九年级数学竞赛讲座 11第十一讲 双曲线

2．双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称，在k >0时函数的图象关于直线x y =轴对称；在k <0时函数的图象关于直线x y -=轴对称．

3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 【例题求解】

【例1】 已知反比例函数x

k

y =

的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小)．

思路点拨 确定k 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．

注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O 中心称，关于x y ±=轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．

(2)一个常用命题： 如图，设点A 是反比例函数x

k

y =(0≠k )的图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，过A 作AC ⊥y 轴于C ，则 ①S △AOB =

k 2

1

； ②S 矩形OBAC =k ．

【例2】 如图，正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数x

y 1

=

的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，连结BC ，若S △ABC 的面积为S ，则( ) A ．S=1 B ．S =2 C ．S=k D ．S=2k

思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S △AOB 与S △OBC 的关系．

【例3】 如图，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x

k

y =

(0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B ． (1)求实数k 的取值范围；

(2)若△AOB 面积S ＝24，求k 的值． (2003年荆门市中考题)

思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解； (2)S △AOB= S △COB S- S △COA ，建立k 的方程．

【例4】 如图，直线22

1

+=

x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴于B ，S △ABP =9． (1)求点P 的坐标；

(2)设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作PT ⊥x 轴于F ，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标．

思路点拨 (1)从已知的面积等式出发，列方程求P 点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R 坐标，但要注意分类讨论．

【例5】 如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上， 点B 在函数x k y =

(0>k ，0>x )的图象上，点P(m ，n )是函数x

k

y = (0>k ，0>x )的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．

(1)求B 点坐标和k 的值； (2)当2

9

=

S 时，求点P 的坐标； (3)写出S 关于m 的函数关系式．

思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于x

y 对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．

注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件

的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．

学历训练

1． 若一次函数b kx y +=的图象如图所示，则抛物线b kx x y ++=2的对称轴位于y 轴的 侧；反比例函数x

kb

y =

的图象在第 象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而 ．

2．反比例函数x

k

y =

的图象经过点A(m ，n)，其中m ，n 是一元二次方程042=++kx x 的两个根，则A 点坐标为 ．

3．如图：函数kx y -=（k ≠0）与x

y 4

-

=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 ．

4．已知，点P(n ，2n)是第一象限的点，下面四个命题：

(1)点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是(n ，-2n)； (2)点P 到原点O n ；(3)直线 y=-nx+2n 不经过第三象限；(4)对于函数y=

n

x

，当x ＜0时,y 随x 的增大而减小；其中真命题是 .(填上所有真命题的序号)

5．已知反比例函数y=

1m

x

-的图像上两点A(x 1，y 1)、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2 ,则m 的取值范围是( ) A ．m ＜O B ．m ＞0 C. m ＜

12 D.m ＞12

6．已知反比例函数x

k

y =

的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )

7．已知反比例函数),0(≠=

k x

k

y 当0

A ．第一、二、三象限

B ．第一、二、四象限

C ．第一、三、四象限

D ．第二、三、四象限

8．如图，A 、B 是函数x

y 1

=

的图象上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，如果四边形ACBD 的面积为S ，那么( ) A ． S ＝1 B ．12 D ．S ＝2

9．如图，已知一次函数y=kx+b(k ≠O)的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y=

x

m

(m ≠0)的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ．若OA=OB=OD=l ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；

（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

10．已知A(x 1、y 1)，B(x 2，y 2)是直线2+-=x y 与双曲线x

k

y = (0≠k )的两个不同交点． (1)求k 的取值范围；

(2)是否存在这样k 的值，使得2

1

1221)2)(2(x x x x x x +=

--?若存在，求出这样的k 值；若不存在，请说明理由．

11．已知反比例函数2k

y x

=

和一次函数y ＝2x-1，其中一次函数图像经过(a ，b)，(a+1，b+k)两点．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；

(3)利用(2)的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使ΔAOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.