结构力学第十四章总结

返回
y1 (t ) F sin t 1P FI111
当ω i ≠ ω j 时，两个主振型具有正交性，即质量正 交和刚度正交。 Y(i) TM Y(j) =0
。
Y(i) TK Y(j) =0
由于质量正交计算简单，所以常用它来校核主振 型的计算结果。但应能够形成正确的质量矩阵。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：体系的质点位移编号如图所示，写出体系的 质量矩阵M。
退出 返回
中南大学
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示体系中k1为横梁在C点的侧移刚度，k2 为弹簧刚度。求体系的竖向振动频率。
m C k2 (a) k1
k1
k2 m (b)
解：体系可简化为图b所示的并联弹簧体系，竖 向振动频率为
k k1 k2 m m
中南大学
退出
返回
第十四章
结构动力学总结
结构力学
一、几个值得注意的问题
1. 弹性体系的振动自由度
描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬 时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的 自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等 于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与 集中质量数目和超静定次数无关。
2
T1 T2 T3
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1， 弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。
A k1 B k2 m (a) k1 k2 m (b)
解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系， 竖向振动频率为

k m
k1 k 2 m(k1 k 2 )
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
(3) 最大位移和最大内力的计算 振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 最大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有 正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。 5. 阻尼对振动的影响 r 1 2 (1) 考虑阻尼时体系的自振频率 c 其中, 为阻尼比, c为阻尼系数。 2m 通常ξ很小，一般结构可取 r≈ 。 (2) 阻尼比的确定。 利用有阻尼体系自由振动时振 幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。 y 1 ln k
当外荷载的频率很大时 (θ>>ω)，体系振动很快，因 此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载 主要与惯性力平衡。
当外荷载接近自振频率时(θ ≈ ω)，弹性力和惯性力都 接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
6. 多自由度体系主振型的正交性
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
4. 单自由度体系的强迫振动时的动力放大系数
(1) 简谐动荷载作用在质体上，内力动力系数与位移 动力系数相同。 ymax 1 动力系数 2 yst 1 2 计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法 算出相应的位移、内力，再乘以动力系数 即可。 (2) 简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一 的动力系数。 Fsin θt 计算结构的位移和内力时， (a) m 应先算出质体上的惯性力，并 将惯性力及荷载幅值作用于结 FI F (b) 构上（如左图所示），然后按 静力方法计算。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
注意：
结构动力学总结
结构力学
（1） 结构自振周期（频率）是结构动力性能的一个 很重要的标志。两个外表看来相似的结构，如果自振频率 相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外表看来并不 相同的结构，如果其自振频率相似，则在动荷载作用下其 动力性能基本一致。
（2） 自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初始 条件及外界的干扰因素无关。
(b) (a)
m2. EI= ∞
m3.
m1.
α (t)
一个集中质量，两个自由度
三个集中质量，一个自由度
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
2. 确定体系振动自由度的方法
方法一 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移 所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图 a中， 需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移 (图b)，故体系 有两个振动自由度。
(a) l/ 2 Fsinθt l/ 2 EI EI l /2
l
m EI F sinθt
(b)
F I1百度文库
(c)
1 l /2
l /2
（d)
1
（e) 1/8 F=1
1/8
Fsinθt
l
l/ 2
M1
M1
3/8
M
解：利用对称性取半边结构如图b所示。
柱顶位移
将惯性力 FI1
11
1 1 (t )（注意：取半结构后，质量应减半） m l y 2 3 l3 l 1P 代入方程，得 ， 12EI 24EI Fl3 ml 4 1 (t ) y1 (t ) sin t y 24EI 24EI
2 EI [ Y " ( x )] dx 2 i 2 2 m [ Y ( x )] d x m Y 0 i i l 0
m
若取结构在自重q(x)作用下的弹性曲线Y（x）作为 振型线，则频率公式为： l
0 q( x)Y ( x)dx l 2 2 0 m[Y ( x)] dx miYi
243 EI k2 4l 3
m A C k2
l/ 3
k1
m
B
k1
2 l /3
k1
k2 m (b)

k1 k2 267EI m 4m l3
(a)
(a)
F=1
A 2 l /9
B
M图
(c)
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：已知图a刚架受简谐荷载作用，θ=0.6ω,绘出动力弯矩 图Md，并求柱顶最大位移 ymax。
2 1
(b)
解：铰接链杆体系如图b所示，增加链杆1、2. 体 系的动力自由度为2。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系 的动力自由度数为多少？
m1
EI 1 =∞ EI EI
m1
m2
EI EI 1=∞ EI
m2
解：用附加链杆法（图b）, 动力自由度数等于5。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
(a) m1=m A l/ 2 B
结构动力学总结
EI=∞ C l k l/ 2
结构力学
B A
例：求图a所示体系的自振频率。
m2=m/ 3
D (b)
α
C k
D
FI1
0
k αl
解：设该体系振动时转角的幅值为（图b）。当位 移达到幅值时，质量m1和m2上的惯性力也同时达到幅值， 其大小为 1 0 2 FI1 m1 A1 m 2l 2 1 3l 1 2 2 2 FI0 m A m m l 2 2 2 3 2 2 于是，可就幅值处列出动力平衡方程如下： 1 l 1 3l 2 2 M m l m l k（l） l 0 B 2 2 2 2 k 由此可求得: m

y (t ) max yst
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2
当／ 的值在0.75~1.25之内（共振区）时，阻尼对 降低动力系数的作用特别显著。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
（4）动荷载频率的大小与结构受力特点的关系。
当外荷载的频率很小时（θ<<ω)，体系振动很慢，因 此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。
(a) (b) (c)
方法二 当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构 造分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰 结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加 的链杆数即为自由度数。例如图a铰化为铰接链杆体系后， 需要增加两根链杆（图c）。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
3. 结构的自振周期（频率） 结构自振周期的几种计算公式：
T 2π Δ m W 2π 2π m 2π 2π st , k g g
1 f T
周期T 的单位是“s（秒）”； 圆频率ω的单 位是“s-1”，即“弧度/每秒”；工程频率f 的单位 为“Hz（赫兹）”， 即每秒振动的次数。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
ki (a) k1 k2 (b) k3
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧 刚度系数ki之和. k=k1+k2+k3
k1 k2 k3 k 2 2 2 1 2 3 m m
2nπ yk n
其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
＜1为小阻尼，体系具有振动的性质；＞1（大阻尼）
和=1（临界阻尼）时，体系不具有振动的性。
（3）有阻尼振动的动力系数。在强迫振动中, 阻尼起 着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。
(a) ki m (b) k1 k2 k3 m
解：图b体系为串联弹簧，其 刚度系数k的倒数等于各弹簧刚度 系数ki的倒数之和。
m T 2π k (2π) 2 m(
2 2
2π
1 1 1 ) k1 k 2 k3
k1 8 ， 因此 X 应用图乘法求出系数并代入方程解得 1 89 3 X 4l 1 267EI 1 ， k1 267EI m 4m l3
退出 返回
11
1
1P
中南大学
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
另解：体系简化成并联弹簧体系（图b），设梁在 质点m处的刚度系数为k2，k2=1/2 ，由M 图（图c）可 求得2 1 1 2l l 2l 2 1 2l 2l 2l 2 4l 3 2 ( ) EI 2 9 3 9 3 2 9 3 9 3 243EI
结构力学
例：若忽略直杆的轴向变形,图a 所示结构的动力自 由度为多少？
(a) (b) (c)
解：铰接链杆体系如图b或图c，需附加4根链杆， 体系有4个自由度。
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：设直杆的轴向变形不计，图a所示体系的动力自 由度为多少？
(a) m1 m2 m3
2方向 1方向
m EI 2m EI EI
m 0 解： M 0 3m
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
7. 能量法计算自振频率
能量法求自振频率是一种近似计算方法。 设结构单位杆长的质量为m，结构中有若干个集中 质量m。 根据结构的边界约束条件和变形特点，选择一 条位移曲线Y（x）作为某一主振型（通常是第一主振型） 的近似曲线，则可按下式求得频率的近似值。
2
退出 返回
中南大学
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
选择变形曲线时应考虑结构的边界条件（位移边界 条件和力的边界条件）,其中位移边界条件必须满足，否 则将导致很大的误差，通常取等截面杆的自重 q(x)作用下 的变形曲线作为振型曲线Y(x)，由于它能较好地满足边 界条件，所得结果的近似程度都较好。 8. 对称性利用 振动体系的对称性是指：结构对称，质量分布对称或 动荷载对称。 对称体系的自由振动或强迫振动计算都可利用对称 性而得到简化：将体系的自由振动视为对称振动与反对 称振动的叠加，对两种振动分别取半结构进行计算；对 于体系的强迫振动，则宜将荷载分解为对称与反对称两 组。对称荷载作用时，振动形式为对称的；反对称荷载 作用时，振动形式为反对称的， 可分别取半结构计算。
FI2
0
中南大学
退出
返回
10:54
第十四章
结构动力学总结
结构力学
例： 求图a所示结构的自振频率，EI=常数, 弹簧的刚度系数 F= 1 (b) k=6EI／l3。 (a)
A
m
B
A
B
k1
l/ 3 (c) A 2l 9 B 2 l /3 (d) A 2l 9
X1
F= 1
B
X 1=1
M 1图
M P图
解： 本题的重点是求柔度系数， 用力法， 取图b的 基本体系。力法典型方程为 X X 1