最小二乘法曲线拟合原理及maab实现

曲线拟合( curve-fitting )：工程实践中，用测量到的一些离散的数据

{( X, yj,i 0,1,2,...m}求一个近似的函数(x)来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势(即使(x)最好地逼近f x，而不必满足插值原则。因此没必要取(X)=y i，只要使i (X i) y i尽可能地小)。

原理：

给定数据点{( x i,y i),i 0 ,1 , 2, . . . m} 。求近似曲线( x) 。并且使得近似曲线与f x 的偏差最小。

近似曲线在该点处的偏差i(x i ) y i，i=1,2,...,m 。

常见的曲线拟合方法：

1. 使偏差绝对值之和最小

2. 使偏差绝对值最大的最小

3. 使偏差平方和最小

最小二乘法：

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。推导过程：

1. 设拟合多项式为：

2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

3•问题转化为求待定系数a0...a k对等式右边求q偏导数，因而我们得到了：

4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到：

6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB 实现：

MATLAB 提供了polyfit ()函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)

[p,s]= polyfit(x,y,n)

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)

x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p。x 必须是单调的。矩阵s包括R (对x进行QR分解的三角元素)、df(自由度)、

normr(残差)用于生成预测值的误差估计。

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n) 在拟合过程中，首先对x 进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。polyval( ) 为多项式曲线求值函数，调用格式：y=polyval(p,x)

[y,DELTA]=polyval(p,x,s)

y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计丫 DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则丫 DELTA 将至少包含50%的预测值。

如下给定数据的拟合曲线：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。解：MATLAB 程序如下：

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];

p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0;

y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 运行结果如图1 计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614xA2+0.08287x+1.15560

图1 最小二乘法曲线拟合示例对比检验拟合的有效性：例：在[0, n区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2 n区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。

在MATLAB 中输入如下代码：

clear

x=0:0.1:pi; y=sin(x);

[p,mu]=polyfit(x,y,9) x1=0:0.1:2*pi;

y1=sin(x1);% 实际曲线

y2=polyval(p,x1);%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，

%需要注意的是polyval ()返回的函数值在pi到2pi上并没有进行拟合

plot(x1,y2,'k*',x1,y1,'k-')

运行结果：

p =

0.0000 0.0000 -0.0003 0.0002 0.0080 0.0002 -0.1668 0.0000 1.0000 0.0000 mu =

R: [10x10 double]

df: 22 normr: 1.6178e-07

MATLAB 的最优化工具箱还提供了lsqcurvefit ()函数命令进行最小二乘曲线拟合(Solve non li near curve-fitti ng (data-fitti ng) problems in least-squares sense)。

调用格式：

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)

x = lsqcurvefit(problem)

[x,resnorm] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(...) [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(...) [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = x0 为初始解向量;xdata ，ydata 为满