三力平衡

一、数学基础
1.单位圆的半径是1，θsin 是动态的半径在横坐标轴上的投影，θcos 是变化的半径在横坐标轴上的投影，四个顶点坐标分别是)1-,0()0,1-()1,0()0,1(、、、，代表了θsin 与θcos 的取值范围（上下限），即在πθ≤≤0范围内，
1cos 1-≤≤θ，1in 0≤≤θs ，且不能同时取到，因为根据勾股定理，可得1sin cos 2
2
2
==+r θθ，对任意角都成立，还有θθθcos /sin tan =和
θθθsin cos 22sin =（或2
cos
2
sin
2sin θ
θ
θ=，
2
cos
/2
sin
2
tan
θ
θ
θ
=，2
cos
2
sin
2sin θ
θ
θ=，
2222sin 2-11-cos 2sin cos 2cos θθθθθ==-=，θ
θ
θθθθθ2
22tan 1tan 2sin cos sin cos 22sin +=+=
，θ
θ
θθθθθ222222tan 1tan 1sin cos sin cos 2co +-=
+-=s ） 令单位圆的半径是1=r ，坐标),(y x P ，由r y =θsin 和r
x
=θcos ，得θcos =x 和θsin =y ，即)sin ,(cos θθP .
随着θ增大，y 先增大后减小，x 一直减小；即θsin 先增↑后减↓，或θcos 一直减↓； 2.三角函数的单调性 当2
0π
θ≤
≤时，随着θ增大，y 增大，x 减小，即↑θ，↑θsin ，↓θcos ；
θsin =y 从0到1，而θcos =x 从1到0；
反之，随着θ减小，y 减小，x ，即↓θ，↓θsin ，↑θcos .
当
πθπ
≤≤2
时，随着θ增大，y 减小，x 减小，即↑θ，↓θsin ，↓θcos ；
θsin =y 从1到0，而θcos =x 从0到-1；
反之，随着θ减小，y 增大，x 增大，即↓θ，↑θsin ，↑θcos . 结论：随着θ增大，y 先增大后减小，即θsin 先增↑后减↓；
随着θ增大，x 一直减小，即θcos 一直减↓； 3正弦定理和拉密定理
1θ是力32F F 、
的夹角，2θ是力31F F 、的夹角，3θ是力21F F 、的夹角，矢量的夹角与三个力放在一个三角形里的边的夹角互补，故而余弦定理对于矢量和标量是有区别的，因为
θθπcos )cos(-=-，不像正弦定理那样等价，θθπsin )sin(=-，其它θθθπcos )cos()2cos(=-=-、θθθπsin )sin()2sin(-=-=-.
（1）正弦定理
2
2
1133sin sin sin θθθF F F =
=
（2）拉密定理
γ
βαsin sin sin 3
21F F
F ==
由于原来的矢量夹角321θθθ、、分别变成补角321θπθπθπ---、、，
但θθπsin )sin(=-，使得正弦定理和拉密定理的实质是一样的。

（如同三角形定则和平行四边形定则是相同的）
二、应用例题
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的一般思路是：把
“动”化为“静”，“静”中求“动”。

根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。

方法一：三角形图解法。

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。

然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例1.1 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角β
缓慢增大，问：在此过程中，
挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
解法一：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。

F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。

F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。

由此可知，F 2先减小后增大，F 1随β增大而始终减小。

解法二：由拉密定理得
)
sin()sin()sin(1
2βααπβπ+=
-=-F F G 化简为
)
sin(sin sin 1
2βααβ+==F F G 图1-2
β
α
G
F 1
F 2 F 1
G
F 2
图1-3
一直减小。

减小减小，则增大，随着时当减小减小，则增大，随着时当，
1221;cot ,2;
cot ,2
)cos cot (sin )cos sin cos sin (sin sin cos cos sin sin )sin(F F F G G G
G F ββπ
βββπ
βαβααββαββ
αβαββα>
<+=+=+=+=先减小后增大。

增大；减小，则增大，随着时当有最小值，时当减小也增大，则增大，随着时不变，当，22min 2222sin ,2
;sin ,
2
;sin ,2sin sin F F G F F F G F ββπ
βαπβββπβαβα>
==<=
方法二：相似三角形法。

特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例2．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示。

现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( ) A ．F N 先减小，后增大 B .F N 始终不变 C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变
解析：取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA 相似，利用相似三角形对应边
A F
B O θ 图2-1 A F B O θ
G
F N F
L l H
图2-2
成比例可得：(如图2-2所示，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长l ,)
l
F L F H
G N ==，式中G 、
H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小。

正确答案为选项B
同种类型：如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地
面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程
中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( D )。

(A)N 变大，T 变小 (B)N 变小，T 变大
(C)N 变小，T 先变小后变大 (D)N 不变，T 变小
方法三：作辅助圆法 特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。

②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

例3、如图3-1所示，物体G 用两根绳子悬挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时顺时针转过
90°，且保持两绳之间的夹角α不变)90(0>α，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA 的拉力为F 1，绳OB 的拉力为F 2，则（ ）。

(A)F 1先减小后增大
(B)F 1先增大后减小 (C)F 2逐渐减小 (D)F 2最终变为零
解析：取绳子结点O 为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F 1、F 2、F 3，将三力构
成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE)，需满足力F 3大小、方向不变，角∠ CDE 不变(因为角α不变)，由于角∠DCE 为直角，则三力的几何关系可以从以DE 边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。

由此可知，F 1先增大后减小，F 2随始终减小，且转过90°时，当好为零。

正确答案选项为B 、C 、D
A B α O G 图3-1 A B α O G
F 1 F 2 F 3 图3-2
F 1 F 2 F 3
C D E
D D D 图3-3
A C
B O 图2-3
另一种类型：如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M 、N 两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O 点，此时α+β= 90°．然后保持M 的读数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ A ）。

(A)减小N 的读数同时减小β角 (B)减小N 的读数同时增大β角
(C)增大N 的读数同时增大β角
(D)增大N 的读数同时减小β角 βα
α
βαα
ββαsin sin sin )(sin sin sin )(sin ON
OM
ON
ON
OM F F F F F
F F ==+==+合
合
方法四：解析法
特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。

当受力动态变
化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。

例4．如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N ，绳长L =2.5m ，OA =1.5m ，求绳中张力的大小，并讨论： （1）当B 点位置固定，A 端缓慢左移时，绳中张力如何变化？ （2）当A 点位置固定，B 端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？
解析：取绳子c 点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F 1、F 2、F 3，延长绳AO 交竖直墙于D 点，由于是同一根轻绳，可得：21F F =，BC 长度等于CD ，AD 长度等于绳长。

设
图4－1 A B C G O A B C G D F 1 F 2 F 3 O θ 图4－2 A B C G
D F 1 F 2 F 3
O θ A ′ D ′ 图4－3 A B
C
G D F 1 F 2 F 3 O
θ C ′ B ′ 图4－
4 M
N O α β
图3-4
角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：
θsin
21G F =
；在三角形AOD 中可知，AD
OD
=θsin 。

如果A 端左移，AD 变为如图4－3中虚线A ′D ′所示，可知A ′D ′不变，OD ′减小，θsin 减小，F 1变大。

如果B 端下移，BC 变为如图4－4虚线B ′C ′所示，可知AD 、OD 不变，θsin 不变，F 1不变。

同种类型：如图4－5所示，长度为5cm 的细绳的两端分别系于竖立地面上 相距为4m 的两杆的顶端A 、B ，绳子上挂有一个光滑的轻质钩，其下端连着 一个重12N 的物体，平衡时绳中的张力多大？
4.相似三角形法分析动态平衡问题：
（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例4：如图所示，在半径为R 的光滑半球面上高为 h 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化。

5.平衡方程式法：平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有
一个恒力，通过它能够建立恒定不变的方程式。

根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。

1.所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大）
2.人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是（ ） （A ）绳的拉力不断增大 （B ）绳的拉力保持不变
（C ）船受到的浮力保持不变
θ
图1-4
F
（D ）船受到的浮力不断减小
3．如图所示 质量为m 的小球被三根相同的轻质弹簧a 、b 、c 拉住，c 竖直向下a 、b 、c 三者夹角都是120°，小球平衡时，a 、b 、c 伸长的长度之比是3∶3∶1，则小球受c 的拉力大小为 （ ）
A ．mg
B ．0.5mg
C ．1.5mg
D ．3mg
4．如图所示．物体处于平衡状态，若保持a 不变，当力F 与水平方向夹角β多大时F 有最小值
（ ）
A ．β＝0
B ．β＝
2
C ．β＝α
D ．β＝2α
5．如图所示一条易断的均匀细绳两端固定在天花板的A 、B 两点，今在细绳O 处吊一砝码，如果
OA ＝2BO ，则 （ ）
A ．增加硅码时，AO 绳先断
B ．增加硅码时，BO 绳先断
C ．B 端向左移，绳子易断
D ．B 端向右移，绳子易断
6．图所示，A 、A ′两点很接近圆环的最高点．BOB ′为橡皮绳，∠BOB ′＝120°，且B 、B ′与OA 对称．在点O 挂重为G 的物体，点O 在圆心，现将B 、B ′两端分别移到同一圆周上的点A 、A ′，若
要使结点O 的位置不变，则物体的重量应改为 A ．G B ．
2
G C ．
4
G
D ．2G 7．长为L 的轻绳，将其两端分别固定在相距为d 的两坚直墙面上的A 、B 两点。

一小滑轮O 跨过绳子下端悬挂一重力为G 的重物C ，平衡时如图所示，求AB 绳中的张力。

8．如图所示，质量为m ，横截面为直角形的物快ABC ，∠ABC ＝α，AB 边靠在竖直墙上，F 是垂直于斜面BC 的推力，现物块静止不动，求摩擦力的大小。

2．如图，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA 使连结点A 向上移动而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时（ ） A ．绳OA 的拉力逐渐增大 B ．绳OA 的拉力逐渐减小 C ．绳OA 的拉力先增大后减小
D ．绳OA 的拉力先减小后增大
3．如图，用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上，当绳伸长时（ ） A ．绳的拉力变小，墙对球的弹力变大 B ．绳的拉力变小，墙对球的弹力变小 C ．绳的拉力变大，墙对球的弹力变小 D ．绳的拉力变大，墙对球的弹力变大
4．如图，均匀光滑的小球放在光滑的墙壁与木板之间，图中
30=θ，当将θ角缓慢增大至接近 90的过程中（ ）
A ．小球施于木板的压力不断增大
B ．小球施于墙的压力不断减小
C ．小球对墙壁的压力始终小于mg
θ
A
O
D ．小球对木板的压力始终大于mg
5．在共点力的合成实验中，如图，使弹簧秤b 按图示
的位置开始顺时针
方向缓慢转
90角，在这个过程中，保持O 点位置不动，a 弹簧秤的拉伸方向不变，则整个过程中关于a 、b 弹簧的读数变化是（ ）A ．a 增大，b 减小B ．a 减小，b 减小C ．a 减小，b 先减小后增大D ．a 先减小后增大
能力提高题
6．如图，一个均质球重为G ，放在光滑斜面上，倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球。

使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：此过程中，球对挡板和球对斜面的压力如何变化？
α
β
7．如图，小球被轻质绳系着，斜吊着放在光滑劈上，球质量为m ， 斜面倾角为θ，在水平向右缓慢推动劈的过程中（ ） A ．绳上张力先增大后减小 B ．绳上张力先减小后增大 C ．劈对球的支持力减小
θ
D ．劈对球的支持力增小
8．如图，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，别一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙的水平横杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置，然后改变F 的大小，使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平力F 、环与横杆的摩擦力f 和环对杆的压力N 的变化情况是（ ）
A ．F 逐渐增大，f 保持不变，N 逐渐增大
B ．F 逐渐增大，f 逐渐增大，N 保持不变
C ．F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小
D ．F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变
思考：3重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？
参考答案：
F F
F 1 F 2 G。