力学专业英语翻译 10课

单只点的振动

当介质被通过它的一股波扰动时，组成介质的质点就会振动。举一个简单的例子，由于水波的影响漂浮在池塘表面的木塞将会上下振动。单摆的摆锤和自由悬挂在细绳端部的重物是另外质点振动的的例子。大部分读者应该能想出他们是怎样振动的。

振动质点的运动是周期性的，这就是说，在相同时间间隔（周期T）后系统将的位置不变。举个例子，钟摆的摆锤和他在T秒前的位置一样，以同样的速度和加速度运动，这些量在T、2T、3T等秒后也是一样的。在一个种期间隔内，振动系统要经历一个位置的循环，频率f是一个一秒钟循环的次数。很明显，f=1/T,f的量纲是1/s。单位为（Hz）。

最简单的周期运动是质点沿着直线运动，它的加速度指向固定点，和距固定点的位置成比例。这叫做简谐运动（s.h.m.）。假定质点p沿着直线运动，他相对于固定点o的位置完全有一个坐标x指定。质点运动的加速度是d2

/dt²，它指向点o与距离x成比例。因此：

X

/dt²+w²x=0 (1),w是正常数。

d2

X

上面的方程（1）是二阶线性微分方程。X和它的倒数是一次幂所以是线性的，最高阶倒数是d2

/dt²因此是二阶的。方程（1）也就

X

是微分运动控制方程。它不是运动方程。为了得到运动方程，我们必须解方程（1）求x和通解： X=aSin(wt+ε)。 (2) （wt+ε）是运动的相位，ε是相位常数（周期）。常数a是运动的振幅，由于Sin(wt+ε)最大值是一，它便是x可能取得的最大值。因

+a间。

此运动完全在x=1

上面我们考虑的振动系统以不衰减的a振动。当然，实际物理场不是这样。振动是不确定的。例如，悬挂在弹性绳上的质量块的振动最终会停止。衰减是因为在很多次运动后储存在系统中的能量逐渐的转化成热能。当悬挂的质量块运动时，由于他通过的大气而受到粘性力。为了克服这个力就得做功，因此能量就会损失。尽管质量块在真空中，也会存在弹性绳的拉伸滞后损失，同样在固定细绳处也会有摩擦损失。

这是一个经验事实，当质点通过粘性液体时，像汽油，就会产生一个和流体质点速度成比例的阻力，假使这个速度不是很大时。摩擦力也可实验性的得到和相对速度成比例。阻抗运动的力的合力就构成一个单一的阻尼力。

进一步，假定任一瞬时的力都和质点速度成比例，也就是阻尼力等于D dx/dt, D是阻尼系数。在质量块m上应用牛顿运动第二定律得：/dt²+D dx/dt+kx=0 (3)

m d2

X

通过解这个微分方程可以得到实际的运动方程。解的行为x的函数t 依赖于阻尼常数的大小。

在前面章节探讨的振动系统有时是自由振动。其频率完全由系统本身决定。没有外界的进一步干扰。尤其没有能量引入。当振动系统受到某种连续的周期扰动，产生的振动就是和自由振动完全不同的受迫振动。

让我们考虑一个最简单的振动情况：悬挂在刚度为k的弹性绳上

的质量块m受到变化的力。这个力随着时间正弦变化，最大值是F o。当在方程（3）中考虑驱动力时，通过应用牛顿运动第二定理我们得

/dt²+D dx/dt+kx=F o Sin pt (4)

到：m d2

X

这就是有阻尼振动质点的微分方程，p是圆频率。

根据微分方程理论，方程（4）解为x=x1+x2,x1是没有右边的方程通解，x2是这个方程的特解。X1随着时间衰减，因此也叫做瞬态解。另一方面，x2并不随着t的增大而消失，被称为定常解。因此，可以分别得到瞬态解和定常解，加起来便得到方程（4）的完整解。