人教A版数学高二选修2-2学案复习课(一)导数及其应用

复习课(一)导数及其应用

导数的概念及几何意义的应用

(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现．

(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．

[考点精要]

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，

利用k＝f(x1)－f(x0)

x1－x0

求解．

[典例] (全国卷Ⅱ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．

[解析]设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝e x－1＋x.

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝e x－1＋x.

∵当x＞0时，f′(x)＝e x－1＋1，

∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.

∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

[答案]2x－y＝0

[类题通法]

(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．

[题组训练]

1．曲线y＝

x

x＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为()

A．y＝2x＋1B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2

解析：选A ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2

＝2

(x ＋2)2

， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝

2

(－1＋2)2

＝2，

∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.

2．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.

解析：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1

x ， y ′

| x ＝1

＝2.

∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.

法一：∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.

法二：设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|

x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪

⎨⎪⎧

x 0＝－1

2，a ＝8.

答案：8

导数与函数的单调性

(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。

(2)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．

[考点精要]

函数的单调性与导函数值的关系

若函数f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )在(a ，b )任意子区间内部不恒等于0. f ′(x )＞0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )＜0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递减．

反之，函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇒f ′(x )≥0；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇒f ′(x )≤0.即f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是f (x )为增(减)函数的充分不必要条件．

[典例] 已知函数f (x )＝x ＋a

x

＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.

(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性并求出单调区间． [解] f ′(x )＝1－a

x

2.

(1)由导数的几何意义得f ′(2)＝3，即1－a

4＝3，

∴a ＝－8.

由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上，

得f (2)＝3×2＋1＝7，则－2＋b ＝7，解得b ＝9， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8

x ＋9(x ≠0)．

(2)当a ≤0时，显然f ′(x )＞0(x ≠0)， 这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 当x ＜－a 或x ＞a 时，f ′(x )＞0； 当－a ＜x ＜0或0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(－∞，－a )，(a ，＋∞)上是增函数， 在(0，a )，(－a ，0)上是减函数． [类题通法]

求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )．

(3)解不等式f ′(x )＞0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )＜0，得到函数f (x )的递减区间．

[提醒] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．