第6章 贪心法

6 5 2
1 3
3 2 5 3 2
1 2 3 4
4
3
(b) 城市1→城市4 1 2
3 2 (c) 城市4→城市3 1 3 2 5 2
5 5 4 2
2
2 7 3
5 5 4 2
2
2
2 5
3
4
2
3
(d) 城市3→城市5
(e) 城市5→城市2
(f) 城市2→城市1
最近邻点贪心策略求Baidu NhomakorabeaTSP问题的过程
设图G有n个顶点，边上的代价存储在二维数组w[n][n] 中，集合V存储图的顶点，集合P存储经过的边，最近邻点 策略求解TSP问题的算法如下：
（2）最短链接策略：每次在整个图的范围内选择 最短边加入到解集合中，但是，要保证加入解集合 中的边最终形成一个哈密顿回路。因此，当从剩余 边集E'中选择一条边(u, v)加入解集合S中，应满足 以下条件： ① 边(u, v)是边集E'中代价最小的边； ② 边(u, v)加入解集合S后，S中不产生回路； ③ 边(u, v) 加入解集合S后，S中不产生分枝；
对于一个具体的问题，怎么知道是否可以用贪心法求解， 以及能否得到问题的最优解?这个问题很难给予肯定的回 答。但是，从许多可以用贪心法求解的问题中看到，这类 问题一般具有两个重要的性质：最优子结构性质 （Optimal SubstructureProperty）和贪心选择性质 （Greedy Selection Property）。
34 A 46 C 19
B 26 F 25
12 E 38 A 46
34 19
B 26 F 25 D 17
12 E 38 A 46
6.1.2 贪心法的求解过程
用贪心法求解问题应该考虑如下几个方面： （1）候选集合C：为了构造问题的解决方案，有一 个候选集合C作为问题的可能解，即问题的最终解 均取自于候选集合C。例如，在付款问题中，各种 面值的货币构成候选集合。 （2）解集合S：随着贪心选择的进行，解集合S不 断扩展，直到构成一个满足问题的完整解。例如， 在付款问题中，已付出的货币构成解集合。
第6章
6.1 6.2 6.3 概 述
贪心法
图问题中的贪心法 组合问题中的贪心法
6.1
概
述
6.1.1 6.1.2
贪心法的设计思想 贪心法的求解过程
6.1.1
贪心法的设计思想
贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据 当前已有的信息就做出选择，而且一旦做出了选 择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。 换言之，贪心法并不是从整体最优考虑，它所做出 的选择只是在某种意义上的局部最优。 这种局部最优选择并不总能获得整体最优解 （Optimal Solution），但通常能获得近似最优解 （Near-Optimal Solution）。
C=
∞ 3 3 ∞ 3 7 2 3 6 2
3 2 6 7 3 2 ∞ 2 5 2 ∞ 3 5 3 ∞
1 5 2 2 2 3 5
1 2 2
4
(a) 5城市的代价矩阵 1 5 2 2 2
(b) 城市1→城市4 1 2 5 2 5 2
3 4 (c) 城市5→城市2 1 2 5 2 5 3 2 (f) 城市2回到出发城市1 4 3 2
在付款问题每一步的贪心选择中，在不 超过应付款金额的条件下，只选择面值最大的货 币，而不去考虑在后面看来这种选择是否合理， 而且它还不会改变决定：一旦选出了一张货币， 就永远选定。付款问题的贪心选择策略是尽可能 使付出的货币最快地满足支付要求，其目的是使 付出的货币张数最慢地增加，这正体现了贪心法 的设计思想。
算法6.1——最近邻点策略求解TSP问题
1． P={ }; 2． V=V-{u0}; u=u0; //从顶点u0出发 3． 循环直到集合P中包含n-1条边 3.1 查找与顶点u邻接的最小代价边(u, v)并且v属于集合V； 3.2 P=P+{(u, v)}; 3.3 V=V-{v}; 3.4 u=v; //从顶点v出发继续求解
双向图只用两种颜色就可以完成着色，例 如，可以将奇数顶点全部着成颜色1，将偶数顶 点全部着成颜色2。如果贪心法以1, 3, … , 2n-1, 2, 4, … , 2n的顺序为双向图着色，则算法可以 得到这个最优解，但是如果贪心法以1,2, … , n 的自然顺序为双向图着色，则算法找到的是一 个需要n种颜色的解。
贪心策略：选择一种颜色，以任意顶点作为开始顶点，依次 考察图中的未被着色的每个顶点，如果一个顶点可以用颜色1 着色，换言之，该顶点的邻接点都还未被着色，则用颜色1为 该顶点着色，当没有顶点能以这种颜色着色时，选择颜色2和 一个未被着色的顶点作为开始顶点，用第二种颜色为尽可能 多的顶点着色，如果还有未着色的顶点，则选取颜色3并为尽 可能多的顶点着色，依此类推。 3 1 2 4 5 3 1 2 4 5
（3）解决函数solution：检查解集合S是否构成 问题的完整解。例如，在付款问题中，解决函数是 已付出的货币金额恰好等于应付款。 （4）选择函数select：即贪心策略，这是贪心法 的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的 解，选择函数通常和目标函数有关。例如，在付款 问题中，贪心策略就是在候选集合中选择面值最大 的货币。 （5）可行函数feasible：检查解集合中加入一个 候选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束 条件。例如，在付款问题中，可行函数是每一步选 择的货币和已付出的货币相加不超过应付款。
6.2.2
图着色问题
给定无向连通图 G=(V, E)，求图 G 的最小色数 k ，使得用 k 种颜色对 G 中的顶点着色，可使任意两 个相邻顶点着色不同。
例如，所示的图可以只用两种颜色着色，将顶点1、 3和4着成一种颜色，将顶点2和顶点5着成另外一种 颜色。为简单起见，下面假定k个颜色的集合为{颜色 1, 颜色2, …, 颜色k}。 3 1 2 4 5
6.2
图问题中的贪心法
TSP问题 图着色问题 最小生成树问题
6.2.1 6.2.2 6.2.3
6.2.1
TSP问题
求解TSP问题至少有两种贪心策略是合理的： （1）最近邻点策略：从任意城市出发，每次 在没有到过的城市中选择最近的一个，直到 经过了所有的城市，最后回到出发城市。
C=
∞ 3 3 2 6 3 ∞ 7 3 2 3 7 ∞ 2 5 2 3 2 ∞ 3 6 2 5 3 ∞ (a) 5城市的代价矩阵 1 2
对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心 选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最 终导致问题的整体最优解。通常先考察问题的 一个整体最优解，并证明可修改这个最优解， 使其从贪心选择开始。做出贪心选择后，原问 题简化为规模较小的类似子问题，然后，用数 学归纳法证明，通过每一步的贪心选择，最终 可得到问题的整体最优解。 设计贪心算法的困难在于证明得到的解确实 是问题的整体最优解。
贪心法求解的问题的特征：
（1）最优子结构性质 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称 此问题具有最优子结构性质，也称此问题满足最优性原理。 问题的最优子结构性质是该问题可以用动态规划法或贪心法 求解的关键特征。 在分析问题是否具有最优子结构性质时，通常先假设由问题 的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后证明在这个假 设下可以构造出比原问题的最优解更好的解，从而导致矛盾。
（2）贪心选择性质 所谓贪心选择性质是指问题的整体最优解可以通 过一系列局部最优的选择，即贪心选择来得到，这是 贪心法和动态规划法的主要区别。在动态规划法中， 每步所做出的选择（决策）往往依赖于相关子问题的 解，因而只有在求出相关子问题的解后，才能做出选 择。而贪心法仅在当前状态下做出最好选择，即局部 最优选择，然后再去求解做出这个选择后产生的相应 子问题的解。正是由于这种差别，动态规划法通常以 自底向上的方式求解各个子问题，而贪心法则通常以 自顶向下的方式做出一系列的贪心选，每作一次贪心 选择就将问题简化为规模更小的子问题。
考虑一个具有2n个顶点的无向图，顶点的编号从1 到2n，当i是奇数时，顶点i与除了顶点i+1之外的其 他所有编号为偶数的顶点邻接，当i是偶数时，顶点 i与除了顶点i-1之外的其他所有编号为奇数的顶点 邻接，这样的图称为双向图（Bipartite）。
1 3 5 7
2
4
6
8
图7.4 具有8个顶点的双向图
例：用贪心法求解付款问题。 假设有面值为5元、2元、1元、5角、2角、1角的货 币，需要找给顾客4元6角现金，为使付出的货币的 数量最少，首先选出1张面值不超过4元6角的最大 面值的货币，即2元，再选出1张面值不超过2元6角 的最大面值的货币，即2元，再选出1张面值不超过 6角的最大面值的货币，即5角，再选出1张面值不 超过1角的最大面值的货币，即1角，总共付出4张 货币。
4
2
3
(d) 城市4→城市3
3 2 (e) 城市3→城市5 4
最短链接贪心策略求解TSP问题的过程
设图G有n个顶点，边上的代价存储在二维数组w[n][n] 中，集合E'是候选集合即存储所有未选取的边，集合P存储经 过的边，最短链接策略求解TSP问题的算法如下：
算法6.2——最短链接策略求解TSP问题 1．P={ }; 2．E'=E; //候选集合，初始时为图中所有边 3．循环直到集合P中包含n-1条边 3.1 在E'中选取最短边(u, v); 3.2 E'=E'-{(u, v)}; 3.3 如果 (顶点u和v在P中不连通 and 不产生分枝) 则P=P+{(u, v)};
6.2.3 最小生成树问题
设G=(V，E)是一个无向连通网，生成树上各 边的权值之和称为该生成树的代价，在G的所有 生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树 （Minimal Spanning Trees）。
最小生成树问题至少有两种合理的贪心策略： （1）最近顶点策略：任选一个顶点，并以此建立 起生成树，每一步的贪心选择是简单地把不在生 成树中的最近顶点添加到生成树中。 Prim算法就应用了这个贪心策略,它使生成 树以一种自然的方式生长，即从任意顶点开始， 每一步为这棵树添加一个分枝，直到生成树中包 含全部顶点。
设数组color[n]表示顶点的着色情况，贪心法求解图 着色问题的算法如下：
算法6.3——图着色问题 1．color[1]=1; //顶点1着颜色1 2．for (i=2; i<=n; i++) //其他所有顶点置未着色状态 color[i]=0; 3．k=0; 4．循环直到所有顶点均着色 4.1 k++; //取下一个颜色 4.2 for (i=2; i<=n; i++) //用颜色k为尽量多的顶点着色 4.2.1 若顶点i已着色，则转步骤4.2，考虑下一个顶点; 4.2.2 若图中与顶点i邻接的顶点着色与顶点i着颜色k不冲突， 则color[i]=k; 5．输出k;
在算法6.2中，如果操作“在E'中选取最短边 (u, v)”用顺序查找，则算法6.2的时间性能是 O(n2)，如果采用堆排序的方法将集合E'中的边 建立堆，则选取最短边的操作可以是O(log2n)， 对于两个顶点是否连通以及是否会产生分枝，可 以用并查集的操作将其时间性能提高到O(n)，此 时算法6.2的时间性能为O(nlog2n)。
贪心法的一般过程 Greedy(C) //C是问题的输入集合即候选集合 { S={ }; //初始解集合为空集 while (not solution(S)) //集合S没有构成问题的一个解 { x=select(C); //在候选集合C中做贪心选择 if feasible(S, x) //判断集合S中加入x后的解是否可行 S=S+{x}; C=C-{x}; } return S; }
算法6.1的时间性能为 O(n2)，因为共进行n-1次贪 心选择，每一次选择都需要查找满足贪心条件的最短边。 用最近邻点贪心策略求解TSP问题所得的结果不一定是 最优解，图6.1(a)中从城市1出发的最优解是 1→2→5→4→3→1，总代价只有13。当图中顶点个数较多 并且各边的代价值分布比较均匀时，最近邻点策略可以给 出较好的近似解，不过，这个近似解以何种程度近似于最 优解，却难以保证。例如，在图6.1中，如果增大边(2, 1) 的代价，则总代价只好随之增加，没有选择的余地。