运筹学基础-对偶线性规划(2)

[解] 该问题存在可行解，如X=(0，0，0)； 其对偶问题为：
Min w = 2y1 +y2
S.t. – y1 – 2y2 ≥ 1 ①
y1 + y2 ≥ 1
②
对偶问题无可行解
y1 –y2 ≥ 0
③
y1,y2 ≥ 0
由第一约束条件可知对偶问题无可行解，则原问题的解无
界或无可行解， 由于原问题存在可行解，所以解无界。
§2.2 线性规划的对偶理论
线性规划的对偶理论包括以下几个基本定理。 定理1 （对称性定理）
即对偶问题的对偶是原问题。
定理2 （弱对偶定理） 设x和y分别是原问题和对偶问题的可行解，则必有cx≤yb，
即原问题的目标值小于对偶问题的目标值
定理3 （无界性） 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无


x
1

x2 x3 2x4 3 x2 3x3 x4 6

x
1

x2
2
x1 , x 2 , x 3 , x 4
（1）写出对偶问题； （2）已知原问题的最优解为X*=（2，0，1，1）T，求对 偶问题的最优解。
解：写出对偶问题为：
Max Z = 4y1 + 3y S.t. y1 + 2y2 ≤2 ①
y1 – y2 ≤3 ② 2y1 +3y2 ≤5 ③
2＝2 1/5 ＜ 3
17/5＜5
x2 = 0 x3 = 0
x1+3 x5= 4
2x1+ x5 = 3 解得：x1 = x5 = 1。
y1 + y2 ≤2 3y1 +y2 ≤3
函数值相等
综合上述结论得原问题与对偶问题的解的关系
原问题与对偶问题解的对应关系
原 有最优解 问无 界 题 无可行解
对偶问题
有最优解
无界
一定
不可能
不可能
不可能
不可能
可能
无可行解 不可能 一定 可能
由原问题与对偶问题的解的关系可以判定线性规划的解。
应用如上关系求解线性规划问题
表2：
原问题与对偶问题解的对应关系
④ ⑤
7/5 ＜ 2 x4 = 0 maxZ=5=minS=5
3=3
y1,y2 ≥ 0
得原问题的最优解X*=(1,0,0,0,1) minS=5
又因y1,y2 ＞0，故原问题的两个约束必为紧约束，即
练习：已知线性规划问题为：
Max.Z=2x1+4x2+x3+x4
s.t. x1+3x2
+x4≤8
2x1+x2
≤6
x2 + x3 +x4≤6
x1 + x2 +x3 ≤9
xj≥0（j=1,2,3,4）
线性规划问题的对偶问题为：
Min.Z=8y1+6y2+6y3+9y4
s.t. y1+2y2
+y4 ≥ 2
3y1+y2 + y3 +y4 ≥ 4
y3 +y4 ≥ 1
y1
+y3 ≥ 1
yj≥0（j=1,2,3,4）
已知原问题的最优解为:X*=(2,2,4,0)T，试根据互补松弛定理 解出其对偶问题的最优解。
又因x1, x2 , x3＞0，故对偶问题的前三个约束必为紧约束
y1+2y2 = 2 3y1+y2 + y3 = 4
y3 = 1 解之，有： y1=4/5, y2=3/5, y3=1，y4 = 0
已知线性规划问题
min z 3 x1 6 x 2 8 x 3 6 x 4
x1
x3 2
可行解。 若原（对偶）问题有可行解,对偶（原）问题无可行解，则
原（对偶）问题一定无界； 注:此定理可以判定解的情况
一般是：
cx≤yb
定理4 （可行解是最优解的性质） 设X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解，当
CX*=Y*b时， X*与Y*是最优解 。
定理5 （强对偶定理） 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标
Min.Z=8y1+6y2+6y3+9y4
y1+2y2 +y4 ≥ 2 3y1+y2 + y3 +y4 ≥ 4
y3 +y4 ≥ 1
等 号
x1 + x2 +x3 ≤9 xj≥0（j=1,2,3,4）
④ 8<9
y1
+y3Байду номын сангаас
≥1
yj≥0（j=1,2,3,4）
④为严格不等式，由互补松弛定知，必有y4 = 0；
当线性规划问题达到最优时，我们不仅同时得到了原问 题和对偶问题的最优解，而且也还得到了变量和约束之间的 一种对应关系。互补松弛定理即揭示了这一点。
线性规划达到最优时的关系
1.如果原问题的某一约束为紧约束（严格等式:松弛变量为零）， 该约束对应的对偶变量应大于或等于零； 2.如果原问题的某一约束为松约束（严格不等式:松弛变量大于 零），则对应的对偶变量必为零； 3.如果原问题的某一变量大于零该变量对应的对偶约束必为紧约 束(严格等式)； 4.如果原问题的某一变量等于零，该变量对应的对偶约束可能是 紧约束(严格等式)，也可能是松约束(严格不等式)。
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的 对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约 束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最 优时，原问题（或对偶问题）的变量取值和对偶问题（或原 问题）约束松紧之间的对应关系。
附 练习答案：y1=4/5, y2=3/5, y3=1, y4=0
答案：因为原问题的最优解为:X*=(2,2,4,0)T ：
线性规划问题的对偶问题为：
s.t.
Max.Z=2x1+4x2+x3+x4
x1+3x2
+x4≤8
2x1+x2
≤6
x2 + x3 +x4≤6
① 8=8 ② 6=6 ③ 6=6
s.t.
例4 已知线性规划问题 Max z=x1 + x2 S.t. –x1 + x2 + x3 ≤ 2 原 有最优解 – 2x1 + x2 – x3 ≤ 1 问 无 界 xi ≥ 0 (i=1,2 ,3) 题 无可行解
对偶问题
有最优解
无界
一定
不可能
不可能
不可能
不可能
可能
无可行解 不可能
一定 可能
试用对偶理论证明上述规划问题无最优解。
又例:应用如上关系求解线性规划问题
例5 已知线性规划问题
Min S=2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5
S.t. x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5 ≥ 4 2x1 – x2 + 3x3 + x4 + x5 ≥ 3
等号
xi ≥ 0 (i=1,2 ,3,4,5) 已知对偶问题的最优解为 y1 = 4/5, y2 = 3/5, 试应用对偶理论求解原问题。