摄影测量的一些基本公式

摄影测量基本公式

1) 空间直角坐标变换

用像片上的点坐标解求相应地面点坐标时，在建立起各种空间直角坐标系的基础上，需要在两两不同的坐标系中进行坐标变换，由高等数学可知，空间直角坐标的变换是正交变换，一个坐标系按三个角元素顺次旋转即可变换为另一个同原点的坐标系。

设像点a 在像空间坐标系中的坐标为(x ，y ，-f )，而在像空间辅助坐标系中的坐标为(X ，Y ，Z )，两者之间的正交变换关系可以用下式表示：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡f y x c c c b b b a a a f y x R Z Y X 32

1

321321 R 是一个3⨯3的正交矩阵，由九个方向余弦组成。

1) 2) 像点与相应地面点之间的坐标关系

如图（8-7）O-XYZ 为选定的地面右手坐标系，地面

点A 与投影中心S 在此坐标系中的坐标分别为X, Y, Z 和X S , Y S , Z S ；A 在像片的构像a ，在像空间坐标系与像空间辅助坐标系中的坐标分别为(x, y, -f )和(X ’, Y ’, Z ’)，其中像空间辅助坐标系s-xyz 与地面坐标系O-XYZ 的相应坐标轴分别平行，由于s, a, A 三点位于一直线上，由图中各相似三角形关系可得

λ

1

'''=-=-=-s s s Z Z Z Y Y Y X X X

以矩阵表示为⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---'''Z Y X Z Z Y Y X X s s s λ 有由～式可得像点的像空间坐标系与像空间辅助坐标系的关系为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---f y x c c c b b b

a a a Z Z Y Y X X s s s 32

1

321

321

λ 上式的逆变换为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--s s s s s s Z Z Y Y X X c c c b b b

a a a Z Z Y Y X X R f y x 32

1

321321

111λλ 整理可得

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

-+-+--+-+--=-+-+--+-+--=)

()()()()()()

()()()

()()(333222333111S A S A S A S A S A S A S A S A S A S A S A S A Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f y Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f x

上式即为像点与物点中心投影构像方程。由于像点、投影中心和地面点三点共线，故又称共线条件方程式，此式是摄影测量中重要基本公式之一，应用十分广泛。

2) 空间后方交会

利用地面控制点来解算像片的外方位元素的工作称为空间后方交会。可以利用共线条件方程进行空间后方交会。

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

-+-+--+-+--=-+-+--+-+--=)

()()()()()()

()()()

()()(333222333111S A S A S A S A S A S A S A S A S A S A S A S A Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f y Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f x

其中，X, Y, Z 为地面控制点的地面测量坐标或地面摄影测量坐标，可用普通测量的方法得到，或通过坐标变换取得，x, y 为地面控制点的相应像点坐标，可量测得到。f 为摄影主距，已知。未知数为六个外方位元素。由于共线条件方程的严密关系式是非线性函数不便于计算机迭代计算，因此要将共线条件方程线性化，一般用台劳级数展开取至小一次项，

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=κκy

ωy Δy Z Z y Y Y y X X y (y)y κκx ωωx Δx Z Z x Y Y x X X x (x)x S S S S S S S S S S S S ωϕϕϕϕ 其中(x ), (y )为函数的近似值，可用未知数的初始值0

00000,,,,,κωϕS S S Z Y X 代入共线条件

方程得到。∆X S ,, ∆Y S ,, ∆Z S ,, ∆ϕ, ∆ω, ∆κ为外方位元素初始值的改正数，解算过程需反复迭代运算。

竖直摄影下的空间后交会公式：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧∆-∆+-∆-∆-∆-=∆+∆-∆+-∆-∆-=κ

ωϕκωϕx f y f f xy Z H y Y H f y y y f xy f x f Z H x X H f x x S S S S )1()()1()(22

2

2 这就是后方交会的实用公式，计算时至少需三个地面控制点，每个控制列两个方程，从

而解算出6个外方位元素，若有多余控制点时，把像点坐标作为观测值，可把控制点坐标作为真值，列误差方程，按最小二乘法平差计算。误差方程式为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧-∆-∆+-∆-∆-∆-=--∆+∆-∆+-∆-∆-=-y

S S y x S S x l x f y f f xy Z H y Y H f V l y f xy f x f Z H x X H f V κωϕκωϕ)1()1(22

2

2 式中，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--+=-=--+=-=)()()()(1

1s y s x X X a f y y y l X X a f x x x l

写成矩阵形式：V=AX-L 相应法方程式：A T AX=A T L 解：X=(A T A)-1A T L 3) 空间前方交会：

如图8-8，过左右摄站点分别做像空

间辅助坐标系S 1-X 1Y 1Z 1和S 2-X 2Y 2Z 2，使它们的坐标轴与地面上选定的一空间坐标系D-XYZ 的相应坐标轴平行。地面

任意点A 和左右投影中心S 1与S 2在地面上的空间直角坐标系中的坐标分别为X A ，Y A ，Z A 、X S1，Y S1，Z S1和X S2，Y S2，Z S2。像点a 1和a 2为A 点在左右像片上的构像，在各自像空间辅助坐标系中的坐标为X 1，Y 1，Z 1和X 2，Y 2，Z 2，A 在左片像空间辅助坐标系S 1-X 1Y 1Z 1中的坐标为X A -X S ，Y A -Y S ，Z A -Z S ，从而有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-=-=-==-=-=-=222

22222

221

11

11111

11N Z Z Z Y Y Y X X X a S A S N Z Z Z Y Y Y X X X a S A S S A S A S A S A S A S A