刍议二次函数存在性问题解题策略

刍议二次函数存在性问题解题策略
【摘 要】二次函数一直是中考的热点问题，2013年以二次函数为背景而编拟的存在性中考题，大量地出现在各地的压轴题中．此类题目与动点问题相结合，技巧性和综合性较强，涉及的知识面广，有较强的区分度．解答此类题目对学生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高，有利于对优秀人才的选拔，因此受到中考命题者的青睐．
【关键词】二次函数、存在性问题、中考、解题策略
【正 文】解答二次函数存在性问题的基本思路是先假设结论存在,然后由假设出发,结合已知条件,利用方程、转化、数形结合、分类讨论等思想进行正确的计算、推理,再对得出的结果综合分析、验证,判断是否与题设、公理、定理等有矛盾,若无矛盾,说明结论正确,由此得出符合条件的对象存在;否则,说明不存在。

纵观2013年各地中考题,主要有以下几种形式：是否存在等腰三角形、是否存在直角三角形、是否存在三角形相似，是否存在平行四边形等。

有些题在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。

笔者对我省数学中考试卷二次函数存在性题型的解题策略进行了一些分类探索，谈得不当之处希望各位专家批评指正。

一、存在距离之和最小
此类问题主要考查考生通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

【案例】2013年遵义市中考题第27题
如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-32,4，且与y 轴交于点)2,0(C ，于x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）.
（1）求抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，
使CP AP +的值最小？若存在，求CP AP +的最
小值；若不存在，请说明理由；
【解析】（1）23
4612+-=
x x y ，)0,2(A ,)0,6(B （2）(2)存在，由（1）知，抛物线的对称轴l 为4=x ，
因为A 、B 两点关于l 对称，连接CB 交l 于点P ,则BP AP =,所以，BC CP AP =+的值最小.∵)0,6(B ，)2,0(C ，∴6=OB ,2=OC ∴1022622=+=OB ，∴102==+BC CP AP ，∴CP AP +的最小值为102.
二、存在三角形（直角三角形、等腰三角形或相似三角形）
1、存在直角三角形
此类问题往往涉及到需要将三点（一动点）所连线段的长表示出来，假设存在，运用勾股定理建立方程求出满足条件的动点坐标。

2、存在等腰三角形
在所求的等腰三角形中，有两个顶点的坐标是确定的（即一边长度确定），确定第三个顶点的存在，解决此类问题需要注意分两种情况考虑已经确定的边分别为等腰三角形的底和腰，涉及到等腰三角形两腰相等、两底角相等、三线合一等性质。

【案例】2013年安顺地区中考题第26题
如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【解析】（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和
纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y=4﹣x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，
解得x1=，x2=＜1，应舍去，
∴x=，∴y=4﹣x=，
即点P坐标为．
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）．
3、存在相似三角形
应注意根据对应边的不同而分情况进行讨论。

【案例】2013年黔西南州中考第26题第（3）问：
如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
PM⊥轴，垂足为M，是否（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作x
存在点P，使得以A
P,
,为顶点的三角形与BOC
M
∆相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）、（2）问解答过程略
（3）存在．
如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），
根据勾股定理得：2BO =18，2CO =2，2
BC =20，
∵
2
22BC CO BO =+, ∴BOC ∆是直角三角形， 假设存在点P ，使以A ,M ,P 为顶点的三角形与BOC ∆相似，
设),(y x P ，由题意知x ＞0，y ＞0，且x x y 22+=，
①若AMB ∆∽BOC ∆，则=，
即2+x =)2(32x x +， 得：1x =
31，2x =﹣2（舍去）． 当x =31时，y =97，即P （31，9
7）， ②若△PMA ∽△BOC ，则=， 即：x x 22+=)2(3+x ， 得：1x =3，2x =﹣2（舍去）
当x =3时，y =15，即P （3，15）．
故符合条件的点P 有两个，分别是P （31，9
7）或（3，15）． 三、存在平行四边形
【案例】2010年遵义中考题27题
如图，已知抛物线的顶点坐标为Q ，且与轴交于点C ，与轴交于A 、B 两
点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥轴，交AC 于点D ．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E 在轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】：（1）
∵抛物线的顶点为Q （2，-1）
∴设()122
--=x a y
将C （0，3）代入上式，得 ()12032
--=a ，1=a ∴()122
--=x y ， 即342+-=x x y
（2）（7分）分两种情况：
①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图) 令y =0, 得0342
=+-x x
解之得11=x , 32=x
∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)
∴P 1(1,0)
②当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2=
45 当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2
又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称. 设直线AC 的函数关系式为b kx y +=
将A(3,0), C(0,3)代入上式得 ⎩⎨⎧=+=b
b k 330, ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴3+-=x y
∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,
∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )
∴(3+-x )+(342+-x x )=0
0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)
∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=-1
∴P 2的坐标为P 2(2,-1)(即为抛物线顶点) ∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,-1)
(3) 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P 的坐标为P 2(2,-1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令F(x ,1)
∴1342=+-x x
解之得: 221-=x , 222+
=x ∴F 点有两点,即F 1(22-
,1), F 2(22+,1)。