集合中的容斥原理

一.容斥原理

(一)两集合型的容斥原理题目

︱A∪B︱＝︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱

关键是分清题目中的条件I和条件II，然后直接套用公式：满足条件I的个数＋满足条件II的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数

一的个数+二的个数－都含有的个数＝总数－都不含有的个数

1. 某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26 人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都及格的有22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少

A.10

B.4

C.6

D.8

解: 应用公式 26+24-22=32-X

X=4

所以答案选B

2. 某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少

A.22

B.18

C.28

D.26

代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22

3. 某单位有青年员工85人，其中68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。

A.57

B.73

C.130

D.69

解: 应用公式：68+62-X=85-12

X=57人

4. 一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人?

A.109人

B.115人

C.127人

D.139人

A【解析】69+58-30=x-12=>x=109

5. 电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问，两个频道都没有看过的有多少人?

A.4

B.15

C.17

D.28

B【解析】62+34-11=100-x=>x=15

6. 一个停车场有50辆汽车,其中红色轿车35辆,夏利轿车28辆,有8辆既不是红色轿车又不是夏利轿车,问停车场有红色夏利轿车多少辆?

A.14

B.21

C.15

D.22

B【解析】35+28-x=50-8=>x=21

(二) 三集合型的容斥原理题目

︱A∪B∪C︱＝︱A︱＋︱B︱＋︱C︱－︱A∩B︱－︱B∩C︱－︱C∩A︱＋︱A∩B∩C︱

A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC=总个数－三者都不满足的个数

1. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（）。

A．22人 B．28人C．30人D．36人

【解析】A。设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52），则有：

A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）

B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）

A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）

A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）

根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋︱A∩B︱＋︱B∩C︱＋︱C∩A︱－︱A∩B∩C︱

︱C∩A︱＝A＋B＋C－（︱A∪B∪C︱＋︱A∩B︱＋︱B∩C︱－︱A∩B∩C︱）

＝148－（100＋18＋16－12）＝26

所以，只喜欢看电影的人＝C－︱B∩C︱－︱C∩A︱＋︱A∩B∩C︱

＝52－16－26＋12

＝22

2. 外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（）。

A．4人B．5人C．6人D．7人

【解析】B。此题应该用文氏图法，将能教英语、日语、法语的教师分别设为不同的集合。先设所有集合的交集为2，依题意得文氏图（见下图）。

由图可得只能教法语的老师为：27－8－6－3－2－2－1＝5人。

3. 某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会

说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（）。A．1人B．2人C．3人D．5人

【解析】C。如图所示：

上图的含义为只懂英语、法语和西班牙语的人数分别人2、1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12－（2＋2＋1＋1＋1＋1＋2）＝2（人），5－2＝3（人）。

4. 如下图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290，且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36，问阴影部分的面积是多少？（）

A. 15

B. 16

C. 14

D. 18

【解析】B。本题属于三个集合，令阴影部分面积为x，直接套用三个集合公式可得：290＝64＋180＋160－24－70－36＋x，解之可得x＝16。

5. A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。三本书全读过的有多少人？（）

A.5

B.7

C.9

D.无法计算

选B