高中必修第一册数学《3.2 函数的基本性质》获奖说课课件ppt

又由x1
x2 , 得x1
x2
0, 于是
x1 x2 x1x2
( x1 x2
1)
0
即y1 y2.
所以，函数 y x 1 在区间(1,)上单调递增。
x
观察
下列两个函数的图象：
y
y
M
M
x
o x0
图1
思
o
x0
xwenku.baidu.com
图2
考 观察这两个函数图象，图中有个最高点，
那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
思
考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为:
h t = -4.9t2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少
精确到1米?
解：做出函数 h(t) = -4.9t2 + 14.7t + 18的图像。显然，
C．[－1，＋∞)
D．[－1,3]
【解析】 ∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当 x＝1 时，函数 y 取得最小值为－1，
当 x＝3 时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为[－1,3]，故选 D. 【答案】 D
5．已知函数 f(x)＝x2－x＋1. (1)画出函数的图象； (2)根据图象求函数在区间[－1,1]上的最大值．
函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横
坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距
地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数
h
h(t) = -4.9t2 + 14.7t + 18 ，我们有
20 15
当 t = - 14.7 = 1.5 时，函
10
2 (-4.9)
数有最大值
5
o 123 4
t h = 4 (-4.9)18 - 14.72 29
这时，我们就说函数 f(x) = x在2 区间 (, 0)上是这减函
数.
思考：函数 f (x) | x |, f (x) x2 各有怎样的单调性
y
y x2
O
x
f (x) | x | 在区间（ ,0)上单调递减，区间（ 0， ）上单调递增。 f (x) x2在区间（ ,0)上单调递增，在区间（0， ）上单调 递减。
p(V1 ) - p(V2 ) =
k V1
-
k V2
=k
V2 - V1 V1V2
作差变形
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1 ) - p(V2 ) > 0
定号
即 p(V2 ) > p(V1 )
所以，函数 p = k , V (0, +)是减函数.也就 是说，当体积V减V少时，压强p将增大.
f (x) 2x 4
3 2
o
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2 -3
牛刀小试：
如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单 调区间上,f(x)是增函数还是减函数。
函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。
A．2
B．－2
C．2 或－2
D．0
【解析】 由题意，a≠0，当 a>0 时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得 a＝2； 当 a<0 时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得 a＝－2.综上知 a＝±2.
【答案】 C
4．函数 y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )
A．[0,3]
B．[－1,0]
f(x1 ) - f(x2 )
=
1 x1 - 1
-
1 x2 -1
=
(x2 - 1) - (x1 - 1) (x1 - 1)(x2 - 1)
=
(x1
x2 - x1 - 1)(x2
- 1)
.
由于 2 x1 x2 6, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 1)(x2 - 1) > 0,
于是
f(x1 ) - f(x2 ) > 0
思考：
函数y f (x)在定义域的某区间上 存在x1, x2满足x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 那么函数y f (x)在该区间上一定是 增函数吗？
y
f ( x2 )
y f (x)
f ( x1 )
0 x1
x2 x
思考：
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是 单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另 一些区间上单调递减的函数例子吗？
即
f(x1 ) > f(x2 )
所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得
最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在
x=6时取得最小值为0.4.
达标检测
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝3－x
D．y＝x2＋2x＋1
【解析】 函数 y＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 【答案】 C
（2）存在 x0 I ，使得 f(x0 ) = M.
思 考 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数
y=f(x)的最小值的定义呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数 M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I，使得 f(x0 ) = M ，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
析式 f (x) x2 描述“随着x 升
的增大，相应的f(x)随着增 在（0， ）内随着x的增大，y也
大？”
增大
y
对区间（0， ）任意 x1，x2 ，
y x2
ox
当x1<x2时， 都 有f(x1)<f(x2)
2、你能类似地描述 f (x) x2 在区间（- ，0）上是减函数 吗？
在区间 (-, 0) 上，任取两个 x1 , x2，得到 f(x1 ) = x12 , f(x2 ) = x22，当 x1 < x2时，有f(x1 ) > f(x2 )
例1 根据定义，研究函数 f (x) kx b(k 0)的单调性。 解：设x1, x2 R, 且x1 x2
则 f (x1) f (x2 ) (kx1 b) (kx2 b) k(x1 x2 )
x1 x2 x1 x2 0
①当k>0时， k(x1 x2 ) 0
于是 f (x1) f (x2 ) 0即f (x1) f (x2 )
在某一区间内， 图像在该区间内逐渐上升——y随着x 的增大而增大；
图像在该区间内逐渐下降——y随着x的增大而减小。 函数的这种性质称为函数的单调性
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f（x） … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
1、思考：如何利用函数解 图象在区间（0， ） 逐渐上
【解】 (1)图象如图所示： (2)由图象知，函数在[－1,1]上的最大值是 3.
课堂小结
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
4、函数的最值： 最大值 最小值
5、函数的最值的求法 （1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值; （2）利用图象求函数的最值; （3）利用函数单调性求函数的最值 .
第三章 函数概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值
一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 二、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
初步感知
上升 y
yx
下降
y
y x
局部上升或下降 y
f (x) x2
ox
ox
ox
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
2．函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 的单调减区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】 易知函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 是图象开口向下的二次函数，其对 称轴为 x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．
【答案】 B
3．若函数 y＝ax＋1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是( )
例2 物理学中的玻意耳定律 p = k (k为正常数)告 诉我们，对于一定量的气体，当其V体积V减小时， 压强p将增大,试用函数单调性证明之.
分析：按题意就是证明函数 p = k 在区间
(0, +)上是减函数.
v
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？
f(x)< M
1是此函数的最大值
例如函数f x = -x2 +1x∈R
ƒ(0)=1
2 1
O
1、对任意的 xR都有ƒ(x)≤1.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
知识要点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;
结论
例3 根据定义证明函数 y x 1 在区间(1,)上单调递增。
x
证明： x1, x2 (1,), 且x1 x2,有
y1
y2
(x1
1) x1
(x2
1 x2
)
(x1
x2 )
(1 x1
1 x2
)
(x1
x2 )
x2 x1 x1x2
x1 x2 x1x2
( x1 x2
1)
由x1, x2 (1,), 得x1 1, x2 1.所以x1x2 1, x1x2 1 0
单调性概念：
y
f ( x2 )
f ( x1 )
0
y f (x)
x1 x2 x
y
f ( x1 )
f ( x2 )
0
y f (x)
x1 x2 x
对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1, x2,
当 x1 x2 时,
当 x1 x2 时,
都有 f (x1) f (x2 )
都有 f (x1) f (x2 )
就说函数 f ( x)在区间
就说函数 f ( x)在区间
D上是增函数.这个给定的 D上是减函数.这个给定的
区间就为单调增区间。 区间就为单调减区间。
如果函数 y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就 说函数 y =f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫 做y =f(x)的单调区间。
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此 时距离地面的高度约为29m.
例5 已知函数 f(x) = 1 (x [2, 6]) ，求函数的最大
值与最小.
x-1
分析：由函数的图象可知道，此函数在[2，6]上 递减。所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大 值与最小值.
解：设 x1 , x2 是区间[2，6]上的任意两个实数， 且 x1 < x2，则
这时，f (x) kx b在R上为增函数。
②当k<0时， k(x1 x2 ) 0
于是 f (x1) f (x2 ) 0即f (x1) f (x2 )
这时，f (x) kx b在R上为减函数。
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.