角．在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM AC <的概率A ．2B ．12C ．34D ．14【试题来源】湖南师大附中2020届高三下学期6月月考（文） 【答案】C【分析】求出满足AM AC <时CM 所扫过的角度，利用角度比可得概率． 【解析】当AM AC =时，1804567.52ACM ︒-︒∠==︒，90ACB ∠=︒， 所以所求概率为67.53904P ︒︒==．故选C ． 3．在区间[2,2]-内随机取一个数a ，则关于x 的方程220x x a -+=无实根的概率是54C ．13D ．34【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】由已知条件，得440a ∆=-<，结合[2,2]a ∈-，求出a 的范围，根据几何概型的概率公式，a 取值范围区间长度除以[2,2]-长度，即可求解． 【解析】关于x 的方程220x x a -+=无实根， 得440,1,[2,2],(1,2]a a a a ∆=-<>∈-∴∈，所以所求的概率为14P =．故选B ． 4．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米．现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为1625π，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为A ．0.8厘米B ．1厘米C ．1.1厘米D ．1.2厘米【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题 【答案】B【分析】设该五铢钱的穿宽为x 厘米，根据几何概型的概率公式列式可解得结果． 【解析】圆的半径为54厘米，圆的面积为25()4π⨯2516π=， 设该五铢钱的穿宽为x 厘米，则方孔面积为2x 厘米，根据几何概型可得216252516x ππ=，解得1x =厘米．故选B ．5．在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为43C ．13D ．12【试题来源】2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合（理） 【答案】D【分析】根据∆求出a 的取值范围，结合几何概型的概念，可得结果．【解析】因为方程2280x ax -+=有实数根，所以2()4280a ∆=--⨯⨯≥，解得8a ≥或8a ≤-，故方程2280x ax -+=有实数根的概率12811242p -==-．故选D ．6．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理．已知铜钱是直径为()1cm a a >的圆，正中间有一边长为0．5cm 的正方形小孔，现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为116π，则a =A ．4B ．3C ．2D【试题来源】百师联盟2021届高三开学摸底联考（文）全国卷III 试题 【答案】A【分析】分别计算钱的圆面面积和钱空正方形的面积，由几何概型概率公式求出一滴油滴落入孔中的概率．【解析】圆的面积为22a π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2cm ，正方形的面积为20.50.5cm ⨯，则一滴油滴落入孔中的概率20.50.16512a P ππ⎛==⨯⎫ ⎪⎝⎭，得4a =，故选A ．7．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为A ．16 B ．13 C ．23D ．45【试题来源】安徽省合肥六中2019-2020学年高三上学期第一次段考（文） 【答案】C【解析】设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12），矩形的面积S=x （12-x ）＞20， 所以x 2-12x+20＜0，所以2＜x ＜10，由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-．8．古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一，金字塔（如图1）作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔的高146．5米，底面正方形边长230米．若小明在距离金字塔底而中心230米的圆周．上任取一点（圆周上所有点被选取的概率相等），从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为A ．13 B ．23 C ．14D ．34【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试 【答案】A【分析】根据题意，利用长度比的几何概型求得只能看到金字塔的一个侧面的概率，进而求得看到两个侧面的概率．【解析】如图所示，中间正方形的边长为230米，可得230AB CD ==米， 其中在AB 处的任意一点，只能看到金字塔的一个侧面，又由圆的半径为230米，其中230OA OB ==米， 所以ABO 为等边三角形，即60AOB ∠=， 其中由四个这的区域，只能看到金字塔的一个侧面， 所以只能看到一个侧面的概率为46023603⨯=， 所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为13．故选A ．9．在区间[]0,8上随机取一个实数a ，则方程22160x ax ++=有实数根的概率为A ．14 B ．12C ．13D ．23【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（文） 【答案】B【分析】由2441160a ∆=-⨯⨯≥可得4a ≤-或4a ≥，然后根据几何概型的概率计算公式可得答案．【解析】由2441160a ∆=-⨯⨯≥，得216a ≥，即4a ≤-或4a ≥， 它与08a ≤≤的公共元素为48a ≤≤，所以4182p ==，故选B ． 10．已知x 、y 满足1x y +≤，则事件“2212x y +≤”的概率为 A ．8π B ．4π C ．18π-D ．14π-【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】作出区域(){},1A x y x y =+≤与区域()221,2B x y xy ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，并计算出两个区域的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【解析】区域(){},1A x y x y =+≤是由()1,0、()0,1、()1,0-、()0,1-为四个顶点的正方形及其内部，区域()221,2B x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭是以原点为圆心，半径为2的圆及其内部，如下图所示：区域A的正方形及其内部，区域A的面积为22A S ==，区域B的面积为22B S ππ=⨯=⎝⎭，因此，所求概率为224B A S P S ππ===．故选B ． 11．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为A ．13 B ．4ππ-C ．22ππ-D ．22ππ+ 【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考（理） 【答案】C【分析】设小圆的半径为r ，则大圆的半径为2r ，计算出阴影部分区域的面积和大圆的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【解析】设小圆的半径为r ，则大圆的半径为2r ，则空白区域可看作是边长为2r 的正方形与半径为r 的四个半圆组合而成， 所以，空白区域的面积为()()222124422r r r ππ+⨯⨯⨯=+，所以，阴影部分区域的面积为()()()22224224S r r r πππ=⨯-+=-，因此，所求概率为()2224242r P r ππππ--==．故选C ．12．在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点，在所取的点恰好满足x y +≤A ．116 B ．18C ．14D ．12【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（理）考试二试题 【答案】C【解析】由题意可知所取的点应在图中阴影部分．从而其概率为．故本题正确答案为C ．13．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是A ．716 B ．916 C ．35D ．12【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考（理） 【答案】B【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得()991616S P A S ==小三角形小三角形，得解． 【解析】由图可知黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得()991616S P A S ==小三角形小三角形，故选B ． 14．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为AB．C．D．【试题来源】安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试（文） 【答案】C【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．【解析】设阴影部分的面积为S3422=，解得S ＝3．故选C ．15．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是A ．136 B ．19C ．16D ．29【试题来源】河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文） 【答案】D【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论．【解析】因为大正方形的面积为6636⨯=；而小正方的面积为111⨯=；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有6个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是812369⨯=．故选D ． 16ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，点E 为线段DC 上的点，且1CE =，则在旋转的过程中，BP 与线段EC 有交点的概率为A ．13 B ．12C ．23D ．14【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（（理））联考试题 【答案】A【分析】首先求出CBE ∠，再根据角度型几何概型概率公式计算可得；【解析】tan CE CBE CB ∠===，6CBE π∴∠=， BP ∴与线段EC 有交点的概率为1632ππ=．故选A ．17．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是A ．14B ．12C ．58D ．34【试题来源】江西省南昌二中2020届高三高考数学（（理））校测试卷题（三） 【答案】D【解析】设扇形的圆心角为α，大扇形的半径长为R ，小扇形的半径长为r ， 则22S R α=大扇形，22S r α=小扇形，2R r =．根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为222222223322442R r R r r P R r R ααα--====．故选D ． 18．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,a b b a N 、∈<，则圆周率的近似值为A．(a bB．(b aC．(a bD．(b a-【试题来源】河南省2020届高三（6月份）高考数学（（理））质检试题 【答案】C【分析】本题首先可计算出正二十四边形的面积1S ，然后计算出半径为1的圆的面积2S ，最后根据几何概型的概率计算公式即可得出结果．【解析】因为正二十四边形的面积211241sin152432S ︒=⨯⨯⨯==，半径为1的圆的面积2S π=，所以123S S b aπ==，解得(a bπ=，故选C ．【名师点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，能否求出正二十四边形的面积以及圆的面积是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．19．在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为A ．16πB ．12πC ．44π-D ．14【试题来源】四川省德阳市2020届高三高考数学（（文））三诊试题【答案】D【分析】设正方形ABCD 的边长为2，计算出阴影部分区域和正方形ABCD 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．【解析】设正方形ABCD 的边长为2，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称，如下图所示：所以，阴影部分区域的面积为12112S '=⨯⨯=，正方形ABCD 的面积为224S ==，因此，所求概率为14S P S '==．故选D ． 20．在区间[-2，2]上随机抽取一个数x ，则事件“-1≤ln （x ＋1）≤1”发生的概率为A ．2e 13e-B ．2e 14e-C ．2e 2e 13e--D ．2e 2e 14e--【试题来源】云南省红河州第一中学2021届高三年级（理）第一次联考试题 【答案】B【分析】先解不等式()1ln 11x -≤+≤，然后利用几何概型的长度类型求解．【解析】由不等式()1ln 11x -≤+≤，得11e 1ex -≤≤-，所以事件“-1≤ln （x ＋1）≤1”发生的概率为()1e 11e 4P ⎛⎫---⎪⎝⎭==2e 14e-．故选B ．【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题． 21．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是A ．22- B ．12CD ．34【试题来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研（文） 【答案】A【分析】设大正方形的边长为2，求出阴影部分的面积后，由几何概型概率公式即可得解． 【解析】设大正方形的边长为2，则大正方形的面积14S =，易知阴影部分图形为正方形，因为直角三角形中较小的锐角6πα=，所以小正方形的边长为2cos2sin166ππ-=，。
几何概型典型例题
典型例题【类型一】 与(时间)长度有关的几何概型例1．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有l0s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分析:包含两个间谋谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在0到40s 之间时全部被擦掉，即在Os 到40s 之间，也即Omin 到32min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而Omin 到30min 之间的时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．解析: 设事件A"按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在Omin 到32min 时间段内按错键，所以点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件A 对应的区域是Omin 到32min 的时间段,而不是21min 到32min 的时间段. 【类型二】 与面积有关的几何概型例2．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm ，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解．解：记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点满在面积为41π×12.22cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率:答：“射中靶心”的概率是0.01.点评: 在几何区域D 内随机取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率: 的度量的度量D d A P =)(. 【类型三】 与体积有关的几何概型例3.在1L 高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？点拨: 病种子在这1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得10mL 种子可以看作区域d,所有种子可视为区域D.解：取出10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P （A ）=.1001100010==所有种子的体积取出种子的体积 点评: 本题事件A 的度量是用种子的体积,应用问题的度量视具体情况而定. 创新应用型几何概型-------（会面问题）例4.甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解析：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x-y|≤15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是 P （A ）=167604560222=-=S S A 几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件的概率计算公式，问题是不难解决的．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化．y60 1515。
新人教B版高中数学(必修3)3.3.1《几何概型》
记事件 指出概率类型 构造几何图形
求概率
计算几何度量
例1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小 杯水中含有这个细菌的概率. 解: 记A=“小杯水 中含有这个细菌” P(A)=0.1/1=0.1
例2：一金鱼在水池中自由游弋，水 池为长30米，宽20米的长方形，求 金鱼离岸边不超过2米的概率？
E C O D
关 键:
对于复杂的实际问题,解题的关键
是要建立模型,找出随机事件与所有 基本事件相对应的几何区域,把问题 转化为几何概型问题,利用几何概型 的概率公式来求解.
课堂小结
(1)几何概型的特点 (2)几何概型的定义 (3)几何概型的概率计算公式
1、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标小于1 的概率是：（ ） A：1/3 B：1/2 C：2/3 D：2/9 2、在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上， 任作一条射线OA，则射线OA落在∠XOT内的概 率是（ ） A：1/3 B：1/4 C：1/5 D：1/6 3、如果在一个1万平方公里的海域里有表面积 达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海 领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是 （ ） A：1/40 B：1/25 C：1/250 D：1/500
等可能发生的的概率类型;
2.几何概型主要用于解决与长度.角度.面积.
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是
体积有关的题目;
3.求解公式为
μA 子 区 域 A的几 何 度 量 P(A) = = μΩ 区 域的 几 何 度 量
练习：求下列事件的概率
长度
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ 1 ） 3 2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中 3 任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率（ 10） 3.如图在圆心角为90O 的扇形AOB中，以圆心O为 起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 5 的概率为（ ） 面积 4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的 面积小于 S 的概率为（ 3 ）
新几何概型典型例题教学内容
1.在长为 1 的线段 AB 上取一点 C，则 AC 之间的
距离小于 1 的概率为 2
A． 1 4
C． 3 4
B． 1 2
D． 7 8
面积型概率
3. 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，
则△PBC 的面积不小于 S 的概率是（ ） 3
A． 2 B． 1 C． 3 D． 1
结束语
谢谢大家聆听！！！
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4
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面积型概率（建系法）
1. 甲乙两人相约晚上7点到8点之间见面， 约定谁先到达约定地点就等对方20分钟， 等待超过20分钟则离2.在长为 1 的线段任取两点，则这两点之间的
距离小于 1 的概率为 2
A． 1 4
C． 3 4
B． 1 2
D． 7 8
面积型概率（建系法）
3.设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 ． （Ⅰ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个整数， b 是从区间
[0，2] 任取的一个整数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个实数， b 是从区间
[0，2] 任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
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面积型概率
1．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆 子，豆子落在正方形内切圆的上半圆 (圆 中阴影部分)中的概率是( )4，在矩形内随机地 撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面 积约为 .
面积型概率
3. 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，
S 则△PBC 的面积不小于 的概率是（ 3 2 1 3 1 A． B． C． D． 3 3 4 4
）
面积型概率（建系法）
1. 甲乙两人相约晚上7点到8点之间见面， 约定谁先到达约定地点就等对方20分钟， 等待超过20分钟则离开。求甲乙两人约 会成功的概率。
面积型概率（建系法）
2.在长为 1 的线段任取两点，则这两点之间的
1 距离小于 的概率为 2 1 A． 4 3 C． 4
1 B． 2 7 D． 8
面积型概率（建系法）
3.设有关于 x 的一元二次方程 x
2
2ax b 0 ．
2
3] 任取的一个整数， b 是从区间 （Ⅰ）若 a 是从区间 [0， [0， 2] 任取的一个整数，求上述方程有实根的概率． 3] 任取的一个实数， b 是从区间 （Ⅱ）若 a 是从区间 [0， [0， 2] 任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
几何概型典型例题
长度型概率
1.在长为 1 的线段 AB 上取一点 C，则 AC 之间的
1 距离小于 的概率为 2 1 A． 4 3 C． 4
1 B． 2 7 D． 8
长度型概率
2.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个 定点，若在该圆周上随机取一点 B， 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率 为 。