数学文化与数学教学 汪晓勤

案例 1 跨越时空
在抗美援朝战争 中，一名志愿军 战士利用泰勒斯 的方法测量敌营 的距离。
案例 1 跨越时空
学生在课上演示泰勒斯的方法
案例 1 跨越时空
A
A
A
B
C
D
BE
C
D
B
C
D
学生在课上给出的测量全等三角形方案
案例 Leabharlann Baidu 跨越时空
S1: 所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年 之后故事会永远留在头脑中。 S2: 不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在 我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是 可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角 度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解， 当然一定要以正课为主。
P. Fermat (1601-1665)
案例 3 牛刀小试
莱布尼茨（1684）
莱布尼茨在他的第一篇微积分 论文中，小试牛刀，给出了微 分的一个应用：在两种媒质中
G. W. Leibniz(1646-1716)
分别有点P和Q，光从P出发到 达Q，界面上入射点O 位于何 处，光用时最短？
案例 3 牛刀小试
拉丁译文 partes minutae primae
今天 minute
partes minutae secundae second
2 一条进路
为什么将幂指数称为“对数”？
许凯（N. Chuquet, 1445-1488）《算学三部》 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 20
案例 1 跨越时空
T1: 这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极 性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。 T2: 最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地 体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题， 并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上， 那么学生一定都会喜欢数学课!
案例 1 跨越时空
上述测量方法广泛使用于 文艺复兴时期。右图是16 世纪意大利数学家贝里 （S. Belli, ?～1575）出版 于1565年的测量著作中的 插图，图中所示的方法与 泰勒斯所用方法相同。
案例 1 跨越时空
有一个故事说，拿破仑军队在 行军途中为一河流所阻，一名 随军工程师用运用泰勒斯的方 法迅速测得河流的宽度，因而 受到拿破仑的嘉奖。因此，从 古希腊开始，角边角定理在测 量中一直扮演者重要角色。
a qSn1
a q Sn aqn1
Sn
a aqn 1 q
q
1
案例 2 昔非今比
《几何原本》第 9 卷命题 35
a2 a3 L an1
a1 a2
an
a2 a1 a3 a2 L an1 an
a1
a2
an
an1 a1 a2 a1 q 1
a1 a2 L an
分；
• 托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大
以色列马赛克：黄道十二宫图 （6世纪）
成》中使用60进小数，将圆周分成360 度，每1度分成60小部分（分），每一 小部分再分为60个小部分（秒），等等。
2 一条进路
阿拉伯译文
1 first small parts 60 1 second small parts 602
和。
2 一条进路
纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）
107 107 1107 107 1107 2 107 1107 3 107 1107 n
☺ 为什么 a b ab a ？0,（b 均0值不等式）
2
☺ 为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）
☺ 为什么函数 f x ln x 是1奇 x函2 数？
2 一条进路
为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度 制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为 什么 1 ？
J. Kepler(1571-1630)
案例 3 牛刀小试
哈里奥特（1601）
英国数学家哈里奥特发 现了折射定律，但没有 发表。
T. Harriot（1560-1621）
案例 3 牛刀小试
斯内尔（1621）
荷兰数学家斯内尔约于1621年 独立发现折射定律，但没有发 表。哈里奥特和斯内尔都是通 过实验得出该定律的，而没有 给出理论的推导。
Thales （前6世纪）
F A
E
D C
案例 1 跨越时空
泰勒斯在海边的塔或高丘上利 用一种简单的工具进行测量。 直竿 EF 垂直于地面，在其上 有一固定钉子A，另一横杆可 以绕 A 转动，但可以固定在任 一位置上。将该细竿调准到指 B 向船的位置，然后转动EF（保 持与底面垂直），将细竿对准 岸上的某一点C。则根据角边 角定理，DC = DB。
案例 2 昔非今比
七极微为一微量， 积微至七为一金尘， 积七金尘为水尘量， 水尘积至七为一兔毛尘， 积七兔毛尘为羊毛尘量， 积羊毛尘七为一牛毛尘， 积七牛毛尘为隙游尘量， 隙尘七为虮， 七虮为一虱， 七虱为穬麦， 七麦为指节……
《俱舍论》卷12（玄奘译）
案例 2 昔非今比
• 斐波纳契《计算之书》（1202） “7翁去罗马，每个人牵着7匹骡 子，每匹骡子负7只麻袋，每只袋 子装7块面包，每块面包配有7把 小刀，每把刀配有7个刀鞘，问老 翁、骡子、面包、刀、鞘的总数 是多少。”
W. Snell(1591-1626)
案例 3 牛刀小试
笛卡儿（1637）
笛卡儿在《折光》（《方法论》
之附录）中发表了折射定律，
但遗憾的是，他的证明却是 错误的！笛卡儿是否抄袭了
R. Descartes (1596-1650)
斯内尔，学术界尚有争议。
案例 3 牛刀小试
费马
费马对笛卡儿的折射定律进 行了攻击。错误的推导怎么 会得出正确的结论呢？直到 24年后的1661年，费马才利 用他的最小时间原理才导出 了折射定律。
f x a2 x2 b2 d x2
v1
v2
y P
a
sin i v1 sin r v2
i d-x B
A
xO
x
r
f x x 1 d x 1 0
b
a2 x2 v1 b2 d x2 v2
Q
莱布尼茨：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地
处理的一些问题，曾使其他高明的学者百思而不 得其解！”
麦穗
2401
容积
16807
总数
19607
莱因得纸草上的等比数列问题
案例 2 昔非今比
S5 7 49 343 230116807
71 7 49 343 2301
7 2801 19607
1
7
2
14
\4
28
\8
56
12
84
埃及乘法127
Sn a aq aq2 L aqn1
a q a aq aq2 L aqn2
为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分 叫“象限”？
为什么将幂指数称为“对数”？ 为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？ 为什么称未知数为“元”？
2 一条进路
为什么要将圆周分成360度？
• 1年＝360天；
• 60 进制；
• 迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成 30等分；
• Hypsicles (c. 180 B.C.) 将黄道圆分成360等
案例 2 昔非今比
• Josse Verniers（1584） 士兵问题：一座房子里有14 个房间，每个房间有里14张 床，每张床上躺着14个士兵， 每个士兵有14支枪，每支枪 里有14颗子弹。问：共有床、 士兵、枪、子弹各多少。
案例 2 昔非今比
• Kamp（1877）
妇女问题：有12个妇女，每人带 有12根棍子，每根棍子上绑有12 根绳子，每根绳子上系有12个袋 子，每个袋子里装有12个盒子， 每个盒子里含有12先令。问：共 有多少先令？
• 佛陀年轻时代的故事 7原子=1极微尘 7极微尘=1微尘 7微尘=1尘， …………………… 1里长度中共有717个原子
案例 2 昔非今比
• 《佛本行集经》卷12： 悉达多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘， 成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成 一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于 一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥 子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节； 累七指节，成于半尺。合两半尺，成于一尺，二 尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名为 一息；其八十息，名拘卢奢；八拘卢奢，名一由 旬。于此众中，有谁能知，几许微尘成一由旬？
Al-Haitham (965-1038)
案例 3 牛刀小试
Witelo (ca.1230- ca.1300)
维特罗（ca. 1270）
波兰物理学家、自然哲 学家和数学家维特罗在阿 尔·海森的基础上进一步 研究折射现象，但他仍然 同样未能发现折射定律。
案例 3 牛刀小试
开普勒（1611）
开普勒在《折光》（1611）中给 出：对于两种固定的媒质，当 入射角（i）较小时，入射角和 折射角（r）之间的关系是i = nr， （n为常数）。当光线从空气进 入玻璃时，n = 3/2。
2 一条进路
克拉维斯(C. Clavius, 1538-1612)《实用算术概论》(1583) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
• 32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的两倍； • 8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之
数学文化与数学教学
汪晓勤 石家庄 2011-10-12
数学文化与数学教学
一座宝藏
一条进路 一缕书香 一种视角
案例 1 跨越时空
希腊几何学的鼻祖泰勒斯发现了角 边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5 世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其 《几何史》中将该定理归于泰勒斯。 因为他说，泰勒斯证明了如何求出 海上轮船到海岸的距离，其方法中 必须用到该定理。”
案例 2 昔非今比
七兄弟分财产，最小的 兄弟得2，后一个比前一 个多得1/6，问所分财产 共有多少？
数学泥版MS 1844 （约公元前2050年）
案例 2 昔非今比
数学泥版 M 7857 （古巴比伦时期）
649539 大麦 72171 麦穗 8019 蚂蚁
891 鸟 99 人
案例 2 昔非今比
案例 2 昔非今比
• Adams 《学者算术》 （1801）
妻子问题：
我赴圣地伊夫斯， 路遇一男携七妻； 一妻各把七袋负， 一袋各装七猫咪。 猫咪生仔数又七， 几多同去伊夫斯？
案例 2 昔非今比
莱因得纸草书（约公元前1650年）
1
2801
2
5602
4 11204
19607
房屋
7
猫
49
老鼠
343
2 一条进路
斯蒂菲尔（M. Stifel, 1487～1567）《整数算术》（1544） 0 1 2 3 4 5 6 7 8… 1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
• 等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法； • 等差数列中的减法对应于等比数列中的除法； • 等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方； • 等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。
• 4对应的数16自乘，等于8对应的256； • 7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。
2 一条进路
施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《艺术新作》（1521） 0 1 2 3 4 5 … 16 1 2 4 8 16 32 … 65536
• 第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。 • 第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。 • 第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。 • 第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。
案例4 史海拾贝
洛必达：《无穷小分析》中的问题
f (x) c b2 x2 a2 b2 2ax
数学文化与数学教学
一座宝藏
一条进路
一缕书香 一种视角
2 一条进路
在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。 ☺ 为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理） ☺ 为什么 2是无理数？（不可公度量的发现）
a1
Sn
a1
qn 1 q 1
q 1
案例 3 牛刀小试
C. Ptolemy (85-165)
托勒密
托勒密分别就空气和水、水和 玻璃、玻璃和空气，对光的 入射角和折射角进行测量， 得出入射角与折射角成正比 的错误结论。
案例 3 牛刀小试
阿尔·海森
制作仪器，测量入射角和折 射角，发现托勒密的结论是 错误的，但他自己未能发现 折射定律。