三力平衡问题的几种求解方法
动态平衡中的三力平衡
动态平衡中的三力问题方法一：三角形图解法。
特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。
方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。
然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。
例 1.1 如图 1 所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。
今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。
因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。
F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。
F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3 中一画出的一系列虚线表示变化的F2。
由此可知，F2先减小后增大，F1 随增大而始终减小。
同种类型：例1.2 所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大）方法二：相似三角形法。
特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变， 其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到 力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相 连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的 性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问 题进行讨论。
三力平衡方法汇总
三力平衡一、方法示例:1．如图所示，质量不计的AB杆可绕A端的轴在竖直面内转动，B端用细绳BC吊住，杆处于水平方向，BC绳与杆的夹角为30°，在杆B端挂一重100N的物体．求BC对杆的拉力F T和杆AB所受的力F的大小．2．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为θ=60°．求两小球的质量比。
3．用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示，已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和45°，则ac绳和bc绳中的拉力4.半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，此时球到滑轮距离为L。
求半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T5．如图所示，不均匀的直细杆AB长1m，将它的两端用两根细绳拴住吊在两竖直墙上，当AB在水平方向平衡时，细绳AC与竖直方向的夹角θ1=60°，细绳BD与竖直方向的夹角为θ2=30°．求AB杆的重心距B端的距离．二、练习1．如图所示，一个重为G 的小环套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上，一个劲度系数是k 、自然长度为L （L <2R ）的轻质弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点．求小环处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角．（可以用三角函数表示）2．如图所示，两竖直墙壁间间距为3m ，一根不可伸长的长为5m 的柔软轻绳左右两端分别系于A 、B 两点，一质量为20KG 的物体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时求绳中张力。
3．用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳a 和水平轻绳b 共同固定一个小球，这时绳b 的拉力为F1。
三力平衡的求解方法
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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力的三角 形法
物体受三个力作用，将这三个力的矢量箭头首尾 相接，构成一个闭合三角形，利用三角形定则， 根据正弦定理、余弦定理或矢量三角形与几何三 角形相似等数学知识可求解。
题型：三力平衡问题
例1.如图所示，在倾角为α的斜面上，
放一质量为m的小球，小球被竖直
的木板挡住，不计摩擦，则球N1 ＝mgtan α，
球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.所以B正确．
解法三：(按力的作用效果分解)：
将重力G按效果分解图丙中所示的两分力G1和G2 解三角形可得： FN1＝G1＝mgtan α
球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.
解法四：(三角形法则)： 所受三个力经平移首尾顺次相接，一定能 构成封闭三角形． 由三角形解得： FN1＝mgtan α，
A．mgcos α
B．mgtan α
C. mg
D．mg
cosα
【思路点拨】先对小球进行正确的受力分析，并画出 受力示意图，然后将某些力分解或合成，最后列平衡 方程求解．
解法一：(正交分解法)： 列平衡方程为FN1＝FN2sin α mg＝FN2cos α
可得：球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtanα，所以B正确．
三力平衡的几种求解方法
．
解决三共点力平衡问题常用的方法
方法 正交分解
法 合成法
分解法
内容
将处于平衡状态的物体所受的力，分解为相互正 交的两组，每一组的力都满足二力平衡条件
物体受三个力的作用，任意两个力的合力与第三 个平衡 ．
将某一个力按力的效果进行分解，则其分力和其 它力在所分解的方向上满足平衡条件．
高三物理求解平衡问题的九种方法
求解平衡问题的九种方法一、力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，如此任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反;“力的合成法〞是解决三力平衡问题的根本方法.例1如图1甲所示，重物的质量为m ,轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端固定，平衡时AO 水平,B0与水平面的夹角为θ，AO 拉力1F 和BO 拉力2F 的大小是 () A 、1F mg = B.1cot F mg θ= C.2sin F mg θ= D.2sin mgF θ=解析 根据三力平衡特点，任意两个力的合力与第三个力等大反向，可作出图1所示矢量图，由三角形知识可得1cot F mg θ=，2sin mgF θ=.所以正确选项为BD二、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解:0x F =合,0y F =合.为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原如此.例2 如图2甲所示，不计滑轮摩擦,A B 、两物体均处于静止状态.现加一水平力F 作用在B 上使B 缓慢右移，试分析B 所受力F 的变化情况.解析 对物体B 受力分析如图2所示，建立如图直角坐标系，在x 轴上有cos 0f A x F F F F θ=--=合①在y 轴上有sin 0N A B y F F F G θ=+-=合②又f N F F μ=③联立①②③得(cos sin )A B F F G θμθμ=-+. 可见，随着θ不断减小，水平力F 将不断增大. 三、整体法与隔离法整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法;当只涉与研究系统而不涉与系统内部某些物体的受力和运动时，一般可采用整体法.隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(连接体)系统中隔离出来进展分析的方法，其目的是便于进一步对该物体进展受力分析，得出与之关联的力.为了研究系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况时，通常可采用隔离法.一般情况下，整体法和隔离法是结合在一起使用的.例3有一直角支架AOB ，AO 水平放置，外表粗糙，OB 竖直向下，外表光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如下列图，现将P 环向左移一小段距离，两环再将达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比拟，AO 杆对P 环的支持力N F 和细绳拉力T F 的变化情况是：〔 〕 A 、N F 不变、T F 变大 B 、N F 不变、T F 变小 C 、N F 变大、T F 变大D 、N F 变大、T F 变小解析采取先“整体〞后“隔离〞的方法.以P 、Q 、绳为整体研究对象，受重力、AO 给的向上弹力、OB 给的水平向左弹力.由整体处于平衡状态知AO 给P 向右静摩擦力与OB 给的水平向左弹力大小相等;AO 给的竖直向上弹力与整体重力大小相等.当P 环左移一段距离后，整体重力不变，AO 给的竖直向上弹力也不变.再以Q 环为隔离研究对象，受力如图3乙所示，Q 环所受重力G 、OB 给Q 弹力F 、绳的拉力T F 处于平衡,P 环向左移动一小段距离的同时T F 移至'T F 位置，仍能平衡，即T F 竖直分量与G 大小相等，T F 应变小，所以正确答案为B 选项. 四、三角形法对受三力作用而平衡的物体，将力矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观，容易判断.如图4甲，细绳AO 、BO 等长且共同悬一物，A 点固定不动，在手持B 点沿圆弧向C 点缓慢移动过程中，绳BO 的张力将 () A 、不断变大 B 、不断变小 C 、先变大再变小 D 、先变小再变大解析 选0点为研究对象，受F 、A F 、B F 三力作用而平衡,此三力构成一封闭的动态三角形如图4乙.容易看出，当B F 与A F 垂直即090αβ+=时，B F 取最小值，所以D 选项正确. 五、相似三角形法物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图申的几何三角形相似，进而力三角形与几何三角形对应成比例，根据比值便河计算出末知力的大小与方向.例5 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图5所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，如此此过程中小球对半球的压力大小N F 、细线的拉力大小T F 的变化情况是 ()A 、N F 不变、T F 不变 B.N F 不变、T F 变大 C ，N F 不变、T F 变小 D.N F 变大、T F 变小解析 小球受力如图5乙所示，根据平衡条件知，小球所受支持力'N F 和细线拉力T F 的合力F 跟重力是一对平衡力，即F G =.根据几何关系知，力三角形'N FAF 与几何三角形COA 相似.设滑轮到半球顶点B 的距离为h,线长AC 为L ，如此有'N T F F G RR hL==+,由于小球从A 点移向B 点的过程中，G R h 、、均不变,L 减小，故'N F 大小不变，T F 减小.所以正确答案为C 选项.六、正弦定理法正弦定理:在同一个三角形中，三角形的边长与所对角的正弦比值相等;在图6中有sin sin sin AB BC CAC A B ==同样，在力的三角形中也满足上述关系，即力的大小与所对角的正弦比值相等.例6 不可伸长的轻细绳AO 、BO 的结点为0，在0点悬吊电灯L ，OA 绳处于水平，电灯L 静止,如图图7甲所示，保持0点位置不变，改变OA 的长度使A 点逐渐上升至C 点，在此过程中绳OA 的拉力大小如何变化?解析 取0点为研究对象，0点受灯的拉力F(大小等于电灯重力G)、OA 绳的拉力1T 、OB 绳的拉力2T ,如图7乙所示.因为三力平衡，所以1T 、2T 的合力'G 与G 等大反向.由正弦定理得1sin sin T G θα=,即1sin sin G T θα=,由图知θ不变,α由小变大, α增大到090后再减小，所以据1T 式知1T 先变小后变大，当090α=时，1T 有最小值. 七，拉密原理法拉密原理:如果在三个共点力作用下物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力所夹角的正弦成正比.在图8所示情况下，原理表达式为312123sin sin sin F F F θθθ==例7 如图9甲所示装置，两根细绳拉住一个小球，保持两绳之间夹角θ不变;假设把整个装置顺时针缓慢转动090，如此在转动过程中，CA 绳拉力1T F 大小的变化情况是，CB 绳拉力2T F 大小的变化情况是 .解析 在整个装置缓慢转动的过程中，可以认为小球在每一位置都是平衡的.小球受到三个力的作用，如图9乙所示，根据拉密原理有12sin sin sin T T F F G βαθ==,由于θ不变,α由090逐渐变为0180，sin α会逐渐变小直到为零，所以2T F 逐渐变小直到为零;由于β由钝角变为锐角，sin β先变大后变小，所以1T F 先变大后变小. 八、对称法研究对象所受力假设具有对称性，如此求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算，或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形.所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性.例8 如图10甲所示，重为G 的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成θ角，试求;(1)链条两端的张力大小. (2)链条最低处的张力大小.解析 (1)在求链条两端的张力时，可把链条当做一个质点处理.两边受力具有对称性使两端点的张力F 大小相等，受力分析如图10乙所示.取链条整体为质点研究对象.由平衡条件得竖直方向2Fsin =G θ，所以端点张力为GF=2sin θ(2)在求链条最低点张力时，可将链条一分为二，取一半研究，受力分析如图10丙所示，由平衡条件得水平方向所受力为'cos cos cot 2sin 2G G F F θθθθ===即为所求.九、力矩平衡法力矩平衡:物体在力矩作用下处于静止或匀速转动状态时，所受力矩达到平衡·力矩平衡条件:一般规定逆时针方向的力矩为正设为1M ，顺时针方向的力矩为负设为2M ，如此力矩平衡条件为120M M +=.例9 如图1l,AC 为竖直墙面，AB 为均匀横梁其重力为G ，处于水平位置;BC 为支撑横梁的轻杆，它与竖直方向的夹角为α，A B C 、、三处均用铰链连接，如此轻杆BC 所承受的力为多大?解析 以轻杆BC 为研究对象，由三力汇交原理可知，横梁AB 对它的作用力一定沿着轻杆BC.再以横梁AB 为研究对象，受力分析如图11所示，由力矩平衡可得cos 2AB GN AB α=,所以有2cos G N α=由牛顿第三定律可得，轻杆BC 所承受的力为'2cos G N N α==。
三力平衡计算
2mg tan k
mg tan k
2
A.
B.
C.
D.
2mg tan k
2
解析： 取A球为研究对象,受力分析如图示
因A球静止 F合=0 则
F mg tan kx 2解得： x 来自mg tan k
2
为N.下列关系正确的是（ A
mg A.F= tan
mg tan
） B.F =mgtanθ
C.N=
D.N =mgtanθ
解析：小滑块受力分析如图示
因小滑块静止 F合=0 则 Nsinθ= mg
Ncosθ= F 所以 F mg tan
N mg sin
练习4、如图所示, 完全相同的A、B两球,质量均 为m,用两根等长的细线悬挂在O点,两球之间夹着 一根劲度系数为k的轻弹簧,静止时,弹簧处于水 平方向,两根细线之间的夹角为θ,则弹簧的长度 被压缩了（ C ）
F dR N R F dR T L R mg 解得： N dR L T mg d R
T N
mg
练习3、（2009·山东理综·16）如图所示, 光滑半球形容器 固定在水平面上,O为球心,一质量为m的小滑块,在水平力F的作
用下静止于P点(OP与水平方向的夹角为θ).设滑块所受支持力
练习1、(2009·泰安市三模)如图所示,小球在水平推 力F的作用下静止在固定的光滑斜面上,已知小球重力 为G,斜面倾角为θ,则斜面对小球弹力大小为（ AB ）
A.
G2 F 2
B.Gcosθ +Fsinθ D.Fsinθ
C.Gcosθ
解析：受力分析如图示
因球静止，F合=0 则
三力平衡的四种解法
三力平衡的四种解法处理三个力的平衡时，有四种解法。
（一）分解法：（二）合成法：（三）三角形法：（四）正交分解法：三个共点力作用于物体使之平衡时，这三个力首尾相连，围成一个封闭的三角形.如有直角直接解直角三角形;如已知角用正余弦定理;如已知边,用力组成的三角形与边组成的三角形进行相似比。
例如图所示，一粗细不均匀的棒长L=6m，用轻绳悬挂于两壁之间，保持水平，已知α=450，β=300，求棒的重心位置。
解：三力平衡必共点，受力分析如图所示。
由正弦定理得：由直角三角形得：（三）有的多个力的平衡转化成三力的平衡求解：先把同一直线上的力先求和，后只剩下三个力的平衡，再求解。
例一重量为G的小环套在竖直放置的、半径为R的光滑大圆环上，一个倔强系数为k、自然长度为L（L<2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点。
在不计摩擦时，静止的弹簧与竖直方向的夹角θ是多大？解：由三角形相似有由正弦定理有小结：（1）由分析得出弹簧是伸长的。
（2）同时用相似与正弦定理。
如图所示,一粗细不均匀的棒,棒长AB=6m,用轻绳悬挂于两壁之间,保持水平,已知α=45°, β=30°.求棒的重心位2010-11-16 12:24提问者：丶埘绱丿|悬赏分：20 |浏览次数：441次绳与壁的夹角为a b2010-11-16 17:07最佳答案设A、B端绳子的拉力分别为F1、F2。
重心距A为L,由水平方向受力平衡得：F1sin45°=F2sin30°以A端为支点，由杠杆平衡条件得：F2cos30°*AB=G*L再以B为支点，由杠杆平衡条件得：F1cos45°*AB=G*（AB-L)联立可求出L=3(3-√3)=3.8米在很多教学参考书和学习指导书中都能看到这样一个题目：一个质量为m的小环套在位于竖直平面内半径为R的光滑大圆环上．有一个劲度系数为k、自然长度为L（L＜2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点，如图1所示．当小环静止时，弹簧处于伸长还是压缩状态？弹簧与竖直方向的夹角θ是多少？一般书中都有答案：弹簧伸长．（kＬ）／（2（kＲ－ｍｇ））．图1 图2以上答案的求解过程如下：如图2所示，用“穷举法”可以证明，弹簧对小环的弹力只可能是向里的，即弹簧必定伸长．根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，即图中弹簧拉力T在重力mg和大环弹力N所夹角的角平分线上．所以计算可得N=mg，①T=2mgcosθ．②另外，根据胡克定律有T=k（2Rcosθ-L），③根据以上各式可得cosθ=（kL／2（kR-mg））．二、发现的问题到此似乎题目已经解决了，但是再仔细一想却发现了新的问题．因为cosθ的取值范围是－1≤cosθ≤1．而上面cosθ的表达式中，由于各个参数k、L、R、m等可以独立变化取不同的值（只要满足L＜2R），因此表达式右边的值完全可能超出cosθ的值域，例如当m较大时（或L较大，或R、k较小，它们的效果是一样的），完全可能大于1，此时上式cosθ无解．（当m更大时甚至还可能是负的，θ也许有解，但这意味着θ是个钝角，显然也不符合实际．）但是，我们知道，无论m多大，小环必定会有一个平衡位置，θ必定会有一个确定的解，因此上面的解答必定是一个不完整的解．那么完整的解是怎样的呢？令cosθ=1，即θ=0得kL=2（kR－mg），即mg=（1／2）k（2R－L），这是一个重要的临界值．由cosθ的表达式可知，m越大，cosθ也越大，θ角就越小．当mg＜（1／2）k（2R－L）时，θ＞0，小环不在大环的最低点；随着m的逐步变大，θ逐步变小，当mg=（1／2）k（2R －L）时，θ=0，小环恰好降低到大环的最低点；以后随着m的再进一步变大，小环的位置不会再变化了（哪怕m增大到使cosθ的表达式变为负的）．由此可见，θ（或者cosθ）的表达式应该是“分段函数”，cosθ＝（kL）／（2（kR-mg）），mg≤（1／2）k（2R-L）1，mg≥（1／2）k（2R-L）这个问题还可以进一步研究下去．当mg≥（1／2）k（2R－L）以后，随着m的继续增大，θ≡0是不会再有变化了，但并不意味着就什么都不变．其实，当mg＜（1／2）k（2R －L）时，随着m的增大，弹簧拉力T和大环弹力N的大小始终满足T=2mgcosθ和N=mg，而且方向也相应改变．但一旦当mg≥（1／2）k（2R－L）后，m再增大时，T和N两个力的方向就都保持在竖直方向（与mg在同一直线）而不再改变，改变的仅仅是力的大小了．也就是说，T和N也是“分段函数”．T= k（2Rcosθ-L），（1／2）k（2R-L）k（2R-L），（1／2）k（2R-L）N= mg，（1／2）k（2R-L）k（2R-L）-mg，（1／2）k（2R-L）我们看其中N的第二段表达式“N=k（2R-L）-mg”，N＞0，表示N的方向向下，此时（1／2）k（2R－L）≤mg＜k（2R－L）；当N＜0，表示N的方向向上，此时mg＞k（2R－L）；而当mg=k（2R－L）时，N=0．也就是说，当m逐渐增大到mg=（1／2）k（2R－L）时，小环恰好降到最低点（θ=0），此时大环对小环的弹力N方向仍然是向下，大小仍等于mg（跟θ≠0时的情况相同）．不过随着m的进一步增大，N先是大小渐渐减小到0，然后再方向改变为向上并逐渐增大（弹簧弹力在这期间内则始终等于k（2R－L））．并不是小环一落到最低点大环对它的支持力马上变为向上的．有兴趣的读者可以自己画出T、N（的大小）还有θ随m的变化图线，都是一些“分段函数曲线”，其中都有一段水平段．度系数为弹簧与竖直方向的夹角，解得：联立求解得：。
三力动态平衡问题的几种解法
三力动态平衡问题的几种解法物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。
因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。
因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据.下面就举例介绍几种这类题的解题方法.一，三角函数法例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。
现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。
与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:得：，，解得：，弹簧的伸长：，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A.点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题.二，图解法例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______．解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。
根据图像OA绳受力变小，OB绳受力先变小后变大.点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况.三，相似三角形法例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。
三力平衡的求解方法
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解决三共点力平衡问题常用的方法
方法 正交分解 法 合成法 分解法 内容 将处于平衡状态的物体所受的力，分解为相互正 交的两组，每一组的力都满足二力平衡条件 物体受三个力的作用，任意两个力的合力与第三 个平衡 ． 将某一个力按力的效果进行分解，则其分力和其 它力在所分解的方向上满足平衡条件． 物体受三个力作用，将这三个力的矢量箭头首尾 相接，构成一个闭合三角形，利用三角形定则， 根据正弦定理、余弦定理或矢量三角形与几何三 角形相似等数学知识可求解。
解法一：(正交分解法)： 列平衡方程为FN1＝FN2sin α mg＝FN2cos α 可得：球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtanα，所以B正确．
解法二：(力的合成法)： FN1 ＝mgtan α， 球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.所以B正确．
解法三：(按力的作用效果分解)：
将重力G按效果分解图丙中所示的两分力G1和G2 解三角形可得： FN1＝G1＝mgtan α 球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.
解法四：(三角形法则)：
所受三个力经平移首尾顺次相接，一定能
构成封闭三角形．
由三角形解得： FN1＝mgtan α，
挡板受压力FN1′＝FN1＝mgtan α.
力的三角 形法
题型：三力平衡问题 例1.如图所示，在倾角为α 的斜面上， 放一质量为m的小球，小球被竖直 的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板 的压力是( A．mgcos α C. mg
处理共点力平衡问题的常见方法和技巧
处理共点力平衡问题的常见方法和技巧物体所受各力的作用线（或其反向延长线）能交于一点，且物体处于静止状态或匀速直线运动状态，则称为共点力作用下物体的平衡。
它是静力学中最常见的问题，下面主要介绍处理共点力作用下物体平衡问题的一些思维方法。
1.解三个共点力作用下物体平衡问题的方法解三个共点力作用下物体平衡问题的常用方法有以下五种：（1 ）力的合成、分解法：对于三力平衡问题，一般可根据“任意两个力的合成与第三个力等大反向”的关系，即利用平衡条件的“等值、反向”原理解答。
例1•如图1所示，一小球在纸面内来回振动，当绳OA和OB拉力相等时，摆线与竖直方向的夹角■为：（）图1A.15°B. 30°C. 45°D. 60°解析：对O点进行受力分析，O点受到OA 绳和OB绳的拉力F A和F B及小球通过绳子对O点的拉力F三个力的作用，在这三个力的作用下O点处于平衡状态，由“等值、反向”原理得，F A和F B的合力F合与F是等值反向的，由平行四边形定则，作出F A和F B的合力F 合，如图2所示，由图可知匠=词,故答案是A。
图2(2)矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接 恰好构成三角形，则这三个力的合成必为 零，因此可利用三角形法，求得未知力。
例2.图3中重物的质量为 m ，轻细线 AO 和BO 的A 、B 端是固定的。
平衡时AO 是水平的，BO 与水平面的夹角为。
AO 的拉力和BO 的拉力的大小是：()= ^gsin.6 F TJL = ?«gcot 8F T& = mg^8凉一宜血总解析：因结点O 受三力作用而平衡，且 与mg 垂直，所以三力应组成一个封闭的直角三角形，如图4所示，由直角三角形 知识得：=—.：」-.,： ： “，所以选项 B 、D 正确。
三力共点平衡问题的一题多解
T G N T y T xθ三力共点平衡问题的一题多解共点力作用下物体的平衡的条件是：物体所受的合外力为零。
在解决共点力作用下物体的平衡问题时通常可以用以下几种方法：正交分解法、相似三角形法、拉密定理（正弦定理） 法。
下面通过例题来说明三种方法的使用：例1、如图：一重力为G 的球用长为R 的不可伸长的细线挂在光滑的墙壁上，求墙的支持力和绳的拉力。
方法1：正交分解法： G T y = N T x = θGtg N ==G R R3=G 33 T=θcos G =G 332 方法2：相似三角形法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则表示这三个力的有向线段必定构成首尾相连的封闭三角形。
∵ABO ∆∽DCO ∆ ∴COBO DO AO DC AB == G N AO T BO N AB G 33=⇒== G T 332= 方法3：拉密定理（正弦定理）：物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则表示这三个力的有向线段必定构成首尾相连的封闭三角形，由正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==可知 213sin sin sin θθθG N T == 由三角形关系可知1θ=1500，2θ=1200，3θ=900 所以G T 332= G N 33= 例2、如图所示，物体重力为30N ，∠ACB=300，求细绳AB 和杆BC 的作用力A T 、C T 。
解法一、正交分解法：G T cy = A cx T T = A B O TG即：G T c =⨯030sin A c T T =⨯030cos∴N T c 60= N T A 330=解法二、相似三角形法：ABC ∆∽BC T AB T AC G DBE C A ==⇒∆ ∴ N T c 60= N T A 330=解法三、正弦定理法： 00090sin 120sin 150sin C A T T G == ∴ N T c 60= N T A 330=从上面两个例题看，解决三个共点力作用下物体处于平衡状态时，可以用的方法是多种的，我们可以根据实际情况选择最简单的一种方法。
力动态平衡问题的几种解法
三力动态平衡问题的几种解法物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。
因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。
因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据.下面就举例介绍几种这类题的解题方法.一，三角函数法例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。
现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。
与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:得：，，解得：，弹簧的伸长：，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A.点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题.二，图解法例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G 的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______．解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。
根据图像OA绳受力变小，OB绳受力先变小后变大.点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况.三，相似三角形法例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。
解平衡问题几种常见方法
解平衡问题几种常见方法
a 、力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。
b 、力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。
c 、正交分解法：将各力分解到x 轴上和y 轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件)00(∑∑==y x F F 多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。
值得注意的是，对x 、y 方向选择时，尽可能使落在x 、y 轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。
d 、矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。
e 、对称法：利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。
在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。
解题中注意到这一点，会使解题过程简化。
f 、正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。
g 、相似三角形法：利用力的三角形和线段三角形相似。
三力平衡的求解方法
三力平衡的求解方法三力平衡是指在一个物体上受到三个力时，这三个力的合力为零，使物体保持平衡的状态。
求解三力平衡的方法有三种：几何法、代数法和力矩法。
几何法是一种简单直观的方法，常用于解决较为简单的三力平衡问题。
它以向量的方法来求解，通常通过画图来帮助分析问题。
具体步骤如下：1.首先，根据题目所给条件，将已知力的大小和方向用箭头表示在图上，箭头的长度表示力的大小，箭头的方向表示力的方向。
2.然后，根据题目要求，将未知的力用箭头表示在图上，要注意未知力的大小和方向的表示方法。
3.根据几何关系，通过图形的几何关系，如平行、垂直等来确定未知力的大小和方向。
一般情况下，根据三力平衡的条件，未知力与已知力之间具有特定的几何关系。
4.最后，将所有已知和未知的力的矢量相加，根据三力平衡条件，合力为零。
如果合力不为零，则需要重新调整未知力的大小和方向，直到满足三力平衡条件。
代数法是一种基于线性代数的数值计算方法，适用于复杂的三力平衡问题。
通过代数法，可以用力的大小和方向的代数式来表示三力平衡问题。
具体步骤如下：1.首先，根据题目要求，假设未知力的大小和方向，并用字母表示。
2.然后，根据三力平衡的条件，列出力的平衡方程。
每个力的平衡方程是根据该力的大小和方向来确定的，可以根据力的合成原理和平行四边形法则来进行推导。
3.将所有的力的平衡方程相加并化简，得到关于未知力的代数方程。
通过求解该方程，可以得到未知力的大小和方向。
力矩法是一种基于力矩的方法，适用于要考虑物体的旋转平衡问题。
通过力矩法，可以考虑到力对物体的转动效应，从而得到物体的平衡条件。
具体步骤如下：1.首先，根据题目所给条件，将已知力的大小和方向用箭头表示在图上。
2.然后，确定一个参考点，通常为与问题有关的特定点，以该点为中心，建立坐标系。
3.根据力矩的定义，计算每个力对参考点产生的力矩。
力的力矩等于力的大小乘以力的作用点到参考点的距离，并根据力的方向确定力矩的正负。
共点力平衡应用--三力平衡问题
多个个共点力作用于物体而平衡，则这几个共 点力的图示必构成一个首尾相接的封闭多边形。
二、三力平衡的应用 例1：如图所示，一个重为G的光滑球放在倾角为 θ 角的固定斜面上刚好能静止，求竖直挡板和斜 面对球的弹力为多大？ 方法1：合成法 方法2：分解法 方法3：正交分解法 方法4：三角形法
二、三力平衡的应用
例2、
二、三力平衡的应用
练习2、
二、三力平衡的应用
θ
F
二、三力平衡的应用
练习3：如图所示，重为G的小船在外力F的作用 下缓慢靠岸，已知水的阻力f恒定，试判断绳的 拉力与水的浮力如何变化(滑轮摩擦不计)。
F
变形：如果将挡板与斜面间的夹角α 缓慢变化， 求竖直挡板的最小弹力为多少？
二、三力平衡的应用
练习1：如图所示，重为G的光滑球放在与水平地 面成α =600角的挡板OA、OB之间，现将OA板不动， 缓慢移动OB板，试判断OA、OB板对球的支持力如 何变化。 B A 解题要点： 1、正确作出 矢量三角形。 2、找出三角 形的边角的变与不 变。 O
求解平衡问题的八种方法
• [典例7] 如图2－3－24所示， 一个重为G的小球套在竖直放 置的半径为R的光滑圆环上， 一个劲度系数为k，自然长度为 L(L<2R)的轻质弹簧，一端与 小球相连，另一端固定在圆环 图2－3－24 的最高点，求小球处于静止状 态时，弹簧与竖直方向的夹角。
图2－3－25
八、正弦定理法
• 三力平衡时，三力合力为零。三个力可构 成一个封闭三角形，若由题设条件寻找到 角度关系，则可由正弦定理列式求解。 • [典例8]一盏电灯重力为G，悬于 天花板上A点，在电线O处系一 细线OB，使电线OA与竖直方向 的夹角为β＝30◦，如图2-3-26所 示。现保持β角不变，缓慢调整 OB方向至OB线上拉力最小为止， 图2－3－26 此时OB与水平方向的夹角α等于多少？ 最小拉力是多少？
• 方法二：整体法 • 直角劈对地面的压力和地面对直角劈的支持力是一对 作用力和反作用力，大小相等、方向相反。而地面对 直角劈的支持力、地面对直角劈的摩擦力是直角劈和 物体整体的外力，所以要讨论这两个问题，可以以整 体为研究对象。整体在竖直方向上受到重力和支持力， 因物体在斜面上匀速下滑、直角劈静止不动，即整体 处于平衡状态，所以竖直方向上地面对直角劈的支持 力等于物体和直角劈整体的重力。 水平方向上地面若对直角劈有摩擦力， 无论摩擦力的方向向左还是向右，水 平方向上整体都不能处于平衡状态， 所以整体在水平方向上不受摩擦力， 整体受力如图丙所示。 • [答案] C
方法技巧专题化系列之二
方求 法解 平 衡 问 题 的 八 种
一、合成、分解法 二、图解法 三、正交分解法 四、三力汇交原理 五、整体法和隔离法 六、临界问题的常用处理方法—— 假设法 七、相似三角形法 八、正弦定理法
一、合成、分解法
• 利用力的合成与分解解决三力平衡的问题，具体 求解时有两种思路：一是将某力沿另两个力的反 方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平 衡力；二是某二力进行合成，将三力转化为二力， 构成一对平衡力。 • [典例1]
平衡问题的八种方法
[典例2]
如图2－3所示，一小球在斜面上
处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直 挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则 此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力
图 2－ 3
F2的变化情况是
A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大
(1)明确研究对象； (2)画受力图； (3)假设可发生的临界现象； (4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。
[典例6]
倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面
上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。 现给A施以一水平力F，如图2－11所示。设最大静摩擦力与滑 动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在 斜面上静止，水平推力F与G的比值可能是( A．3 C．1 B．2 D．0.5
方法二：整体法
直角劈对地面的压力和地面对直角劈的支持力是一对作用力和 反作用力，大小相等、方向相反。而地面对直角劈的支持力、地面 对直角劈的摩擦力是直角劈和物体整体的外力，所以要讨论这两个 问题，可以以整体为研究对象。整体在竖直方向上受到重力和支持
力，因物体在斜面上匀速下滑、直角劈静止不动，即整体处于平衡
三、图解法 在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物 体处于动态平衡状态。解决动态平衡类问题常用图解法，图
解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若
满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时， 可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方 法，图解法也常用于求极值问题。
[答案] A 图2－8
五、整体法和隔离法 选择研究对象是解决物理问题的首要环节。若一个系统 中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象
三力平衡的解法
也不 变 。
１ ． ２ 力的 三角形 合成 法 题型２ ： 三个 力中有两 个力 垂直 物 体 受 三个 共面 共点 力作 用平 衡 时 （ 或 可转 化为 三 力平 衡 ） ， 表 示 这 三个 力的 矢量
箭头首 尾 相接 恰 好构 成 矢量 三 角形 ， 反 之 若
２ 力的分 解 法
学 中取 得 了 很 好 的教 学 效 果 。
关 键词 ： 三 力平衡
分解法
合成法
中图分类号 ： Ｇ ６ ３ ４
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ９ ８ ｘ （ ２ ０ １ ４ ） ０ １ （ ｂ ） 一 ０ ２ １ ８ — ０ ２
１ 力的合 成 法
１ ． １ 力的平 行 四边 形合 成 法
角形合 成 法、 按 力的 作 用效 果 分解 法 正 交分 解 法 、 三 力汇 交原 理 图解法 ， 相似 三 角形法 七 类方 法 ， 学生掌 握 这 七种 方法后 不 再 困惑 ， 能 既 轻松
又愉快 的解决三 力平衡 问题 。 在 物理教 学过程中， 我们每分析三力平衡 问题 时， 都遇 到这样 的困难， 学生拿到题 目时， 分析受力后， 不知用什 么 方 法解 ， 更谈 不 上快 速 ， 准 确 的求 解 ， 解三 力平 衡 问题 成 了 很 多同学 的 困扰 ， 面对 这 样 的 情况 ，我将 三 力平衡 问题 进 行 归类 ， 总 结 解决 方 法， 在教
Ｔ１ 的最 大 值 为 １ Ｏ ０ Ｎ。 设 绳 ＡＯ拉 力 Ｔ． ＝１ ０ ０Ｎ时 ，绳 ＡＯ与 竖 已知 绳 与墙 的夹 角 为 ｅ，求球 例题２ ： 图３ 中重 物 的 质量 为ｍ ， 轻 细 线 在 光 滑 墙 上 ， Ａ Ｏｆ ￣ Ｉ Ｂ Ｏ的 Ａ、 Ｂ 端 是 固定 的 。 平 衡 时ＡＯ是 对 墙 的压 力和 绳 子 中张 力． 分析 ： 重力 产生 两 个 效 果 ， 一 个 是 使 绳
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三力平衡问题的几种求解方法
云南云天化中学张宝权
三力平衡问题是共点力平衡问题的重点，因而也就成了人们经常注意的问题。
如何求解三力平衡问题？一般来讲，有如下几种基本的求解方法：(1)正交分解法；
(2)正弦定理法；(3)相似比法；(4)力矩平衡；(5)余弦定理法。
如何灵活、熟练地运用以上这些方法，使三力平衡问题顺利、简捷地得以解决，这就要理解和掌握这些方法的内容、特点及条件。
下面举一个例题，分别阐述以上这五种方法。
题目：如图1所示，小圆环A吊着一重力为的砝码套在
另一竖直放着的大圆环上，有一细线的一端拴在小环A上，另
一端跨过固定在大圆环最高点B处的定滑轮后吊着一个重力为
砝码。
如果小环、滑轮、绳子的质量和圆环之间、滑轮轴承
处的摩擦都可略去不计，绳子又不可伸长。
求平衡时AB弦所对
的圆心角。
分析：选取结点A为研究对象：点A受到绳A竖直向下的拉力且＝，受到
绳AB沿AB方向的拉力且＝，受到大圆环沿OA方向的弹力N。
在以上这三个力的作用下，结点处于静止状态，属于三力平衡问题。
解法一：用正交分解法求解。
该方法的内容是：以研究对象所在位置为坐标原点，过原点沿某一方向作一条直线为x轴，过原点且与x轴垂直的一条直线为y轴，从而建立直角坐标系。
将不在两坐标轴上的力分别沿x轴和y轴上进行分解，若研究对象处于平衡状态，则有。
以上两式亦称为力的平衡条件。
在本题中，以结点A为坐标原点，过原点沿水平方向和竖直方向的直线分别为x轴
和y轴，建立直角坐标系后，结点的受力情况如图2所示，从图中可以看出，力和N 不在坐标轴上。
根据力的平衡条件有：
将分别代入以上方程组后得：
由(4)得：并代入(3)
后化简得：。
注：此方法不仅可以求三力平衡问题，而且也可以求多个共点力的平衡问题。
因此，该方法是求共点力平衡问题的普遍适用的基本方法。
其难点是力的分解和解方程组。
解法二：用正弦定理求解。
该方法的内容是：当物体受到三个力、和的作用处于平衡状态时，若
，那么下面等式成立：。
上面等式即为正弦定理。
在本题中，结点A所受到的三个力的夹角如图3所示，于
是有：。
可得：，亦即。
注：在能够比较容易地找到各力之间的夹角和已知一个力时，求解另外两个力，运用此方法求解，较为简洁。
关键在于准确地找出三个力之间的夹角。
解法三：用相似比求解
此方法的内容是：当物体受到三个力、和的作用处于平衡状态时，那么这三个力一定组成首尾相连的封闭的力三角形。
这个力三角形若与几何三角形
相似，即∽，则对应边成比例：。
上面等式称两个相似三角形的相似比。
在本题中，结点A所示的力三角形为
如图4所示，因为与图1中相似，即∽。
于是有：
将：代入上式，可得：
即可得：。
注：在已知几何三角形的三条边和一个力时，求另外两个力，用此法求解，显得容易。
但此法的关键在于如何找到一对相似三角形。
解法四：用力矩平衡求解。
该方法的内容是：对于绳吊物的三力平衡问题，以绳的一个悬点或某一个力的力的作用线上的一点作为转轴，则过转轴的力的力矩是零，设一个力的力矩为，另一个力的力矩为，那么有：＝。
该等式又称二力平衡条件。
在本题中，可设大圆环的圆心为转轴，则弹力N的力矩为零，的力矩为
的力矩为。
因＝，故有。
即可得。
注：此方法对于绳吊物一类的三力平衡问题，在已知两个力时，求某一夹角，此法显得很方便。
其难点在于如何确定转轴和准确地找出力臂。
解法五：用余弦定理求解
关于共点力平衡问题有这样一个推论：物体在n个共点力作用下处于平衡状态时，其中任意一个力的大小总是等于除这个力之外的(n-1)个力的合力的大小，方向相反且在同一条直线上。
因此，n个共点力的平衡问题可以转化为二力平衡问题。
对于三力平衡总是也是如此，也可以转化为二力平衡问题。
当物体受到、和的作用处于平衡状态时，若、的夹角为θ，那么、
的合力大小为。
因，故有。
在本题中，结点A所受各力及有关力间的夹角如图5所示。
拉力和弹力N的合力，因为、
和N组成的力三角形为等腰三角形，有＝N＝，那么的表达式变形为：。
因得。
于是又有：，所以有。
注：已知两个力的大小及这两个力的夹角时，求第三个力，也可采用此法。
但有时在数学处理上稍复杂一些。