时间序列分析模型研究【文献综述】

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时间序列分析模型研究
人们的一切活动，其根本目的无不在于认识和改造客观世界。

时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界之目的。

而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。

从统计学的内容来看，统计所研究和处理的是一批又“实际背景”的数据，尽管数据的背景和类型各不相同，但从数据的形成来看，无非是横剖面数据和纵剖面数据两类（或者叫做静态数据和动态数据）。

横剖面数据是由若干相关现象在某一时点上所处的状态组成的，它反应一定时间、地点等客观条件下诸相关现象之间存在的内在数值联系。

研究这种数据结构的统计方法是多元统计分析。

纵剖面数据是由某一现象或若干现象在不同时刻上的状态所形成的数据，它反映的是现象以及现象之间关系的发展变化规律性。

研究这种数据的统计方法就是时间序列分析。

由此足以看出时间序列分析的重要性和其应用的广泛性。

早期的时间序列分析通常都是通过直接观察的数据进行比较或绘图观测，寻找序列中所蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时间序列分析。

古埃及人发现尼罗河河水间歇性泛滥的规律就是依靠这种分析方法所得出的。

而在天文、物理、海洋学等自然科学领域中，这种简单的描述性时间序列分析分析方法也常常能使人们发现意想不到的规律。

比如，19世纪中后叶，德国药剂师、业余的天文学家施瓦尔就是运用这种方法，经过几十年不断的观察、记录，发现了太阳黑子的活动具有11年左右的周期。

描述性时间序列分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时间序列分析的第一步。

统计时间序列分析
随着研究领域的不断扩展，人们发现单纯的描述性时间序列分析有很大的局限性。

在金融、法律、人口、心理学等社会科学研究领域，随机变量的发展通常会呈现出非常强的随机性，如果通过对序列简单的观察和描述，总结出随机变量发展变化的规律，并准确预测处它们将来的走势通常是非常困难的。

为了更准确地估计随机序列发展变化的规律，从20世纪20年代开始，学术界利用
数理统计学原理分析时间序列。

研究的重心从表面现象的总结转移到分析序列值内在的相关关系上，由此开辟了一门应用统计学科——时间序列分析。

纵观时间序列分析的发展历史可以将时间序列分析方法分为两大类。

(1)频域分析方法
频域分析方法也被称为“频谱分析”或“谱分析”方法。

早期的频域分析方法假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动，借助富里埃分析从频率的角度揭示时间序列的规律，后来又借助了傅里叶变换，用正弦、余弦项之和来逼近某个函数，20世纪60年代，Burg在分析地震信号时提出最大熵谱估计理论，该理论克服了传统谱分析所故有的分辨率不高和频率漏泄等缺点，使谱分析进入一个新阶段，我们称之为现代谱分析。

目前谱分析方法主要应用于电力工程、信息工程、物理学、海洋学和气象科学等领域，它是一种非常有用的纵向数据分析方法。

但是由于谱分析过程一般都比较复杂，研究人员通常要具有很强的数学基础才能熟练使用它，同时它的分析结果也比较抽象，不易于进行直观解释，导致谱分析方法的使用具有很大的局限性。

(2)时域分析方法
时域分析方法主要是从序列自相关的角度揭示时间序列的发展规律。

相对于谱分析方法，它具有理论基础扎实、操作步骤规范、分析结果易于解释的优点。

目前它已广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域，成为时间序列分析的主流方法。

时域分析方法的基本思想是源于事件的发展通常都具有一定的规律性，这种规律性用统计的语言来描述就是序列值之间存在着一定的相关联系，而且这种相关联系通常具有某种统计规律。

我们分析的重点就是寻找这种规律，并拟合出适当的数学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型预测序列未来的走势。

时域分析方法最早可以追溯到1927年，英国统计学家G.U.Yule(1871-1951)提出自回归(autoregressive，AR)模型。

不久之后，英国数学家、天文学家G.T.Walker在分析大气规律时使用了滑动平均(moving average，MA)模型和自回归滑动平均(autoregressive movingaverage，ARMA)模型。

这些模型奠定了时间序列时域分析方法的基础。

1970年，美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkinsy一起出版了《时间序列分析—预测与控制》一书。

在书中，他们在总结前人的研究基础上，系统地阐述了对求和自回归滑动平均(autoregressiveintegrated moving average，ARIMA)模型的识别、估计、检验及预测的原理及方法。

这些现在被称为经典时间序列分析方法，是时域分析方法的核心内容。

为了纪念Box和Jenkins对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常
把ARIMA 模型称为Box-Jenkins 模型。

ARIMA 模型实际上是主要运用于单变量、同方差场合的线性模型。

随着人们对各领域时间序列的深入研究，发现该经典模型在理论和应用上都还存在着许多的局限性。

所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量场合、异方差场合和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得了突破性的进展。

（ARMA 模型简介：
一般来说,一个变量的现在取值,不仅受其本身过去值的影响,而且也受现在和过去各种随机因素冲击的影响。

因此,可建立其数据生成模型为:
0112211......t t t p t p t t q t q y y y y u u u ααααββ-----=++++++++
式中:p 和q 为模型的自回归阶数和移动平均阶数; i α和i β为不为零的待定系数; t u 为独立的误差项; t y 为平稳、正态、零均值的时间序列。

如果该模型的特征根都在单位圆外,则该模型就称为ARMA(p,q)模型。

)
在异方差场合，美国统计学家、计量经济学家Robert F.Engle 在1982出了自回归条件异方差(ARCH)模型，用以研究英国通货膨胀率的建模问题。

为了进一步放宽ARCH 模型的约束条件，Bollerslov 在1986年提出了广义自回归条件异方差(GARCH)模型，在1987年又提出了TARCH 模型。

随后Nelson 等人又提出了指数广义自回归条件异方差(EGARCH)模型。

Ding ，Granger&Engle(1993)考虑到了杠杆效应通过引入非对称参数又提出了有偏幂ARCH(APARCH)模型。

这些异方差模型是对经典的ARIMA 模型很好的补充。

它比传统的方差齐性模型更准确地刻画了金融市场风险的变化过程，因此ARCH 模型及其衍生出的一系列拓展模型在计量经济学领域有着广泛的应用。

Engle 也因此获得2003年诺贝尔经济学奖。

下面是对ARCH 模型族的简单介绍
ARCH 模型的主要思想为扰动项t ε的条件方差依赖于它的前期值的大小，通过对序列的均值和方差同时建模。

设t y 为因变量，t x 为解释变量，在t 时刻可获得的信息集为1t -Ω的条件下，误差项t ε以0为期望值，t h 为条件方差的正态分布。

以ARCH （p ）为例，均值方程为：t t t y X βε=+。

随机干扰项的平方2ε服从AR （p ）过程，可用下面方程表示：
t t v ε= 201p
t i t i i h ααε-==+∑
其中，t v 独立分布，E （t v ）=0，D （t v ）=1；
0α>0，0(1,2,...)i i q α≥=，01...1q ααα+++<，则称误差项t ε服从q 阶的ARCH 过程，记作~()t ARCH q ε过程。

()ARCH q 模型表明过去的波动对市场未来的波动有着正向而缓解的影响，因此波动会持续，从而模拟了市场波动的集群性现象。

GARCH 模型
为了更好地描述波动的持续性，方程中往往加入较多的滞后阶数，ARCH 模型应用存在局限性，GARCH 模型通过考虑在条件方差方程里加入条件方差的滞后项就得到了ARCH 模型的拓展，也就是将方程换为：
2011p p
t i t i i t j i j h h ααεβ--===++∑∑ 则称序列服从GARCH （p ，q ）过程。

式（4）中，t h 可以理解为过去所有残差的正加权平均，这与波动的集聚效应相符合，即：大的变化倾向于有更大的变化，小的变化倾向于有更小的变化。

在国内，我国学者对于时间序列的研究取得了丰硕的成果。

在非线性时间序列分析中，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造的门限自回归模型成为目前非线性时间序列的经典模型。

姚琦伟教授基于信息量，首次提出描述一般随机系统对初始条件敏感性的度量及估计方法。

在高维模型领域，姚琦伟教授提出用复系数线性模型近似高维非线性回归函数的新方法，以此克服高维非参数回归中样本量短缺的困难问题。

此方法在生物、经济、金融等应用中获得了成功。

在时间序列模型的最大似然估计方法的研究中，他完整地建立了在金融风险管理中有直接应用的ARCH 和GARCH 模型为最大似然估计的极限理论。

他还首次建立了在空间域上空间ARMA 过程的最大似然估计理论，这一工作同时也对Hannan 1973年给出的关于时间序列的最大似然估计理论首次给出了一个完整的时域上的证明。

王立凤(2004)提出了基于ARCH 的股价预测模型，该模型通过建立高阶回归的ARCH 模型来预测股价变化。

朱宁、徐标和仝殿波(2006)等通过ARIMA 模型分析时间序列的随机性和平稳性，对证券指数的日数据和月数据进行预测分析，即对证券指数作短、中期预测，用SAS 软件检验模型的可行性，并预测应用。

许庆光(2007)提出了基于ARCH模型的上海股票市场特征的研究，从实证结果中总结出上海股市的总体特征，并为其进一步发展完善提出了一些建议。

国内的基础理论研究在不断加强，某些方面已经达到了国际前沿水平，也不再只是纯粹的吸收引进国外的先进成果，在自身应用中求创新求发展。

在部分应用领域中我们已经跟上了国际步伐。

我国时间序列分析研究理论上的进展主要表现在两个方面：一是单位根理论：一是非线性模型理论。

非线性模型理论的进展集中在几何遍历性问题和非线性过程的平稳性这两方面。

而在近几年，关于时间序列分析的研究方面出现了很多博硕士论文和期刊，但他们主要理论均来自国外。

综上所述，目前的研究主要是集中在运用时间序列方法对金融时间序列收益率的波动特性、平稳性及随机性等特征进行实证分析，虽然也有人提出了金融时间序列收益率时间序列的ARCH模型，并用于预测，但也只是简单地采用某一种模型，而对一个时间序列建立ARCH模型的完整过程直至得到一个确定的拟合模型并用来预测，特别是对有多个适用的模型，如何从中选择最理想的模型，现有的研究比较少见。

在本文中，主要利用ARMA模型和GARCH模型在实际金融数据统计中的应用比较，并预测数据的未来趋势，得出模型预测方法的孰优孰劣。

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