解绝对值不等式的方法总结 (1)

解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<．

［题根4］解不等式2

|55|1x x -+<．

［思路］利用｜f(x)｜0) ⇔-a

式组2

1551x x -<-+<即22

551(1)551

(2)

x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。

［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，

即2

2

551(1)551

(2)

x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩

由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<． ［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程

2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变 右边的常数变代数式

［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x

［思路］利用｜f(x)｜g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )

解得x >

12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12

} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x

即22

2

226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩

或 2

所以原不等式的解集是{x |2

［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x

1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2

-3x-4；（2）

2

34

x

x -≤1

解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：

x-x 2-2>x 2

-3x-4 ①

或x-x 2-2<-(x 2

-3x-4) ② 解①得：1-2-3

故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝

分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2

-x+2｜ 而x 2

-x+2＝(x-14)2+74

>0 所以｜x-x 2

-2｜中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x 2-x+2>x 2

-3x-4 解得：x>-3

∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234

x

x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可

平方后求解.

原不等式等价于2

234

x

x -≤1

⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16

⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4

注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变 含两个绝对值的不等式

［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2

(x)〈g 2(x)两边平方

去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：

|x －1|2

<|x +a |2

即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >1

2(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <

1

(1)2

a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.

解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x<-3. 当-35⇒5>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝. ［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式

此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

|()f x |<|()g x |⇔2

2

()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0