常微分方程进展简史

第三讲 常微分方程发展简史——解析理论

与定性理论阶段

3、常微分方程解析理论阶段：19世纪

19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数

这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222()0

x y xy x n y '''++-=其中参数和都可以是复的.

n x 对Bessel 来说, 和都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给n x Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个, 此方n 程存在两个独立的基本解, 记作和, 分别称为第一类Bessel 函数和第二类()n J x ()n Y x Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式

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()cos(sin ).

2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数给出了递推关系式

()n J x n 11()2()()0

n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.

后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。

解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程, 给出了幂级数形式的解, 2(1)20x y xy y λ'''-++=

得到了Legendre 多项式. 与此同时, Hermite C 研究了方程, 得到了其幂20y xy y λ'''-+=级数解,当为非负偶数时即为著名的Hermite 多项式. Tchebyshevy 在研究方程λ的解时, 得到了Tchebyshevy 多项式.

22(1)0x y xy p y '''--+=1821年, Gauss 研究了Gauss 几何方程

.

(1)[(1)]0x x y y y γαβαβ'''-+-++-=这个方程及其级数解

2(1)(1)(,,,)1112

(1)F x x x αβααββαβγγγγ++=+++⋅⋅⋅+ 早已为人们所熟知了，因为它已由Euler 研究过. 此级数称为超几何级数, 包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel 函数、球函数那样的超越函数. 除了证明此级数的一些性质外，Gauss 还建立了著名的关系式 .()()(,,,1)()()

F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-Gauss 还建立了此级数的收敛性。记号应归源于Gauss.

(,,,)F x αβγ这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多, 这里不一一介绍. 奇点理论、自守函数

19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。存在性定理和Sturm-Liouville 理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel 方程、Legendre 方程、Gauss 超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解，

也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。对于这个问题，Gauss 关于超几何级数的工作指明了道路。先导者是Riemann 和Fuchs （Weierstrass 的学生和他在柏林的继承者）。此理论被称为线性常微分方程的Riemann-Fuchs L 奇点理论，这是19世纪常微分方程解析理论中一个非常重要的成果。奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为

()(1)1()()0

n n n y p z y p z y -++⋅⋅⋅+=的线性常微分方程，其中除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数。此方程之所()i p z 以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。

这方面的重要工作还有Briot A A 和Bouquet J 的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs 和Poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论, 最后是1882年至1884年Poincare J 的工作和Klein F 在1884年的工作由于自守函数理论

而使微分方程解析理论臻于顶峰. 这样, 微分方程和自守函数建立了密切的联系.

当自守函数理论还正处在创立的阶段时，天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的兴趣。此方程源于著名的体问题。体问题可以用一句话写出来：在三维空间N N 中给定个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速N 度的条件下，它们会怎样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。

1877年Hill George William （美国数学家）私人出版了关于月球近地点运动的一篇具有卓越创见性的论文。1878年，他在AJM 上又发表了一篇关于月球运动的论文，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论。Hill 的一个基本思想是对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解。于是他对这个周期解变差写出方程，便得到了一个带有周期系数的四阶线性常微分方程组。知道了某些积分后，他将此四阶方程组化简为单独一个二阶线性微分方程

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()0,d x t x dt θ+=其中为周期的偶函数。Hill 证明了此二阶方程存在周期解，因而证实了月球近地点()t θπ的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究。

在他的证明中，首先将展开为Fourier 级数，然后用待定系数法确定级数解。他()t θ的方法用到了无穷行列式和无穷线性方程组，证明不够严格，他的工作一直受人嘲笑。1885-1886年，Poincare 证明了Hill 的证明手法的收敛性。Poincare 对Hill 的成就的注意和完善，使Hill 和有关课题著名了。

Poincare 参与了Hill 方程的研究，在Hill 的工作的刺激下，Poincare 为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了常微分方程定性研究的新时代。

4、常微分方程定性理论阶段：19世纪末期和20世纪初期

从时间上看, 19世纪末期和20世纪初期是常微分方程发展的第三个阶段. 这个阶段常微分方程在三个方面有重大发展, 都与Poincare 的工作相联系。一是微分方程的解析理论, 前面已作论述；二是Poincare 的定性理论；三是Liapunov 的稳定性理论.

Poincare 的定性理论

在代数学中，五次代数方程没有一般的根式求解公式这一事实并不防碍Sturm 创立用代数方法决定实根个数的新成就。类似地，在非线性方程一般不能求``初等解"的事实下，Poincare 独立开创了常微分方程实域定性理论这一新分支。

1881-1886年, Poincare 同一标题下连续发表了四篇论文,开创了常微分方程实域定性理论. 他只求通过考察微分方程本身就可以回答的关于稳定性等问题的方法, 为微分方程定性理论奠定了坚实的基础.