几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案)
[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等
另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴
影部分167
6045602
22=-=P
[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概
率。

解：R AC AB 2||||=
=. ∴ 2
1
2==
=
⋂
R R BCD
P ππ圆周
[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过
2
1
的概率。

解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件
组所对应的几何区域可表示为
}10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为
2
1。

事件“三段的长度都不超过
21
”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2
1
1,21,21<--<<y x y x
即图中最中间三角形区域，此区域面积为8
1
)21(212=⨯
此时事件“三段的长度都不超过2
1”的概率为41
2
181
==P
[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km ，
下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即252
2
≤+y x
故192
251200
25
41
2
π
π=
=P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02
=++b ax x 两根均
为正数的概率。

⎪⎩⎪
⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆000
42
1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2
4
1a b ≤且0<a 且0>b 的数m （4）n
m
P =
（n 为总组数）
[例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求∆ABC 是锐角三角形的概率。

解法1：记∆ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“∆ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合
Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。

因为∆ABC 是锐角三角形的条件是 02
<<
αβπ
,且αβπ
+>
2
所以事件A 构成集合 A =+>
<<{(,)|,,}αβαβπ
αβπ
202
由图2可知，所求概率为
P A A ()=的面积的面积Ω==12212
1
422()
ππ。

解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当∆ABC 为锐角三角形，记为事件A 。

则当C 点在劣弧C C 12上运动时，∆ABC 即为锐角三
角形，即事件A 发生，所以
P A ()=⨯=1
42214
π
π
解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

[例7]将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．
解：设M =“3段构成三角形”．x y ，分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为
L x y --．{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<，，，|．
由题意，x y L x y --，，要构成三角形，须有x y L x y +>--，即1
2
x y +>
； ()x L x y y +-->，即2
L
y <
；()y L x y x +-->，即2
L x <
． 故()|222L L L M x y x y y x ⎧
⎫=+><<⎨⎬⎩
⎭，，，．
如图
1
所示，可知所求概率为
2
21122()42
L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积． [例8]在区间[01]，上任取三个实数x y z ，，，事件222{()1}A x y z x y z =++<，，|．
（1）构造出此随机事件对应的几何图形； （2）利用该图形求事件A 的概率．
解：（1）如图2所示，构造单位正方体为事件空间Ω，正方体以O 为球心，以1为半径
在第一卦限的
1
8
球即为事件A ． （2）3314π1
π
83()16
P A ⨯==·
P
例9图
D
C
B
A
[例9] 例5、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝7.现在向该矩形内随机投一点P ，求0
90>∠APB 时的概率。

解：由于是向该矩形内随机投一点P ，点P 落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD 是区域Ω.要使得0
90>∠APB ，须满足点P 落在以线段AB 为直径的半圆内，以线段AB 为直径的半圆可看作区域A.记“点P 落在以线段AB 为直径的半圆内”为事件A ，于是求0
90>∠APB 时的概率，转化为求以线段AB 为直径的半圆的面积与矩形ABCD 的面积的比，依题意得，8
25)25(212π
πμ=
⋅=
A ，矩形ABCD 的面积为35=Ωμ，故所求的概率为.56
535825)(π
π
==A P
点评：挖掘出点P 必须落在以线段AB 为直径的半圆内是解答本题的关键。

[课后习题]
1．一枚硬币连掷3次，至少出现两次正面的概率是（ ） Ａ．
14 Ｂ．
12 Ｃ．
38 Ｄ．
2
3
答案：Ｂ 2．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使90APB ∠<°的概率是（ ） Ａ．
π8
Ｂ．
π4
Ｃ．π18
-
Ｄ．π
14
-
答案：Ｃ 3．已知地铁列车每10min 到站一次，且在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ） Ａ．
110
Ｂ．
16
Ｃ．
1160
Ｄ．
1
11
答案：Ｄ 4．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是（ ） Ａ．
12
Ｂ．
13
Ｃ．
14
Ｄ．
1
5
答案：Ｂ 5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是（ ） Ａ．
π16
Ｂ．
π8
Ｃ．
π4
Ｄ．
π
2
答案：Ｂ 6．在线段[03]，上任取一点，则此点坐标小于1的概率是 ． 答案：
13
7．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是 ． 答案：
1
250
8．从1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml ，则其含有麦锈病的种子的概率是 ． 答案：0.01 9.将数2.5随机地（均匀地）分成两个非负实数，例如2.143和0.357或者3和2.5－3，然后对每一个数取与它最接近的整数，如在上述第一个例子中是取2和0，在第二个例子中
取2和1.那么这两个整数之和等于3的概率是多少？（答案：
5
2） 11.在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率。

（答案：
4
3） 12.设p 在[0，5]上随机地取值，求方程02142
=++
+p px x 有实根的概率。

（答案：5
3
） 13.在集合}40,50|),{(≤≤≤≤y x y x 内任取一个元素，能使代数式012
19
34≥-+y x 的概
率是多少？（答案：10
3
）。