扩散理论
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J D dC dx
其中D：扩散系数，cm2/s；J：扩散通量，g/cm2·s ；dC/dx 为沿x方向的浓度梯度。负号表示扩散由高浓度向低浓度方向进 行，扩散的结果导致浓度梯度的减小，使成份趋于均匀。
扩散第一定律不仅 适合于固体，也适合 于液体和气体中原子 的扩散。
扩散第一定律可用 来处理扩散中浓度不 因时间变化的问题， 如有些气体在金属中 的扩散。
t＝0时：x 0,C C2 ; x 0,C C1
t≥0时： x ,C C2 ; x ,C C1
C C1 C2 2
C1
C2 2
erf
2
x Dt
erf（z）为误差函数，它的值通过查误差函数表可得。其中：
z x 2 Dt
高斯误差函数：
erf (z)
2
z e y2 dy
0
误差函数有如下的性质：erf(0) = 0，erf(∞) = 1，erf(-x) = erf(x)。
此时，扩散方程的初始条件和边界条件应为：
t = 0时：x > 0，C = C0 t≥0时： x = 0，C = Cs ；x =∞，C = C0
c(x,t) cs
(cs
c0
)erf
2
x Dt
式中C(x，t)为渗碳时间为t时距表面x处的浓度。
实际应用时：
cs c(x,t) erf x
cs c0
互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩 散。（有浓度变化）
2.根据扩散方向： 下坡扩散（顺扩散）：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩 散。 上坡扩散（逆扩散）：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩 散。
固态扩散的条件： 温度足够高；时间足够长；扩散原子能固溶；具有驱动力：
化学位梯度。
1 扩散定律及其应用
“-”号表示扩散方向为浓 度梯度的反方向，即扩散 由高浓度向低浓度区进行。
例：设有一条内径为30mm的厚壁管道，被厚度为0.1mm铁 膜隔开。通过向管子的一端向管内输人氮气，以保持膜片一侧 氮气浓度为1200 mol／m2，而另一侧的氮气浓度为100mol ／m2 。如在700℃下测得通过管道的氮气流量为2.8×104mol／s，求此时氮气在铁中的分散系数。
对于三维方向的体扩散：
若Dx=Dy=Dz且与浓度无关时，菲克第二定律普遍式为：
菲克第二定律的物理概念：
即扩散过程中，扩散物质浓度随时间的变化率，与沿扩散方 向上物质浓度梯度随扩散距离的变化率成正比。
扩散第二定律的偏微分方程是x与t的函数，适用于分析浓度 分布随扩散距离及时间而变的非稳态扩散。
1.1.3 菲克第二定律的解
实验证实，物质在高温下的许多物理及化学过程均 与扩散有关，因此研究物质中的扩散无论在理论上还 是在应用上都具有重要意义。
半导体掺杂 固溶体的形成 离子晶体的导电
固相反应
扩散
相变 烧结 材料表面处理
扩散的分类： 1.根据有无浓度变化：
自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。 (如纯金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化)
1.1 扩散定律
菲克（A. Fick）于1855年参考导热方程，通过实验确立了在 各向同性介质中扩散过程的定量关系——扩散定律（也称菲克 定律）。
1.1 稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变 化dc/dt=0）
单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质量 （/扩散通量）与该物质在该面积处的浓度梯度成正比 。
应用菲克第二定律解决非稳态扩散问题时，由于需求解以时间 与空间坐标为自变量的偏微分方程，其求解方法取决于边界和 初始条件，一般较复杂。
扩散第二方程表达了在某一位置（距原点x处）扩散元素浓度 随时间变化的速率与该处该元素浓度对x的二次导数间的关系。 通过对它求解，可求出扩散元素浓度c与x、t的关系式。第二方 程的解通常有高斯解、误差函数解和正弦解等，可处理不同的 具体问题。
扩散理论
1 扩散定律及其应用 2 扩散的微观机理 3 扩散的热力学理论 4 反应扩散 5 一些影响扩散的重要因素
扩散：由于原子（或分子）的微观热运动而导致在 介质中宏观迁移的现象。
在气态和液态物质中，原子迁移可以通过对流和扩 散两种方式进行，与扩散相比，对流要快得多。然而， 在固态物质中，扩散是原子迁移的唯一方式。
扩散开始以后焊接面处的浓度C为扩散偶原始浓度的平均值， 该值在扩散过程中一直保持不变。
扩散的抛物线规律：原子的扩散距离与时间呈抛物线关系， 许多扩散型相变的生长过程也满足这种关系。
误差函数表
（2）半无限长物体的扩散
用于解决恒定源扩散问题，即扩散物质在扩散过程中在工件 表面的浓度始终保持恒定值。
由于渗碳时，活性碳原子附在零件表面上，然后向零件内部 扩散，这就相当于无限长扩散偶中的一根金属棒，因此叫做半 无限长。由于在t时间内，渗碳炉中碳势Cs（活性碳原子的浓 度）保持不变，试样表面扩散组元碳的浓度Cs被维持为常数， 试样中碳组元的原始浓度为C0。
解：此时通过管子中铁膜的氮气通量为
膜片两侧的氮浓度梯度为：
根据菲克第一定律
则
1.1.2 菲克第二定律 解决非稳态扩散问题，即溶质浓度随时间变化的情况，即
dc/dt≠0。 将D近似取为与c无关的常数时：
C C
2C
t x (D x ) D x2
它反映扩散物质的浓度、通量和时间、空间的关系。这是菲克 第二定律一维表达式。
误差函数解
（1）无限长扩散偶的扩散
将两根溶质原子浓度分别是C1 和C2、横截面积和浓度均匀的金 属棒沿着长度方向焊接在一起，
形成无限长扩散偶，然后将扩散
偶加热到一定温度保温，考察浓
度沿长度方向随时间的变化。
无限长扩散偶中的溶质原子分布
将焊接面作为坐标原点，扩散沿x轴方向，列出扩散问题的初 始条件和边界条件分别为 ：
2 Dt
有两条由菲克第二定律推导出来的结论十分简单、有用：
对于钢铁材料渗碳处理时，扩散需要的时间t与扩散距离x的
平方成正比。
对于同一个扩散系统，扩散系数D与扩散时间t的乘积为一常
数。
例：含0.20%碳的碳钢在927 ℃进行气体渗碳。假定表面C含 量增加到0.9%，试求距表面0.5mm处的C含量达0.4%所需的时 间。已知D (927 ℃) =1.28 ×10-11 m2/s。 解：已知Cs= 0.9% ，x=0.5，C0=0.2%，D，Cx=0.4%代入式得
其中D：扩散系数，cm2/s；J：扩散通量，g/cm2·s ；dC/dx 为沿x方向的浓度梯度。负号表示扩散由高浓度向低浓度方向进 行，扩散的结果导致浓度梯度的减小，使成份趋于均匀。
扩散第一定律不仅 适合于固体，也适合 于液体和气体中原子 的扩散。
扩散第一定律可用 来处理扩散中浓度不 因时间变化的问题， 如有些气体在金属中 的扩散。
t＝0时：x 0,C C2 ; x 0,C C1
t≥0时： x ,C C2 ; x ,C C1
C C1 C2 2
C1
C2 2
erf
2
x Dt
erf（z）为误差函数，它的值通过查误差函数表可得。其中：
z x 2 Dt
高斯误差函数：
erf (z)
2
z e y2 dy
0
误差函数有如下的性质：erf(0) = 0，erf(∞) = 1，erf(-x) = erf(x)。
此时，扩散方程的初始条件和边界条件应为：
t = 0时：x > 0，C = C0 t≥0时： x = 0，C = Cs ；x =∞，C = C0
c(x,t) cs
(cs
c0
)erf
2
x Dt
式中C(x，t)为渗碳时间为t时距表面x处的浓度。
实际应用时：
cs c(x,t) erf x
cs c0
互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩 散。（有浓度变化）
2.根据扩散方向： 下坡扩散（顺扩散）：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩 散。 上坡扩散（逆扩散）：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩 散。
固态扩散的条件： 温度足够高；时间足够长；扩散原子能固溶；具有驱动力：
化学位梯度。
1 扩散定律及其应用
“-”号表示扩散方向为浓 度梯度的反方向，即扩散 由高浓度向低浓度区进行。
例：设有一条内径为30mm的厚壁管道，被厚度为0.1mm铁 膜隔开。通过向管子的一端向管内输人氮气，以保持膜片一侧 氮气浓度为1200 mol／m2，而另一侧的氮气浓度为100mol ／m2 。如在700℃下测得通过管道的氮气流量为2.8×104mol／s，求此时氮气在铁中的分散系数。
对于三维方向的体扩散：
若Dx=Dy=Dz且与浓度无关时，菲克第二定律普遍式为：
菲克第二定律的物理概念：
即扩散过程中，扩散物质浓度随时间的变化率，与沿扩散方 向上物质浓度梯度随扩散距离的变化率成正比。
扩散第二定律的偏微分方程是x与t的函数，适用于分析浓度 分布随扩散距离及时间而变的非稳态扩散。
1.1.3 菲克第二定律的解
实验证实，物质在高温下的许多物理及化学过程均 与扩散有关，因此研究物质中的扩散无论在理论上还 是在应用上都具有重要意义。
半导体掺杂 固溶体的形成 离子晶体的导电
固相反应
扩散
相变 烧结 材料表面处理
扩散的分类： 1.根据有无浓度变化：
自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。 (如纯金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化)
1.1 扩散定律
菲克（A. Fick）于1855年参考导热方程，通过实验确立了在 各向同性介质中扩散过程的定量关系——扩散定律（也称菲克 定律）。
1.1 稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变 化dc/dt=0）
单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质量 （/扩散通量）与该物质在该面积处的浓度梯度成正比 。
应用菲克第二定律解决非稳态扩散问题时，由于需求解以时间 与空间坐标为自变量的偏微分方程，其求解方法取决于边界和 初始条件，一般较复杂。
扩散第二方程表达了在某一位置（距原点x处）扩散元素浓度 随时间变化的速率与该处该元素浓度对x的二次导数间的关系。 通过对它求解，可求出扩散元素浓度c与x、t的关系式。第二方 程的解通常有高斯解、误差函数解和正弦解等，可处理不同的 具体问题。
扩散理论
1 扩散定律及其应用 2 扩散的微观机理 3 扩散的热力学理论 4 反应扩散 5 一些影响扩散的重要因素
扩散：由于原子（或分子）的微观热运动而导致在 介质中宏观迁移的现象。
在气态和液态物质中，原子迁移可以通过对流和扩 散两种方式进行，与扩散相比，对流要快得多。然而， 在固态物质中，扩散是原子迁移的唯一方式。
扩散开始以后焊接面处的浓度C为扩散偶原始浓度的平均值， 该值在扩散过程中一直保持不变。
扩散的抛物线规律：原子的扩散距离与时间呈抛物线关系， 许多扩散型相变的生长过程也满足这种关系。
误差函数表
（2）半无限长物体的扩散
用于解决恒定源扩散问题，即扩散物质在扩散过程中在工件 表面的浓度始终保持恒定值。
由于渗碳时，活性碳原子附在零件表面上，然后向零件内部 扩散，这就相当于无限长扩散偶中的一根金属棒，因此叫做半 无限长。由于在t时间内，渗碳炉中碳势Cs（活性碳原子的浓 度）保持不变，试样表面扩散组元碳的浓度Cs被维持为常数， 试样中碳组元的原始浓度为C0。
解：此时通过管子中铁膜的氮气通量为
膜片两侧的氮浓度梯度为：
根据菲克第一定律
则
1.1.2 菲克第二定律 解决非稳态扩散问题，即溶质浓度随时间变化的情况，即
dc/dt≠0。 将D近似取为与c无关的常数时：
C C
2C
t x (D x ) D x2
它反映扩散物质的浓度、通量和时间、空间的关系。这是菲克 第二定律一维表达式。
误差函数解
（1）无限长扩散偶的扩散
将两根溶质原子浓度分别是C1 和C2、横截面积和浓度均匀的金 属棒沿着长度方向焊接在一起，
形成无限长扩散偶，然后将扩散
偶加热到一定温度保温，考察浓
度沿长度方向随时间的变化。
无限长扩散偶中的溶质原子分布
将焊接面作为坐标原点，扩散沿x轴方向，列出扩散问题的初 始条件和边界条件分别为 ：
2 Dt
有两条由菲克第二定律推导出来的结论十分简单、有用：
对于钢铁材料渗碳处理时，扩散需要的时间t与扩散距离x的
平方成正比。
对于同一个扩散系统，扩散系数D与扩散时间t的乘积为一常
数。
例：含0.20%碳的碳钢在927 ℃进行气体渗碳。假定表面C含 量增加到0.9%，试求距表面0.5mm处的C含量达0.4%所需的时 间。已知D (927 ℃) =1.28 ×10-11 m2/s。 解：已知Cs= 0.9% ，x=0.5，C0=0.2%，D，Cx=0.4%代入式得