圆锥曲线知识点汇总

、图像与性质

椭圆与双曲线

题型一：标准方程一一a ，b ，c,e,渐近线斜率k ――图像对照求值

思路：根据标准方程或图像对照出

a

，b ，c,e,渐近线斜率k 中的任意两个，就可以利用

a,b,c 关系式 将其他参数全部算出，然后罗列性质就可以了。

注意下列细节：椭圆中谁的分母大，焦点在谁上，大分母是

双曲线中谁的系数为正，焦点在谁上，下面分母是

2 2

x_丄

例1 :分析椭圆

25

9

离心率:

5

e =—

解：由题意得2a =8

，

4，

2 2 2

b =

c -a =25 -16=9， b = 3

又因为焦点在 X 轴上，所以双曲线方程为

2 2

乙一止=1

16

9

例3、已知椭圆经过点 P(0,-3),Q(-2,0),求椭圆标准方程。 解：与椭圆的两种标准图形对照不难发现这是一个焦点在 Y 轴上的

椭圆,

例2:顶点在

X 轴，两顶点的距离是 8,离心率是

5

4的双曲线方

程。

a 2 =

b 2

c 2

二 1

的性

解：由椭圆方程得焦点在

X 轴上,

2 2

且 a =25,b

9

2 2 2

a=5,b=3,c

a -b

长轴长:

A 1A 2 短轴长:

B"i B 2 = 6

焦距:

F I F 2 =8

归如丿

fi(-

(向乡

)

所以

a

=4,C =5

I

且P,Q作为与坐标轴的交点只能有a=3,b=2,

2 2

y

标准方程为

9

题型二、关于椭圆与双曲线定义的考察

思路：设P 是椭圆上任一点，则有PR * PF ? =2a

a =5,

b =3, c=4

(1) 由椭圆定义知: AR + AF 2

二2"10，又因为 AF 1 =4,则 AF 2 =6

(3)

例5、 由椭圆定义知:

AR + AF 2 = 2a = 10 F 1 F 2 = 2^ = 8

5

角形 AF 1F 2 的周长=AR +AF 2 +F 1F 2 =2a + 2c

由椭圆定义

知:

AR + AF 2 =18

= 2a = 10 BF “ + BF 2

5

=2a = 10

求三角形ABF 2的周长=Ah + AF 2十| BF 1

2 2

双曲线 =1上一点P 到一个焦点的距离 16 9 为10，那么P 到另一个焦点的距离是 2 2 解：由双曲线方程 D 1对照得出焦点在 Y 轴上 16 9

且 a 2 =16,b 2 = 9，则 a =4， 由双曲线定义知道： PF j |PF 2 =2a =8， BF 2

=4a

=20

F 肿/

Ji

A

一 \

—

由题意知PR =10，所以PF 2 =18或PF 2 =2。

PF , - PF 2 = 2a 例4:

2 2

x

y ‘ 1

设RE 是椭圆25

9

的两个焦点，过R 的弦AB 与椭圆交于A ,B 两点,

求三角形AF 1F 2的周长; (3) 求三角形ABF 2的周长;

由上述例子

说明该椭圆中：

设P 是双曲线上任一点，则有

⑴已知AF1 =4,求AF 2

当m .0,n・0且m n时该方程表示焦点在X轴上的椭圆当m 0, n且n m时该方程表示焦点在丫轴上的椭圆当m • °，n：：：0时该方程表示焦点在X轴上双曲线当n. 0,m ::：0时该方程表示焦点在y轴上双曲线

当m=n 0时刚方程表示圆

2 2

例6:方程必

y

1所表示的曲线为C,求以下情况时t的取值范围4—t t —2

（1）曲线C为焦点在X轴上的椭圆；

（2）曲线C为焦点在丫轴上的椭圆；

（3）曲线C为焦点在X轴上的双曲线；

（4）曲线C为焦点在丫轴上的双曲线；

| 4-t>0

解：(1)由题意得：* t-2^0 二t w(2,3)

3 —t At —2

题型四：巧用方程Ax2 By2=1解决已知两点求圆锥曲线方程问题

分析：Ax2 By2-1是椭圆与双曲线方程的变式，在带值求解的过程中用此方程解题能使运算难度降低很多！

例7:若椭圆经过点M （-2，J3 ），N（1，2J3 ），求椭圆标准方程。

解: 设方程为A X2+B X2=1（A>0，B>0），将M（ -2，U3 ），N（1，2寸3 ）两点代入

上式得：

'八1 '4A+3B=1 A =5 J = < J 、A+12B=1 B」

-_15

2 2

所以椭圆方程为^x2•丄y2^，即x y=1 5 15 5 15

例8:若过点M（ 3，-4J2 ），N（9

，5）的双曲线的标准方程4

题型三：对方程

二 1

的认识

4-t 0

(2) t - 2 > 0 二t E(3,4 )

t —2 >4—t 4—t A0

(3)」nW (-°°,2)

t —2 <0

k.

4 — t v 0

(4)」="(4.+°°)

t-2A0

k.