数学史概论1

❖ 又经历了数万年的发展,这些办法用得 多了，就逐渐形成数的概念和记数的符 号,直到距今五千多年前,终于出现了书写 记数系统. 书写记数的出现使数与数之间 的书写运算成为可能.
❖ 数的概念最初不论在哪个地区都是从 1、2、3、4……这样的自然数开始的， 但是记数的符号却大不相同。
❖ 从古埃及紙草书象形文字记载中知道:
数学史概论
李文林 著
目录
❖ 第 0 章. 绪论
❖ 第 1 章. 河谷晨曦—数学的起源与早期发展
❖ 第 2 章. 喷薄出海—古希腊数学
❖ 第 3,4 章. 日照东方—古代与中世纪的东方数学
❖ 第 5 章. 冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起
❖ 第 6 章. 走向无穷—微积分的创立
❖ 第 7 章. 分析时代—18世纪数学略影
❖ 阿拉伯数字容易通过改变小数点位置而 产生变化。所以在特殊场合（如银行） 不能完全替代大写的汉字。
几何知识
古埃及陶罐
半坡遗址陶器残片
半坡遗址房屋基础
西汉彩帛女娲伏羲图案(新疆出土)
❖ 古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重 新丈量；
❖ 古代印度几何学的起源与宗教实践密切相关；
❖ 古代中国，几何学起源更多地与天文观测相 联系。
二、河谷文明与早期数学
河谷文明：历史学家常把兴起于埃及、美索不 达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文 明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉 底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先 发展起来的。
1、埃及数学
罗赛塔石碑 (1799 发现)
• 莱茵德纸草书：84个问题 • 莫斯科纸草书：25个问题
❖ 基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好 是1120，即1120中含有14个80．
一次方程： x + a x = b
几何问题：内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。
面积公式：正方形、矩形、等腰梯形等图形面积公式
▲ 莱茵德纸草书第52题：通过将等腰梯形转化为矩形， 得到了等腰梯形的面积公式。
第50题：给出了圆面积的近似计算,即直径为9的圆形土 地，其面积等于边长为8的正方形的面积，相当于取
60多个二级学科 400多个三级学科
“数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是 在于各个部分之间的联系｡”(希尔伯特)
警惕数学“被分割成许多孤立的分支”的危险 “跟这种危险作斗争的最稳妥的办法也许就是要对于数学 的过去成就,传统和目标得到一些知识“(希尔伯特)
❖ 了解数学创造的过程(战舰)
2.不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史｡
π» 3.1605
体积计算：
莫斯科纸草书第14题：给出了计算平截头方堆体积的公式， 用现代符号相当于：
V = h (a2 + ab + b2 )
3
这里 h 是高，a , b 是底面正方形的边长。
莱茵德纸草书 (1650 B.C.)
莫斯科纸草书
V = h (a2 + ab + b2 ) 3
2、美索不达米亚数学
+
=
埃及象形文字
❖ 从古巴比伦泥版书楔形文字记载中知 道:
❖ 从古代中国甲骨文中知道:
❖ 甲骨文是我国商代(从公元前1600年—公 元前1046年 )出现的，甲骨文记数采用的 是十进非位值制的记数法，共有13个独 立的记数符号，最大数字是3万。
中国殷商甲骨文字中的数字
中国殷商甲骨文数字
希腊阿提卡数字（前500年左右）
第13 章.
—20世纪数学鸟瞰之三：
现代数学成果十例
第14 章. 数学与社会
第15 章. 超越之梦—中国现代数学的开拓
第0章：绪论
数学史研究数学概念、 数学方法和数学思想 的起源与发展，及其 与社会政治、经济和 一般文化的联系。
(一) 数学史的意义
1.不了解数学史，就不可能全面了解数学科学｡
❖ 数学发展的历史性﹑累积性特征(大厦) ❖ 数学科学的整体性﹑统一性(大树)
(三) 关于数学史的分期
1. 数学的起源与早期发展：前6世纪以前 （第1章）
2. 初等数学时期：前6世纪---16世纪 （第2、3、4章）
3. 近代数学时期：17、18世纪 （第5、6、7章）
4. 现代数学时期：之后 （第8、9、10、11、12、13章）
第一章：河谷晨曦－数学的起源与早期发展
一、数与形概念的产生
❖ 数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识 科学的皇后(为人类提供精密思维的模式)
❖ 追求最大限度的一般性模式 科学的女仆(科学的语言和工具)
❖ 有艺术的特征，这就是对美的追求 促进艺术发展的文化激素 (艺术特征, 数学概念与原理)
(二) 什么是数学
• 公元前4世纪：亚里士多德定义为“数学是量的科学”； • 16世纪，培根将数学分为：纯粹数学与混合数学; • 17世纪，笛卡尔认为：“凡是以研究顺序和度量为目的的科 学都与数学有关”。 • 17、18世纪，数学家们关注的焦点是运动和变化.牛顿和莱 布尼茨之后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问; • 19世纪,恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关 系的科学; • 19世纪后期，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究 数学自身的学问;
• 20世纪50年代，前苏联：现代数学就是各种量之间的 可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的 数学。
• 20世纪80年代，美国学者为主，将数学定义为“模式” 的科学：[数学]这个领域已被称作模式的科学（Science of pattern）， 其目的是要揭示人们从自然界和数学本 身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
数的知识
❖ 数的概念、数码的写法和十进制的形成都是 人类长期实践活动的结果。
❖ “数”概念的形成可能与火的使用一样古老, 大约是在30万年以前,它对于人类文明的意义 也决不亚于火的使用.
❖ 在漫长的生活实践中，由于记事和分配 生活用品等方面的需要，才逐渐产生了 数的概念。
❖ 手指计数、记数(亚里士多德指出:今天十 进制的广泛采用,只不过是我们绝大多数 人生来具有10个手指这样一个解剖学事 实的结果. )
❖ 第 8 章. 柳暗花明—19世纪数学的发展(上) :代数学的新生
❖ 第 9 章.
—19世纪数学的发展(中):几何学的变革
❖ 第 10 章.
— 19世纪数学的发展(下):分析的严格化
第11 章. 繁花似锦—20世纪数学鸟瞰之一：
纯粹数学的主要趋势
第12 章.
—20世纪数学鸟瞰之二：
空前发展的应用数学
❖ 中国算筹数码(公元前500年左右)
印度婆罗门数字（前300年左右）
玛雅文明中的数字
➢ 古埃及的象形数字（C. BC 3400），十进制 ➢ 巴比伦楔形数字（C. BC 2400），六十进制 ➢ 中国甲骨文数字（C. BC 1600），十进制 ➢ 希腊阿提卡数字（C. BC 500），十进制 ➢ 中国筹算数码（C. BC 500），十进制 ➢ 印度婆罗门数字（C. BC 300），十进制 ➢ 玛雅数字（？），二十进制
❖ 这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的 数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来， 就能表示任何数：
❖ 1．重复次数：相同的数字连写，所表示的数 等于这些数字相加得到的数，如："III"表示"3"； "XXX"表示"30"。 2．右加左减 ：小的数字在大的数字的右边， 所表示的数等于这些数字相加得到的数， 如： Ⅷ = 8；Ⅻ = 12；小的数字，（限于Ⅰ、X 和 C）在大的数字的左边，所表示的数等于大数 减小数得到的数，如：Ⅳ= 4；Ⅸ= 9 ；"XL"表 示"40"，"VD"表示"495"。(當符號I、X或C位於 大數的後面時就作為加數；位於大數的前面就
泥版文书：约有300多块是数学文献。 主要分属于两个相隔遥远的时期： 一大批属于公元前二千纪头几个世纪； 许多来自公元前一千纪的后半期。
(1) 记数系统：60进制 位值原理 (2) 程序化算法
代表事例之一：开平方
如求正数a 的平方根: 设 a1是这个根的首次近似，由b1=a /a1 求出第二次近似 b1，取a2=(a1+b1) / 2, 为下一步近似，再求出 b2=a /a2，则a3=(a2+b2) / 2 将为更好的近似值。
160
❖ /5
80
❖ 合计 256
❖ 对于大数字的乘法埃及人的方式是：右 边加倍，左边減半。
❖ 83×154=12782
❖ 除法：埃及人很早就认识到除法是乘法 的逆运算，并蕴含在实际计算之中．例 如，计算1120÷80(见兰德纸草书第69 页)．
❖
1 80
/10 800
❖
2 160
/4
320
❖
合计 1120
(3) 代数学
(a) 二次方程：一般三项二次方程
形如 x2 + p x = q , x2 = p x + q , x2 + q = p x ( p> 0, q > 0)给出正确的 Nhomakorabea算程序。
( ) 如：x2 = p x + q ，相当于给出求根公式： x = p +
2
p 2
2
+
q
(b) 三次方程：
形如 x3 = a 的纯三次方程，主要通过查立方表或立方 根表求解；形如 x3 + x2 = a 的混合三次方程也是借助于现 成的表求解。编有专门的 n3 + n2 的数值表。
1 2
+
1 4
+
1 8

例如莱茵德纸草书(希特版)第32页，记载 着12×12的计算方法，由下表可知，