2020高考热点等差数列、等比数列题型归纳

等差数列、等比数列
【考情分析】对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题；对于等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题
考点一 等差、等比数列基本量的计算
【典型例题】
【例1】（1）在等差数列{}n a 中，14,2162==a a ，若{}n a 的前k 项和为50，则k= .
（2）已知数列{}n a 为等比数列，2
15
51-=-a a ，前四项的和54-=S ，则4a = .
求等差（比）数列基本量的解题思路： （1）设基本量：首项1a 和公差d （公比q ）；
（2）列、解方程（组）：把条件转化为关于1a 和d （或q ）的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少运算量.
注：等差、等比数列基本量的运算是数列中的一类基本问题,有五个基本量:1a ,)(q d 或，n ，n a ，
n S ，一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
【类比训练】（1）已知等差数列{}n a 满足10,45342=+=+a a a a ，则它的前10项的和
S 10=( )
A.138
B .135
C.95
D.23
（2）在递增的等比数列{}n a 中,已知64,34231=⋅=+-n n a a a a ，且前n 项和S n =42,则n 等于
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
考点二 等差、等比数列的性质
【例2】（1）在等差数列{}n a 中,87,3201918321=++=++a a a a a a ，则此数列前20项的和等于( ) A.290 B.300
C.580
D.600
（2）在等比数列{}n a 中,若45,43543252=+++-
=a a a a a a ，则=+++5
4321
111a a a a ( )
A.1
B.4
3-
C.3
5-
D.3
4-
（3）等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和T n ,若n n
S T =3221
n n -+,则77
a b 等于( )
A.3727
B.3828
C.3929
D.4030
应用等差、等比解题的思路：
1、解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.
2、（1）运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如：若,q p n m +=+则q p n m a a a a +=+(m,n,p,q ∈N*)；这一性质与求和公式2
)
(1n n a a n S +=
的综合应用； (2)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若
,q p n m +=+则q p n m a a a a ⋅=⋅(m,n,p,q ∈N*)，可以减少运算量,提高解题速度；
3、在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形，应牢固掌握等差、等比数列的性质。

此外,解题时注意设而不求思想的运用.
【类比训练】（1）在等差数列{}n a 中,若162106822
2=++a a a a a ，则64a a =________.
（2）数列{}n a 的各项都是正数,且数列{}n a 3log 是等差数列,若187465=+a a a a ,则
=+++1032313log log log a a a ( )
A.12
B.10
C.8
D.2+log 35
（3）等比数列{}n a 中,已知10,2087654321=+++=+++a a a a a a a a ，则数列{}n a 的前
16项和S 16为 ( ) A.20
B.
752
C.1252
D.-752
考点三 等差、等比数列的判断与证明
【例2】1、数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *
.证明:数列{
a n n
}是等差数列.
2、已知数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n ,且S n+1=2S n +n+1(n ∈N *).证明数列{a n +1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式.
1、证明数列{}n a 是等差数列的两种基本方法
(1)利用定义法：证明对任意正整数n 都有n n a a -+1等于同一个常数; (2)利用等差中项法:证明对任意正整数n 都有112+-+=n n n a a a . 2、证明数列{}n a 是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义法：证明
)(*1
N n a a n
n ∈+等于同一个不为零的常数; (2)利用等差中项法:证明对任意正整数n 都有112
+-⋅=n n n a a a 且数列{}n a 各项均不为0. 【类比训练】1、已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n -1(n≥2). (1)求证:数列{
1S n
}是等差数列,并求公差.
(2)求数列{a n }的通项公式.
2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5+a 6=24,S 11=143,数列{b n }的前n 项和为T n ,满足
112a T n a n -=-(n ∈N *).
(1)求数列{a n }的通项公式及数列{
1a n a n+1
}的前n 项和.
(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由.
总结:判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题
（1）判断一个数列是等差（等比）数列，还有通项公式法、前n 项和公式法，但不作为证明方法；
（2）若要判断一个数列不是等差（等比）数列，只需判断存在连续三项不成等差（等比）数列即可；
（3）),2(*112N n n a a a n n n ∈≥⋅=+-是{}n a 为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列
是等比数列时，要注意各项不为.
高考真题
1、（2019全国III 卷·T5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，
则3a =（ ） A. 16 B. 8
C. 4
D. 2
2、(2018·全国卷I 高考理科·T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )
A.-12
B.-10
C.10
D.12
3、(2017·全国乙卷理科·T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
4、(2017·全国丙卷·理科·T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }
前6项的和为 ( )
A.-24
B.-3
C.3
D.8
5、(2017·全国甲卷理科·T3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,
红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
1、（2019全国I 卷·T14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若6241,31a a a ==，则S 5= .
2、（2019全国III 卷·T14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10
5
S S = .
3、(2018·北京高考理科·T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .
4、(2018·全国卷I 高考理科·T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= .
5、(2017·全国甲卷理科·T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则11
n
k K
S
=∑
= .
6、(2017·全国丙卷·理科·T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .
7、（2019全国II 卷·T19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，
1434n n n b b a +-=-.
（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.
8、(2018·全国Ⅲ高考理科·T17) 等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式.
(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.。