第三章 模态参数辨识的频域方法

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Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
将上式分子，分母各除以bn，且令
则
其中dn=1。 我们用FFT分析仪进行频响函数测量，则s=jw。上式可进一步表示为
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• 阻尼比 g 或
r
r
的确定
• 用半功率带宽来确定
r b a
• 结构阻尼系统阻尼比系数
g r r 或 gr
b a r
• 粘性阻尼系统阻尼比系数
r
r 2 或
r
b a
2 r
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Hale Waihona Puke Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
I
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– 模态质量的确定 – 分量分析法的特点
• • • • • •
Mr
Kr
r2
简单方便，许多信号分析仪有实虚频图分析能力； 当模态密度不高时，有一定的精度； 峰值有误差时，直接影响辨识精度； 模态密集时，用半功率带宽确定模态阻尼，误差较大； 模态密集时剩余模态不能用复常数表示，辨识精度受影响； 图解法受图解精度的影响。
即
K r K er
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– 模态质量 M r K r / r2 – 多自由度多模态情况
• 导纳圆有多个，不一定是整圆； • 根据各段圆弧拟合各导纳圆； • 如图有三个模态的固有频率。
– 模态阻尼
• 根据导纳圆几何关系即可求出
gr
2 1 r
tan
2
1
2
tan
2
2
– 模态刚度
• 取原点频响函数 • 对原点归一化：pr 1 • 求出原点导纳圆半径后由
K er 1 2 ( R pp ) r g r
此时有
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1 / K er pr pr / K r 1 / K r
• 为使误差对系数ck，dk线性化，对上式进行变换得
• 定义总方差为
• 式中E=(e-L 、… e-1， e1， … eL)T，角标H表示共轭转置。 • 可见，误差向量E可表示为
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正交多项式曲线拟合
– 基本思想
• 计算机方法 • 构造多项式传递函数
H lp ( s ) N (s) D (s) a 0 a1 s a 2 s a m s
2 m
n＝2N m=n-2 s=jw
b0 b1 s b 2 s bn s
2
n
• • • •
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测得L个频率点的频响函数 构造理论值和测量频率点值的误差 使误差值最小求得多项式的系数 得到拟合的频响函数
• 主模态：当趋于某阶模态的固有频率时，该模态起主要作用 此时起主要作用的模态成为主导模态，或叫主模态。 • 主模态附近频响函数
– 若模态密度不很大，各阶模态比较远 – 则其余模态频响函数在该主模态附近较小，且几乎不随频率变化 – 因此在第r阶模态附近可用剩余模态表示频响函数
2 1 1r gr R I H lp ( ) j (H C H C ) 2 2 2 2 2 2 K er (1 r ) g r (1 r ) g r 2 1 1r R H ( ) HC 2 2 2 K er (1 r ) g r R lp
ds max
dω
– 模态振型
p点激励l点响应的位移导纳虚部的大小为导纳圆直径； 由各测点导纳圆半径组成的归一化向量组成。
pr
Kr gr
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lp r
2 R lp r
l 1, 2 ,3, , L
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导纳圆辨识方法
• 基本方法
• 在共振峰值附近取6－10个频率点； • 用它们拟合Nyquist导纳圆图； • 拟合方法是理论圆上的数值与实测值之间的误差最 小； • 根据导纳圆特点辨识模态参数； • 相邻模态耦合较松忽略剩余模态时多自由度系统第r 阶模态附近可按单自由度处理，近似公式如下：
• 对激励点归一化的振型
pr 1
H
I lp
( 1)

r

1 Kr gr
r
pr
1
– 模态刚度的确定
• 取原点频响函数且对原点归一化
H
I pp
( r 1)
pr pr
Kr gr

1 Kr gr
• 模态刚度
Kr 1 H pp ( r 1) g r
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• 分量分析法 • 将频响函数分成实部风量和虚部分量进行 分析。
– 基本公式和主模态概念
• N自由度结构系统结构，p点激励l点响应的实模态频 响函数
– 导纳圆方法的优缺点
• • • • • • 不仅利用频响函数峰值信息； 同时利用附近很多点的信息； 没有峰值信息也可求出固有频率； 此法任建立在主模态基础之上，模态密集时误差较大； 精度受图解精度限制； 许多仪器都能显示导纳圆图。
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极点：令分母多项式为零，此时的s为极点 由极点可求的固有频率和阻尼比
* Alpr Alpr H lp ( s ) * s sr r 1 s s r N
模态参数辨识的频域方法
张永强
高级工程师
靖江泰斯特电子有限公司 西北工业大学 振动工程研究所
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• 分析分量法 • 导纳园识别方法
• 正交多项式曲线拟合
由于Hj的表达式中，其分母含有待辨识的固有频率与模态 阻尼比，因而εi按其本质来说，对待辨识的参数是非线性 的。假若我们构造一个误差函数ej，使ej与待识别参数成 线性关系，进而进行最佳搜索，则为线性优化方法，本节 所述即为线性优化方法之一。
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一、频响函数的有理分式多项式由式 由式 ，传递函数矩阵H(s)可表示如下： ① 阻抗矩阵Z（s）的阶次为NxN，其中第i行，第j列的元素Zij为 可见阻抗矩阵Z（s）的行式列的展开式中s的最高次n=2N，可表达如 下 ①式中的adjZ（s）为Z（s）的伴随矩阵，即Z（s）的代数余子式矩阵 的转置矩阵。其元素s的最高阶次m将比n少2.因此传递函数矩阵中第l 行，第p列的元素为
H lp ( ) 1 K er (1 r jg r )
2
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– 固有频率
圆上使 s / 具有最大值的点
1时，
二、以正交多项式分别对分子、分母进行曲线拟合 若被拟合的测髦频率点数为L，引入负频率概念，使ω为ω-L 、… ω-1， ω1， … ωL，共2L－个频率点，且令
对频响函数的实验值以
~ H lp ( j )
表示，则
为书写方便，省去角标lp，引人理论模型值与测量值之间误差
ei
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H lp ( )
K er

N
r 1
2 1 1r gr j 2 2 2 2 2 2 K er (1 r ) g r (1 r ) g r
Kr
lr pr
r /r
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等效刚度 与测点与激励点有关
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H lp ( )
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1 gr I HC 2 2 2 K er (1 r ) g r
剩余模态的实部 与虚部
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1r 2 r Lr L 1
• 单点激振时
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pr
Krgr
为常数，所以上式即为模态振型。
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留数（振型）：
Alpr N (s) D ( s )
s sr
Alpr
*
N (s) D ( s )
s sr
*
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正交多项式曲线拟合 参数辨识的关键间题是如何使频响函数的实测值与理论值 之间的总方误差最小，即进行搜索，寻找一个使目标函数 最小的最优值。若第j个频率点ωj处的频响函数值以Hj表示 ~ ，而实测到的值用 H j 表示，则误差εi可表示如下：
– 模态振型的确定
• 对 r
1 主模态（不含剩余柔度）
I lp
H ( r 1)
lr pr
Kr gr
• 测出L个测点的
H lp ( r 1) 值（l＝1，2，3，…，L）
I

H 1Ip ( 1) I pr H 2 p ( 1) I H lp ( 1) r Kr gr I H Lp ( 1) L 1
• 实频图与虚频图
• • • • 剩余模态与频率无关 在实频图和虚频图上相 当于将横坐标平移一距离 此平行线又名剩余柔度线
– 模态参数的确定
• 固有频率的确定
– – – – –
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实频线与剩余柔度线交点确定 虚频线的峰值确定 峰值较尖，确定容易 剩余柔度尺寸无影响 因此用虚频峰值确定更好
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