数学建模 时间序列分析模型
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1、自相关函数与偏自相关函数
q （1）MA（ ）的自相关与偏自相关函数
自协方差函数
k
112Lq2 2, k 1k1Lqkq 2,
k0 1kq
0,
kq
Dut 2 是白噪声序列的方差
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
样本自相关函数 记为ACF(k)
1,
k 0
k
k 0
k1112k1LLqq2kq
与0有显著差异； 季度数据，考察k4,8,12,L时的自相关 系数是否与0有显著差异。 若自相关系数与0无显著不同， 说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则 存在季节性.
实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况， 这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性， 否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误.
q)
自相关系数
拖尾 q阶截尾
拖尾
偏自相关系 数
P阶截尾
拖尾
拖尾
❖ 拖尾: 系数始终有非零取值，不会在k大于某个常数之后就恒等 于零（截尾），这个性质就是拖尾性。
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最 主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数.
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列
重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
判断时间序列季节性的标准为： 月度数据，考察 k 1 2 ,2 4 ,3 6 ,L时的自相关系数是否
❖ 确定性时间序列法有：移动平均法、指数平滑法、 差分指数平滑法、自适应过滤法、直线模型预测法、 成长曲线模型预测和季节变动预测法等等。
❖ 随机时间序列是通过建立随机时间序列模型来预测， 方法和数据要求都很高，精度也很高，应用非常广 泛。
❖ 时间序列预测法的优缺点
优点： 在分析现在、过去、未来的联系时，以及未来的
结果与过去、现在的各种因素之间的关系时，效果 比较好。
数据处理时，并不十分复杂 缺点：
反映了对象线性的、单向的联系 预测稳定的、在时间方面稳定延续的过程 并不适合进行长期预测
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
一、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型， 是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本
,
1kq
0,
k q
MA（ q ）序列的自相关函数 k 在 k q 以后全都是0，
q 这种性质称为自相关函数的 步截尾性；偏自相关函数
k 随着滞后期 的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，
这种特性称为偏自相关函数的拖尾性
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）AR（ p ）序列的自相关与偏自相关函数
自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X
：
t
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性
函数，即可表示为 X t 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p u t【1】
k 1 k 2,3,L
1 k1, j j
j1
其中 k 是滞后 期的自相关系数，
k k j k 1 ,j k kk 1 , k j ,j 1 , 2 , L , k 1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、时间序列的特性分析 （1）随机性 如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规 律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其 自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进 行判定。 在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评 价模型的优劣。 （2）平稳性
时间序列的定义
❖ 随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量
❖ 观察值序列:随机序列的 个有序观察值，称之为序 列长度为 的观察值序列
❖ 随机序列和观察值序列的关系
观察值序列是随机序列的一个实现 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
❖ 时间序列预测方法，是把统计资料按时间发生的先 后进行排序得出的一连串数据，利用该数据序列外 推到预测对象未来的发展趋势。一般可分为确定性 时间序列预测法和随机时间序列预测法。
偏自相关函数 记为PACF(k)
kk 0k,,
1k p kp
是 p 步截尾的 ；
自协方差函数 k 满足 (B)k 0 自相关函数 k 满足 (B)k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
（3）ARMA（ p , q ）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
ARMA模型相关性特征
模型
AR(P) MA(q) ARMA(p,
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）偏自相关
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1 ,X t 2,L,X t k 1 的条件下，X t 与 X t k 之间的条件相关关系。 其相关程度用
偏自相关系数 k k 度量，有 1kk 1
1
k 1
kk
k
k1, j
j1
kj
k 1
相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数 k 度量，
表示时间序列中相隔 k 期的观测值之间的相关程度。
nk
( Xt X )( Xtk X )
k t1 n
(Xt X )2
t 1
n 注1： 是样本量， k 为滞后期， X 代表样本数据的算术平均值 注2：自相关系数 k 的取值范围是 [ 1, 1] 且 | k | 越接近1，自相关程度越高
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列
X
：
t
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差
项的线性函数，即可表示为
X t u t 1 u t 1 2 u t 2 L q u t q 【3】
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2,L,p称为自回归系数，是待估参数.
随机项 u
方差为
t2
是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定 X t 均值为0，否则令 Xt Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
能相互表出，即过程可逆，
1w 1B w 2B 2 LX t w iB i X tu t i 0 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程
注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即
Xt 1v1Bv2B2Lut vjBj ut j0
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
若时间序列 X t 满足
1）对任意时间 t ，其均值恒为常数；
2）对任意时间 t 和 s ，其自相关系数只与时间间隔t s 有关，而与t 和 s 的起始点无关。
那么，这个时间序列就称为平稳时间序列 。
时间序列的随机性，是指时间序列各项之 间没有相关关系的特征。使用自相关分析图 判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：
思想是：某些时间序列是依赖于时间 t 的一族随机
变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确 定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以 用相应的数学模型近似描述.
通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认 识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的 最优预测.
ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型
若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则判断 X t 是MA（ q ）序列 若样本偏自相，关函数 k k在 p 步截尾，则可判断 X t 是AR（ p ）序列 若 k ， k k 都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为X t 是
3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】
自回归移动平均序列 X t ：
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差项以及
前期值的线性函数，即可表示为
X t 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p u t 1 u t 1 2 u t 2 L q u t q 【5】
式【5】称为( p , q ) 阶的自回归移动平均模型，记为ARMA ( p , q )
注1：实参数 1,2,L,p 称为自回归系数， 1,2,L ,q 为移动平均系数，
都是模型的待估参数 注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形
注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为 (B)Xt (B)ut 【6】
若 时 间 序 列 的 自 相 关 函 数 基 本 上 都 落 入 置信区间，则该时间序列具有随机性；
若较多自相关函数落在置信区间之外， 则认为该时间序列不具有随机性。
判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工 作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性 的准则是：
若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有 平稳性； 若时间序列的自相关函数更多地落在置信区 间外面，则该时间序列就不具有平稳性。
注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 ( B ) 的根均在单位圆外
可逆条件是滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
二、随机时间序列的特性分析
1、时序特性的研究工具 （1）自相关 构成时间序列的每个序列值 X t,X t 1 ,X t 2 ,L ,X t k之间的简单
注：实参数 1,2,L ,q 为移动平均系数，是待估参数
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B ) 1 1 B 2 B 2 L q B q
则模型【3】可简写为
Xt (B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳
注2：滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ进 行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
三、模型的识别与建立
在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的 自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适
宜的阶数 d, D, p,q 以及 P , Q （消除季节趋势性后的平稳序列）
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要 注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立 ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求
在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数
时间序列分析模型
1 时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述 1、自回归模型 2、移动平均模型 3、自回归移动平均模型 二、随机时间序列的特性分析 三、模型的识别与建立 四、模型的预测
2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 一、问题分析 二、模型假设 三、模型建立
四、模型预测 五、结果分析 六、模型评价与改进
❖ 最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。
古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就 构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观 察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌 握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速 发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。
❖ 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下 来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、 研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势 就是时间序列分析。
记 B k 为 k 步滞后算子，即 BkXt Xtk ，则
模型【1】可表示为
X t 1 B X t 2 B 2 X t L p B p X t u t
令 ( B ) 1 1 B 2 B 2 L p B p ，模型可简写为
(B)Xt ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B )
q （1）MA（ ）的自相关与偏自相关函数
自协方差函数
k
112Lq2 2, k 1k1Lqkq 2,
k0 1kq
0,
kq
Dut 2 是白噪声序列的方差
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
样本自相关函数 记为ACF(k)
1,
k 0
k
k 0
k1112k1LLqq2kq
与0有显著差异； 季度数据，考察k4,8,12,L时的自相关 系数是否与0有显著差异。 若自相关系数与0无显著不同， 说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则 存在季节性.
实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况， 这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性， 否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误.
q)
自相关系数
拖尾 q阶截尾
拖尾
偏自相关系 数
P阶截尾
拖尾
拖尾
❖ 拖尾: 系数始终有非零取值，不会在k大于某个常数之后就恒等 于零（截尾），这个性质就是拖尾性。
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最 主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数.
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列
重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
判断时间序列季节性的标准为： 月度数据，考察 k 1 2 ,2 4 ,3 6 ,L时的自相关系数是否
❖ 确定性时间序列法有：移动平均法、指数平滑法、 差分指数平滑法、自适应过滤法、直线模型预测法、 成长曲线模型预测和季节变动预测法等等。
❖ 随机时间序列是通过建立随机时间序列模型来预测， 方法和数据要求都很高，精度也很高，应用非常广 泛。
❖ 时间序列预测法的优缺点
优点： 在分析现在、过去、未来的联系时，以及未来的
结果与过去、现在的各种因素之间的关系时，效果 比较好。
数据处理时，并不十分复杂 缺点：
反映了对象线性的、单向的联系 预测稳定的、在时间方面稳定延续的过程 并不适合进行长期预测
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
一、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型， 是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本
,
1kq
0,
k q
MA（ q ）序列的自相关函数 k 在 k q 以后全都是0，
q 这种性质称为自相关函数的 步截尾性；偏自相关函数
k 随着滞后期 的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，
这种特性称为偏自相关函数的拖尾性
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）AR（ p ）序列的自相关与偏自相关函数
自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X
：
t
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性
函数，即可表示为 X t 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p u t【1】
k 1 k 2,3,L
1 k1, j j
j1
其中 k 是滞后 期的自相关系数，
k k j k 1 ,j k kk 1 , k j ,j 1 , 2 , L , k 1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、时间序列的特性分析 （1）随机性 如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规 律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其 自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进 行判定。 在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评 价模型的优劣。 （2）平稳性
时间序列的定义
❖ 随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量
❖ 观察值序列:随机序列的 个有序观察值，称之为序 列长度为 的观察值序列
❖ 随机序列和观察值序列的关系
观察值序列是随机序列的一个实现 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
❖ 时间序列预测方法，是把统计资料按时间发生的先 后进行排序得出的一连串数据，利用该数据序列外 推到预测对象未来的发展趋势。一般可分为确定性 时间序列预测法和随机时间序列预测法。
偏自相关函数 记为PACF(k)
kk 0k,,
1k p kp
是 p 步截尾的 ；
自协方差函数 k 满足 (B)k 0 自相关函数 k 满足 (B)k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
（3）ARMA（ p , q ）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
ARMA模型相关性特征
模型
AR(P) MA(q) ARMA(p,
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）偏自相关
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1 ,X t 2,L,X t k 1 的条件下，X t 与 X t k 之间的条件相关关系。 其相关程度用
偏自相关系数 k k 度量，有 1kk 1
1
k 1
kk
k
k1, j
j1
kj
k 1
相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数 k 度量，
表示时间序列中相隔 k 期的观测值之间的相关程度。
nk
( Xt X )( Xtk X )
k t1 n
(Xt X )2
t 1
n 注1： 是样本量， k 为滞后期， X 代表样本数据的算术平均值 注2：自相关系数 k 的取值范围是 [ 1, 1] 且 | k | 越接近1，自相关程度越高
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列
X
：
t
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差
项的线性函数，即可表示为
X t u t 1 u t 1 2 u t 2 L q u t q 【3】
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2,L,p称为自回归系数，是待估参数.
随机项 u
方差为
t2
是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定 X t 均值为0，否则令 Xt Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
能相互表出，即过程可逆，
1w 1B w 2B 2 LX t w iB i X tu t i 0 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程
注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即
Xt 1v1Bv2B2Lut vjBj ut j0
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
若时间序列 X t 满足
1）对任意时间 t ，其均值恒为常数；
2）对任意时间 t 和 s ，其自相关系数只与时间间隔t s 有关，而与t 和 s 的起始点无关。
那么，这个时间序列就称为平稳时间序列 。
时间序列的随机性，是指时间序列各项之 间没有相关关系的特征。使用自相关分析图 判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：
思想是：某些时间序列是依赖于时间 t 的一族随机
变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确 定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以 用相应的数学模型近似描述.
通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认 识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的 最优预测.
ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型
若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则判断 X t 是MA（ q ）序列 若样本偏自相，关函数 k k在 p 步截尾，则可判断 X t 是AR（ p ）序列 若 k ， k k 都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为X t 是
3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】
自回归移动平均序列 X t ：
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差项以及
前期值的线性函数，即可表示为
X t 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p u t 1 u t 1 2 u t 2 L q u t q 【5】
式【5】称为( p , q ) 阶的自回归移动平均模型，记为ARMA ( p , q )
注1：实参数 1,2,L,p 称为自回归系数， 1,2,L ,q 为移动平均系数，
都是模型的待估参数 注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形
注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为 (B)Xt (B)ut 【6】
若 时 间 序 列 的 自 相 关 函 数 基 本 上 都 落 入 置信区间，则该时间序列具有随机性；
若较多自相关函数落在置信区间之外， 则认为该时间序列不具有随机性。
判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工 作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性 的准则是：
若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有 平稳性； 若时间序列的自相关函数更多地落在置信区 间外面，则该时间序列就不具有平稳性。
注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 ( B ) 的根均在单位圆外
可逆条件是滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
二、随机时间序列的特性分析
1、时序特性的研究工具 （1）自相关 构成时间序列的每个序列值 X t,X t 1 ,X t 2 ,L ,X t k之间的简单
注：实参数 1,2,L ,q 为移动平均系数，是待估参数
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B ) 1 1 B 2 B 2 L q B q
则模型【3】可简写为
Xt (B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳
注2：滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ进 行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
三、模型的识别与建立
在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的 自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适
宜的阶数 d, D, p,q 以及 P , Q （消除季节趋势性后的平稳序列）
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要 注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立 ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求
在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数
时间序列分析模型
1 时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述 1、自回归模型 2、移动平均模型 3、自回归移动平均模型 二、随机时间序列的特性分析 三、模型的识别与建立 四、模型的预测
2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 一、问题分析 二、模型假设 三、模型建立
四、模型预测 五、结果分析 六、模型评价与改进
❖ 最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。
古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就 构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观 察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌 握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速 发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。
❖ 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下 来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、 研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势 就是时间序列分析。
记 B k 为 k 步滞后算子，即 BkXt Xtk ，则
模型【1】可表示为
X t 1 B X t 2 B 2 X t L p B p X t u t
令 ( B ) 1 1 B 2 B 2 L p B p ，模型可简写为
(B)Xt ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B )