求生必备知识

x f(x) x0 f(x0) x1 f(x1) P0,1(x) x2 f(x2) P0,2(x) x3 f(x3) P0,3(x)
P0,1,2(x) P0,1,3(x) P0,1,2,3(x)
从Aitken插值公式向算法转化要 考虑的问题是：
(1) 插值公式右端n-1次多项式应
(2) 插值表中的元素应设置多少
Aitken插值算法为二重循环。外循 环为k循环，用于计算Aitken插值表中 的第k列；内循环为i循环，用于计算 Aitken插值表中的第k列中的第i个元素。
［ 例 4 ］ 已 知 f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1, 求 f(x) 的 Aitken插值多项式。
解：设x0=-1,x1=1,x2=2
1.1 拉格朗日插值公式
拉 格 朗 日 （ Lagrange ） 插 值 公 式
(
Lagrange 插值公式)
的基本思想是，把pn(x)的构造问题转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数 li(x)(i=0,1,…,n) 的构造。
图1－1 插值多项式
1.n=1
已 知 函 数 y=f(x) 在 点 x0,x1 上 的 值 为 y0,y1 ， 要 求 多 项 式 y=p1(x) ， 使 p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其几何意义，就是 通 过 两 点 A(x0,y0),B(x1,y1) 的一 条 直 线 ，
如图1－2所示。
图1－2 一次插值多项式
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
yy0y x1 1 xy0 0xx0p1(x) (1.1)
它也可变形为p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1
其中
l0(x0)xx0 xx11,l1(x)xx1 xx00
显然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，
x0
f(x0)
x1
f(x1) f(x0,x1)
x2
f(x2) f(x1,x2) f(x0,x1,x2)
x3
f(x3) f(x2,x3) f(x1,x2,x3) f(x0,x1,x2,x3)
Newton 插值算法如下：
input x,(xi,yi),i=0,1,…,n。 y=y0,t=1。
for j=1,…,n do
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。
拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
x f(x)
-1 2
1
1
x3 22
2
1
5 x 3
1(x23x8) 6
1.4 存在惟一性定理
Lagrange插值公式、Newton和Aitken插值 多项式是同一个函数。事实上, 我们有以下一个 定理。
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得 y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2 p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
3.
我们看到，两个插值点可求出一次插值多项
［例3］ 已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的 Newton插值多项式。 解： 设x0=-1,x1=1,x2=2, 则
f(x0,x1)y x1 1 x y0 011 ( 21)1 2
f(x1,x2)yx2 2 xy1 11 2 1 10
f(x0,x1,x2)f(x1 ,x x 22 ) x f0 (x0,x1)0 2 （ ( 1 /1 2 )） 1 6
(3) 插值表中第k列第i行元素的 计算公式。
Aitken 插值算法如下： input x,(xi,yi),i=0,1,…,n
1 k
L for i=k,k+1,…,n do
yk1y xii x yk k 1 11(xxk1) yi
end
if k≠n then k+1 k, go to L
if k=n, output yn
式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x)。 当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange
插值方法写出n次插值多项
式pn(x)，
n
nn
pn(x) yklk(x) (
k0
k0 j0
xxk xxjj)yk
jk
1.2 牛顿插值公式
差商表
x
f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
p1(x1)=y1
我们称l0(x)为点x0的一次插值基函数，l1(x)为 点x1的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取 值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 p1(x)是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数 就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
p0,1(x)2 x 1 1 1 11 x 1 12 x2 3
p 0 ,2(x)2 x 1 2 2 12 x 1 15 3x
p 0 ,1 ,2 (x ) 1 x 2 2 p 0 ,1 (x ) 2 x 1 1 p 0 ,2 (x ) 1 6 (x 2 3 x 8 )
例4的Aitken插值表
1.3 埃特金插值公式
埃特金(Aitken)插值公式(以下统称 为Aitken插值公式)的构造是基于这样的 直观想象：平面上的两个点可以连成一 条直线, 对应一个线性函数；把线性函 数看作形式点, 经线性组合, 可构成二 次函数；把二次函数再看作形式点, 经线 性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
t=t*(x-xj-1) for i=0,…,n-j do
yi yi1 yi
end
x 源自文库i xi
y=y+y0*t end
output (x,y),(xi,yi),i=0,1,…,n。
Newton 插值算法中的j循环由 三部分组成：计算(x-xj)的累积，存 入t单元；内套一个i循环用来依次计 算差商表中的各阶差商，存入yi单元； y单元用于存放Newton公式中各项累 加之和。