第16讲拓扑排序和关键路径

Essential of Lecture Sixteen ：
一、拓扑排序
二、关键路径
1
一、有向无环图及其应用
有向无环图：没有回路的有向图
（a）有向树
（b）有向无环图
（c）有向图
2
问题：判断一个有向图是否为有向无环图的方法是？
一、有向无环图及其应用
应用： 工程流程、生产过程中各道工序的流程、
程序流程、课程的流程。 对整个工程和系统，人们关心的问题是： （1）工程能否顺利进行, ，即工程流程是否“合理”； （2）完成整项工程至少需要多少时间，哪些子工程是影响 工程进度的关键子工程。
8
一、有向无环图及其应用
拓扑排序(TopologicalSort)
按照有向图给出的次序关系，将图中 顶点排成一个线性序列，对于有向图中没 有限定次序关系的顶点，则可以人为加上 任意的次序关系
由此所得顶点的线性序列称之为拓扑 有序序列
9
例如：对于下列有向图
B A
C
D
可求得拓扑有序序列： ABCD 或 ACBD
17
拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9 --C10--C11--C6--C12
C4 C2 C1 C12 C3
C5
C7 如何在计算机上实现 对有向图的拓扑排序？ C8
C9
C10
C11
C6
拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9--C10--C11--C6--C12--C8 或 ：C9--C10--C11--C6--C1--C12--C4--C2--C3--C5--C7--C8
C6
拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5 （ 5）
C8 C12 C8
C10 C6 C11 C6
拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9 C11 --C10 （ 8） 拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9 16 （ 7）
C12 C8 C6
（ 9）
2
F A
F ∧
27
AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序
A
in vertex firstarc
0 0 1 0 2 0 3 0
A ∧ B C D E 0 0 0 3 ∧ 3 ∧ 5 ∧ 3 5 ∧
F
4 0 5 0
2
F A
F ∧
28
AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序算法——伪代码
1. 栈或队列S初始化；累加器count初始化； 2. 扫描顶点表，将没有前驱的顶点压栈或入队； 3. 当栈或队列S非空时循环 3.1 退出vj栈顶或队首元素；输出vj；累加器加1 3.2 将顶点vj的各个邻接点的入度减1； 3.3 将新的入度为0的顶点入栈或入队； 4. if (count<vertexNum) 输出有回路信息； 作业: 请编程求AOV网的拓扑排序。
A ∧ B C D E 0 0 0 3 ∧ 3 ∧ 5 ∧ 3 5 ∧
2
E B
F ∧
23
AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序
A C E B D F
in vertex firstarc
0 3 1 0 1 2 0 3 3 2 4 0 5 1 2
A ∧ B C D E 0 0 0 3 ∧ 3 ∧ 5 ∧ 3 5 ∧
0 3 1 0 2 1 3 3 4 0 5 2
A ∧ B C D E 0 0 0 3 ∧ 3 ∧ 5 ∧ 3 5 ∧
2
F ∧
(b) AOV网的邻接表存储
22
(a) 一个AOV网
AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序
A C E B D F
in vertex firstarc
0 3 1 0 2 1 3 3 4 0 5 2
工程流程可用如下AOV网表示：
5
B
6 4
D
6
(开始) A
7
4
C
F (结束)
5 3 E 1
5
一、有向无环图及其应用
例
例 2: 计算机专业学生的学习就是一个工程，每一 门课程的学习就是整个工程的一些活动。其中有些课程要 求先修课程，有些则不要求。这样在有的课程之间有领先 关系，有的课程可以并行地学习。
35
一、有向无环图及其应用
Vi
ak
Vj
事件Vj 的最早发生时间Ve[j]，是从源点到顶点Vj的最大路径长度。 事件Vj 的最迟发生时间Vl[j]， 指在不推迟整个工期的前提下，事件最
晚必须发生的时间。
活动ak的最早开始时间e[k]，该活动的尾事件的最早发生时间。 活动ak的最晚开始时间l[k]，它的弧头顶点事件允许的最晚发生时间
Vj
a8=1
V6
a2=2
事件Vi发生表示 ak可以开始
Vi
ak
事件Vj发生表示 ak已结束
AOE网
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一、有向无环图及其应用
AOE网可以回答下列问题： 1. 完成整个工程至少需要多少时间? 2. 为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动?
从始点到终点的路径可能不止一条，只有各条路径上所有活 动都完成了，整个工程才算完成。因此，完成整个工程所需 的最短时间取决于从始点到终点的最长路径长度，即这条路 径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径就 叫做关键路径。
10
反之，对于下列有向图
B
A C D
不能求得它的拓扑有序序列。
因为图中存在一个回路 {B, C, D}
11
一、有向无环图及其应用
拓扑排序方法：
第一步： 在有向图选一无前趋的顶点v，输出； 第二步： 从有向图中删除v及以v为尾的孤； 重复第一步和第二步，直到输出全部顶点或有向 图中不存在无前趋顶点（此时图中存在环）。
一个AOV网的拓扑序列不是唯一的
18
c
a
g
d
e
b
h
f
a
b h c d g f
e
19
一、有向无环图及其应用
拓扑排序算法
（1） 选择一入度为 0 顶点 v，输出； （2） 将 v 邻接到的顶点的入度减1； （3） 重复12，直到输出全部顶点或图中没有入度为0的顶点；
拓扑排序涉及的数据和操作： 数据：有向图，顶点的入度； 操作：（1） 选择一入度为 0 顶点v，输出； （2） 将 v 邻接到的顶点 u 的入度减1；
C12 C8
（10）
拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9 拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9 --C10--C11--C6 --C10--C11
C8
（11）
拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9 --C10--C11--C6--C12--C8 （12）
}
while (!q.Empty()) { // 队列非空 int v1; q.OutQueue(v1); // 取出一个入度为0的顶点 cout << v1 << " "; count++; // 对输出顶点进行记数 for (int v2 = g.FirstAdjVex(v1); v2 != -1; v2 = g.NextAdjVex(v1, v2)) { // v2为v1的一个邻接点 if (--indegree[v2] == 0)//邻接点入度减1 q.InQueue(v2);//入度为0,v2入队 }; } } delete []indegree; // 释放indegree所占用的存储空间 if (count < g.GetVexNum()) return FAIL; // g有回路 else return SUCCESS; // 拓扑排序成功
2
C E B
F ∧
24
AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序
A C B D F
in vertex firstarc
0 3 2 1 0 2 0 3 2 1 4 0 5 1
A ∧ B C D E 0 0 0 3 ∧ 3 ∧ 5 ∧ 3 5 ∧
2
C
B
F ∧
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AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序
A B D F
in vertex firstarc
c3
c7
c3,c4 c11 c5,c3 c9 c3,c6 无 c9 c9 c9,c10,c1
c12 c10 c11
7
c6
c8
一、有向无环图及其应用
一个可行的施工计划为：A,B,C, D,E,F
一个可行的学习计划为： C1,C9,C4,C2,C10,C11,C12,C3,C6,C5,C7,C8
可行的计划的特点：若在流程图中顶点v是顶点u 的前 趋，则在计划序列中顶点v 也是u的前趋。
⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的 事件才能发生。
32
整个工程完成的时间为：从有向图的始 点到终点的最长路径
例如:
a
6
4 5
b
1
1 e
8
7
g 4
h
2
k
终点
始点
c 2 4
d
f
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一、有向无环图及其应用
顶点表示事件
a4=3
a1=3
边表示活动
V2
V5
V4
a3=2 a5=4
V3
V1
a7=2 a6=3
减去该活动持续的时间。
活动ak 的时间余量diff[k] =l[k]-e[k]时间余量为0者即为关键活动
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AOE网应用：关键路径
⑴ 事件的最早发生时间ve[k] ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这 个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的 最早时间。
12
C4 C2 C1 C3
C5
C7 C8
C12
C10
C9
C6
C11
拓扑序列：开始 （ 0）
13
C4 C2 C3 C12
C5
C4
C5
C7 C12 C8
C3
C7 C8
C9
C10 C11 拓扑序列：C1 （ 1）
C6
C9
C10
C11
C6
拓扑序列：C1--C2
（ 2）
14
C4
C5
C5
C7 C12 C12
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template <class ElemType> StatusCode TopSort(const AdjMatrixDirGraph<ElemType> &g) // 初始条件：存在有向图g // 操作结果：如g无回路,则输出g的顶点的一个拓扑序列, // 并返回SUCCESS,否则返回FAIL { int *indegree = new int[g.GetVexNum()]; //入度数组 LinkQueue<int> q; // 队列 int count = 0; StatIndegree(g, indegree); // 统计顶点的入度 for (int v = 0; v < g.GetVexNum(); v++) { // 遍历顶点 if (indegree[v] == 0) q.InQueue(v);// 建立入度为0的顶点队列 } 30
6
例 2: 课程流程图
课程编号 课程名称 先决条件 如何安排施工计划？ c4 无 如何安排教学计划？ c1 c2 c1,c2 c1 c1
Leabharlann Baidu
c5
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
C8
c9 c10 c11 c12
程序设计 离散数学 数据结构 汇编语言 算法分析 计算机体系 编译方法 操作系统 高等数学 线性代数 电子电路 数值分析
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一、有向无环图及其应用
2、关键路径
AOE网：在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事 件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间 ，称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。 AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边 的顶点称为终点（或汇点）。 AOE网的性质： ⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的 各活动才能开始；
20
AOV网应用：拓扑排序
设计数据结构
1. 图的存储结构：采用邻接表存储 ，在顶点 表中增加一个入度域。
in vertex firstedge
顶点表结点
2. 栈S：存储所有无前驱的顶点。 思考：可以用队列吗？
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AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序
A C E B D F
in vertex firstarc
C7
C8 C9 C10 C6
C8
C9 C10 C11 C6
C11
拓扑序列：C1--C2--C3--C4 （ 4）
拓扑序列：C1--C2--C3 （ 3）
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C7
C12 C8 C9 C10 C11 拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7 （ 6） C12 C6
C12
C8 C9
C10
C11
0 2 1 1 0 2 0 1 3 0 4 0 5 1
A ∧ B C D E 0 0 0 3 ∧ 3 ∧ 5 ∧ 3 5 ∧
2
F ∧
D B
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AOV网应用：拓扑排序
拓扑排序
A D F
in vertex firstarc
0 1 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 0
A ∧ B C D E 0 0 0 3 ∧ 3 ∧ 5 ∧ 3 5 ∧
（1）拓扑排序
（2）关键路径
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一、有向无环图及其应用
1、拓扑排序
为求解工程流程是否“合理”，通常用AOV网的 有向图表示工程流程。
AOV网( activity on vertex network )
用顶点表示活动，边表示活动的顺序关系。
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一、有向无环图及其应用
例
某工程可分为6个子工程，若用顶点表示子工程（也称 活动）, 用弧表示子工程间的顺序关系。