高中直线与方程知识点解析及经典例题
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习
必修二 第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当时，； 当时，； 当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
12注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。
方程组有无数解与重合（8设是平面直角坐标系中的两个点，（9一点到直线的距离（10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ，∴ca c ab a b a --=--3333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2，∴b 2-c 2+ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0，∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c ≠0，∴a+b+c=0. 2.若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ）A.21B.33 C.23D.3答案D3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx 中，得k=-52，此时，直线方程为y=-52x, 即2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-21， 此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A(a,0),B(0,b), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1,即2x+3y-12=0. 方法二 设直线l 的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l 在x 轴上的截距a=3-k2,令x=0,得直线l 在y 轴上的截距b=2-3k. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k)=24.解得k=-32.∴所求直线方程为y-2=-32(x-3).即2x+3y-12=0.9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.解 方法一 直线x+my+m=0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0.又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y-1=(x+1),即y=31x+34,代入x+my+m=0, 整理，得x=-37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21.两直线方程例1 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1不平行于l 2;当a=0时，l 1:y=-3,l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2;当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y=-x a 2-3,l 2:y=x a-11-(a+1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a=-1,综上可知，a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a-1）-1×2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a(a 2-1)-1×6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a=-1,故当a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.（2）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.当a ≠1时，l 1:y=-2a x-3,l 2:y=x a -11-(a+1), 由⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ·a-11=-1⇒a=32.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a+2(a-1)=0⇒a=32.例3 已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x+y+1=0,l 2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x=3,此时与l 1,l 2的交点分别是A （3，-4），B （3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l 的方程为x=3或y=1.方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ①6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x=3或y=1.例4 求直线l 1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l 2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k=21(k=2舍去)，∴直线l 2的方程为x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点P （x,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则 （ ）°≤α＜180°°≤α＜135° C. 0°＜α≤135°D. 0°＜α＜135° 答案 D2.曲线y=x 3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） °°°°答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为( )或3或4答案 A4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为（ ）+y=0 +5=0 =0 +2y-5=0答案 A5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =k BC ，∴A 、B 、C 三点共线.例2已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为34.例3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y=3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x,y 轴上的截距均为a,若a=0，即l 过点（0，0）和（3，2），∴l 的方程为y=32x ，即2x-3y=0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵l 过点（3，2），∴123=+aa ，∴a=5，∴l 的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l 的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-k2,令x=0,得y=2-3k, 由已知3-k 2=2-3k ，解得k=-1或k=32,∴直线l 的方程为：y-2=-（x-3）或y-2=32(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43.又直线经过点A （-1，-3），、 因此所求直线方程为y+3=-43(x+1),即3x+4y+15=0. 例4 （12分）过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1),由已知可得112=+b a （1）∵2ba 12•≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥ 4.当且仅当a 2==21,即a=4,b=2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即x+2y-4=0. 6分 （2）由a2+=1,得ab-a-2b=0, 变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|·|PB|=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a .当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.此时直线l 的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l 的方程为y-1=k(x-2) (k ＜0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12（1-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k=-k 1,即k=-21时取最小值，此时直线l 的方程为y-1=-21(x-2),即x+2y-4=0. 6分（2）|PA|·|PB|=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k=4k 2,即k=-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.一、选择题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）+2y-6=0 +y-6=0+7=0=0答案B3.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是（ ）+1=0+1=0 =0=0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a= . 答案 1+25.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题6.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.·解 方法一 直线x+my+m=0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m 1≤-2，∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-1=(x+1),即y=31x+34,代入x+my+m=0,整理，得x=-37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y=k(x+3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k+4， 由已知，得（3k+4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b,则直线l 的方程是y=61x+b,它在x 轴上的截距是-6b, 由已知，得|-6b ·b|=6，∴b=±1. ∴直线l 的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0. 8.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m=-1时，直线AB 的方程为x=-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y-2=11+m (x+1). （2）①当m=-1时，α=090;②当m ≠-1时，m+1∈(]3,00,33Y ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-，∴k=11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33， ∴α∈[)(]0120,9090,30Y .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.9.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x-y-2=0与l 2:x+y+3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k=833110316=--. ∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0. 方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P(3,0)是线段AB 的中点，∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0，∴k 2-8k=0，解得k=0或k=8. 又∵当k=0时，x A =1,x B =-3,此时32312≠-=+B A x x ,∴k=0舍去， ∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.。
直线与方程知识梳理、典型例题讲解与习题
直线与方程知识梳理、典型例题讲解与习题一、复习引入介绍斜率概念、两条直线平行与垂直的判断公式，直线方程的三种形式。
（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l（3）（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.（4）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离22||OP x y =+点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022||Ax By C d A B ++=+两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离1222||C C d A B -=+二、课堂讲解讲解、.一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。
.解：由4603560x y x y ++=⎧⎨--=⎩得两直线交于2418(,)2323-，记为2418(,)2323A -，则直线AP 垂直于所求直线l ，即43l k =，或245l k =43y x ∴=，或2415y x -=，即430x y -=，或24550x y -+=为所求。
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案_提高训练
【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 名称 方程的形式 已知条件 局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
必修2-第三章-直线与方程-知识点及经典例题
数学必修2 第三章 直线与方程练习知识点（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特殊地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°性质：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合.当α=0°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大.（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 留意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1, P 2的依次无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x留意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴, y 轴的截距分别为,a b 。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。
所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 k 表示。
即k tan。
斜率反应直线与轴的倾斜程度。
当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。
（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。
11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲精练
直线与方程专题复习【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00；②倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==； ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 【知识点三：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
距离的值是非负数。
截距是实数，不是“距离”，可正可负。
截距式方程的应用①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a |+|b②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S =1||2ab ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则1k =-或直线过原点，常设此方程为x y a y kx +==或 （2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++= 两条直线的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =精讲精练：【例】已知(1A 直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )ABCD【例】在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 【例】方程1=+y x 所表示的图形的面积为_______．【例】一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 【例】已知直线(2)(31)1,a y a x -=--为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是___ _．【例】直线13y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．【例】已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标． 【例】在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为210,x y A -+=∠的平分线所在直线的方程为0y =．若点B 的坐标为(1,2),求点C 的坐标．【例】直线l 过点(2,1),P 且分别与,x y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为原点． （1）求△AOB 面积最小值时l 的方程；（2）|PA|•|PB|取最小值时l 的方程． 【例】求倾角是直线1y =+的倾角的1,4且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点1)-；(2)在y 轴上的截距是－5. 【例】已知直线:120l kx y k -++=．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 负半轴于,A 交y 正半轴于,B AOB ∆的面积为,S 试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程． 练习：1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ；3．两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4．直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是:6．三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是:7．已知点(1,2),B(2,2),C(0,3),A --若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上一点,则直线CM k 的取值范围是: 8．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为:9过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ；10．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 11．光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B ,则反射光线所在直线的方程 12．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 13．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为4，求直线l 的方程． 14．（1）要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x -y=1平行，求m 的值. （2）直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a -1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值.15．已知∆A B C 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求∆A B C各边所在直线方程．16.△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0， ∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.17．已知函数(x)a f x x =+的定义域为(0,),+∞且(2)22f =+设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y x =和y 轴的垂线，垂足分别为,M N ．（1）求a 的值；（2）问：|PM ||PN |⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为原点，若1OMPN S =求P 点的坐标．。
高中数学必修2第三章直线与方程知识点归纳及作业
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、 倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率： 斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有l 1∥l 22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k k l l =-⇔⊥（充要条件） 3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠y-y 1/y-y 2=x-x 1/x-x 22、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
史上最全直线与直线方程题型归纳
精心整理直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=3.直线方程的五种形式直线形式 直线方程局限性选择条件 点斜式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率 ②已知一点 斜截式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率②已知在y 轴上的截距两点式不能表示与x 轴、y 轴垂直的直线①已知两个定点 ②已知两个截距 截距式（b a 、分别为直线在x 轴和y 轴上的截距）不能表示与x 轴垂直、与y 轴垂直、过原点的直线 已知两个截距（截距可以为负）一般式表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程 7．斜率存在时两直线的平行：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存在时两直线的垂直：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等 A.0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。
直线与方程知识总结及典型 例题(高一人教版必修二)
）
（A）2x－3y＝0;
（B）x＋y＋5＝0;
（C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0
（D）x＋y＋5或x－y＋5＝0
4．直线x=3的倾斜角是（ ）
A.0 B. C. D.不存在
5．圆x2+y2+4x=0的圆心坐标和半径分别是（ ）
A.(－2,0),2 B.(－2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4
相交 平行 重合
交点 夹角 平行线间的距离
表示平面区域
直线 与方程
直线与直线位置关系 倾斜角 五种形式 直线方程
二元一次不等式
线性规划 斜率
与
与方程 点 关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直
线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试 题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，所占的分值 为5～10分，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查 的热点。
（A）－
（B）－3;
（C） （D）3
12．直线当变动时，所有直线都通过定点（ ）
（A）（0，0）
（B）（0，1）
（C）（3，1）
（D）（2，1）
二、填空题（每题4分，共16分）
13．直线过原点且倾角的正弦值是，则直线方程为
14．直线mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为
15．如果三条直线mx+y+3=0, xy2=0, 2xy+2=0不能成为一个三角形三边
7．点（2，1）到直线3x 4y + 2 = 0的距离是
（A） （B） （C） （D）
8．直线x y 3 = 0的倾斜角是（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
高中数学必修2--第三章《直线与方程》知识点总结与练习
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.二、直线方程的形式及适用条件[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C 由k＝α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为．解析：＝＝1，＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：45．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为．解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案：3x＋2y－1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )A．－1 B．－3C．0 D．2(2)(2012·苏州模拟)直线θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是．[自主解答] (1)＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1＝－3.(2)由题知k＝－θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k ∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.[答案] (1)B (2)∪由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝x－x的一条对称轴为x ＝，则直线l：－＋c＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°解析：选D 由函数y＝f(x)＝x－x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段相交，则k的取值范围是( )B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段相交，则≤k≤.∵＝－2，＝，∴－2≤k≤.典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是．(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦的中点，则弦所在直线的方程为．[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.(2)由题意得，×＝－1，所以＝2，故弦所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△中平行于边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于边的中位线就是，中点的连线．因为线段，中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.(2)因为边上的中点为(2,3)，所以边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(，)在l2上．由题意知错误!则点B(6－x，－y)，解方程组错误!得错误!则k＝错误!＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(，)，(，)，由错误!解得错误!由错误!解得错误!∵P(3,0)是线段的中点，∴＋＝0，即＋＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则＝1，＝－3，此时＝≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△面积最小时，求直线l的方程；(2)当·取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，，B(0，1－2k)，△的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵＝，＝，∴·＝·＝2 ≥2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例] (2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则错误!或错误!∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.即直线方程为x－y－7＝0.答案：y＝－x或x－y－7＝01．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝＋b必经过定点( )A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b ＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( )A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( ) A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线＋＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )A．＞0，＜0 B．＞0，＞0C．＜0，＞0 D．＜0，＜0解析：选A 由于直线＋＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故＞0，＜0.5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )A．－2 B．－7C．3 D．1解析：选C 线段的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.答案：(－∞，－1)∪8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为．解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝09．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y ＋2m＋1＝0恒过定点．解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则错误!得错误!答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．解：设所求直线方程为＋＝1，由已知可得错误!解得错误!或错误!故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线的方程；(2)已知实数m∈，求直线的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]，∴k＝∈(－∞，－ ]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线的倾斜角α∈.12.如图，射线、分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线分别交、于A、B两点，当的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线的方程．解：由题意可得＝45°＝1，＝(180°－30°)＝－，所以直线：y＝x，：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以的中点，由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得错误!解得m＝，所以A(， )．又P(1,0)，所以＝＝＝，所以：y＝(x－1)，即直线的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.1．若直线l：y＝－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )解析：选B 由错误!解得错误!∵两直线交点在第一象限，∴错误!解得k＞错误!.∴直线l的倾斜角的范围是.2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为．解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．已知直线l：－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则0－y0＋1＋2k＝0对任意k ∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝＝×(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0解析：选B ∵1＝3，2＝－k，l1⊥l2，∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是．解析：k＝α＝＝.∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△的面积的最小值及此时直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.∴1＝＋≥2，即≥24.∴S△＝≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，△的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为＋＝1.即2x＋3y－12＝0.第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组错误!的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离1．两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝＝.2．点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：＋＋C＝0的距离d＝.3．两条平行线间的距离两条平行线＋＋C1＝0与＋＋C2＝0间的距离d＝.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )A．6 B．－6C．5 D．－5解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( )C．5解析：选B d＝＝.3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则错误!解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线＋3y＋5＝0上，则m的值为( )A．3 B．5C．－5 D．－8解析：选D 由错误!得l1与l2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为＋＋C＝0的形式，否则会出错．典题导入[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y ＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△中角A，B，C所对的边，则直线A＋＋c＝0与－B＋C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：选C 由已知得a≠0，B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－)，k2＝B)，由正弦定理得k1·k2＝－)·B)＝－1，所以两条直线垂直．典题导入[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝.[自主解答] 因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.[答案]由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝0－.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝0－.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋＋c ＝0之间的距离为，则c的值是．解析：由题意得＝≠，得a＝－4，c≠－2，则6x＋＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，则＝，解得c＝2或－6.答案：2或－6典题导入[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( ) A．2 B．6C．3 D．2[自主解答] 如图，设点P关于直线，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△的周长＝＋＋＝＋＋＝＝＝2即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足错误!②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线＋＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有错误!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l1： 3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[常规解法] 解方程组错误!得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．由l3的斜率得l的斜率为－.则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y －1＝0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线＋＋C＝0平行的直线系方程是＋＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线＋＋C＝0垂直的直线系方程是－＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.——————————————————————————————————————[巧思妙解] 由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x ＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.针对训练求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为，.又所围成的三角形面积S＝··＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．2．当0＜k＜时，直线l1：－y＝k－1与直线l2：－x＝2k 的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 解方程组错误!得两直线的交点坐标为错误!，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )C．4 D．8解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A．－2 B．－D．2解析：选A 依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，即y＝x＋，其斜率是，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是( ) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0解析：选C 设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4的方程为x＋3y－8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l1：＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.答案：－8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长＝，求直线l 的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由错误!解得；由错误!解得错误!.∵＝，∴＝，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－.因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵′·＝－1，即×3＝－1.①又′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②由①②得错误!(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ∵点P到点A和定直线距离相等，∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )A．2 B．2C．4 D．2解析：选C 设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接′并延长交l于P，此时的P满足－的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则′·＝－1，即3·＝－1.则a＋3b－12＝0.①又由于线段′的中点坐标为，且在直线l上，则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．于是′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解错误!得错误!即l与′的交点坐标为P(2,5)．1．点(1，θ)(其中0≤θ≤π)到直线θ＋θ－1＝0的距离是，那么θ等于( )或或解析：选B 由已知得θ＋2θ－1|,2θ＋2θ)＝，即θ－2θ|＝，∴42θ－4 θ－1＝0或42θ－4 θ＋1＝0，∴θ＝或θ＝.∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤1，∴θ＝，即θ＝或.2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则错误!得错误!即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由错误!得错误!即反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l 的对称点P′(x0，y0)，由′⊥l可知，′＝－＝.而′的中点Q的坐标为，Q点在l上，即3·－2·＋7＝0.由错误!得错误!根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l 的对称点为P′(x，y)，则＝－，又′的中点在l上，即3×－2×＋7＝0，由错误!可得P点的坐标为x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.。
第37讲 直线与方程(解析版)
第37讲直线与方程一、考情分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.二、知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k＝tan__θ.3.直线方程的五种形式[微点提醒]1.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.三、 经典例题考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.【解析】 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.考点二直线方程的求法【例2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，因为l过点(4，1)，所以4a＋1a＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).考点三直线方程的综合应用角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________. 【答案】 5【解析】由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|P A |·|PB |的最大值是5. 角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 【答案】 12【解析】 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解. [方法技巧]1、在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.2、倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化规律. 四、 课时作业1．已知直线l 的斜率是1，且在y 轴上的截距是1-，则直线l 的方程是（ ） A ．1y x =-- B ．1y x =-+C ．1y x =-D ．1y x =+【答案】C【解析】解：直线l 的斜率为1k =，且在y 轴上的截距为1-， 所以直线l 的方程为1y x =-．2．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为 A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4【答案】A 【解析】即得选A3．直线310x y ++=的倾斜角为（ ） A ．3πB ．23π C ．6π D ．56π 【答案】D【解析】解：设直线的倾斜角为α． 直线的点斜式方程是31)y x =+， ∴直线的斜率3tan k α==．[0α∈，)π，∴56πα=． 故选：D ．4．已知直线l 过点(3,4)P 且与点()22A -，，(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为（ ） A ．23180x y +-=B ．220x y --=C ．32180x y -+=或220x y ++=D ．23180x y +-=或220x y --=【答案】D【解析】解析：设所求直线的方程为4(3)y k x -=-，即340kx y k --+=，=解得2k =或23k =-， 即所求直线方程为23180x y +-=或220x y --=.5．已知点()12P ，与直线l : 10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为（ ）A ．()3,2--B ．()3,1--C ．()2,4D ．()5,3--【答案】A【解析】可以设对称点的坐标为(),x y ，得到2121,103, 2.122y x y x y x -++=++=⇒=-=-- 6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y +-=C ．230x y --=D ．230x y --=【答案】D【解析】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-.7．已知函数()21f x ax a =+-的图象恒过定A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n ⋅>，则12m n+的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．8【答案】D 【解析】()()2121f x ax a a x =+-=+-，所以，函数()y f x =的图象恒过定点()2,1A --，由于点()2,1A --在直线10mx ny ++=上，则210m n --+=，则21m n +=，0mn >，则0mn>，()121242448m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n m =时，等号成立， 因此，12m n+的最小值为8. 8．点A （1，3）关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B （–2，1），则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是A ．32- B ．54 C ．65-D ．56【答案】D9．已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,B ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D ．,,422ππππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】B【解析】直线l 的斜率221121m k m -==--，因为m R ∈，所以(],1k ∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.10．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y += B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【答案】C【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x ； 当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2． 综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=211．已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≥2或k ≤34B ．34≤k ≤2 C ．k ≥34D ．k ≤2【答案】A【解析】因为2AP k =，34BP k =，结合图象可知，当2AP k k ≥=或34BP k k ≤=时，则直线l 与线段AB 相交，故选A ．12．过()0,1A ，()3,5B 两点的直线的斜率是( ) A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】A【解析】因为直线过()0,1A ，()3,5B 两点， 所以514303AB k -==-. 13．已知点(2,1),(3,)A B m -，若331m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】解：因为(2,1),(3,)A B m -，所以()1132AB m k m --==+-，因为331m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以313m ⎡+∈⎢⎣， 设倾斜角为α，[)0,απ∈，则t 3an 3α⎡∈⎢⎣， 所以50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.14．（多选题）若直线过点()1,2A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为y =2x ，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y =k ，把点A （1，2）代入可得1-2=k ，或1+2=k ， 求得k =-1，或k =3，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 15．（多选题）在下列四个命题中，错误的有（ ） A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B ．直线的倾斜角的取值范围是0,C ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 【答案】ACD【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在，A 错误 对于B ，直线倾斜角的取值范围是0,，B 正确对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α， 如y x =的斜率为5tan4π，它的倾斜角为4π，C 错误 对于D ，一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在，D 错误 16．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=【答案】AB【解析】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，2-，所以围成三角形的面积是2正确，B 中0+121(,)22+在直线1y x =+上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1-，所以B 正确，C 选项需要条件2121,y y x x ≠≠，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y x =.17．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．截距相等的直线都可以用方程1x y a a+=表示 B ．方程20()x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C ．经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D ．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程211211()()()()0y y x x x x y y -----=【答案】BD【解析】对于A ，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程1x y a a+=表示，所以A 不正确； 对于B ，当0m =时，平行于y 轴的直线方程形式为2x =，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90，则该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)y x θ-=-表示，所以C 不正确； 对于D ，设点(),P x y 是经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线上的任意一点，根据121//PP PP 可得211211()()()()0y y x x x x y y -----=，所以D 正确． 18．（多选题）下面说法中错误．．的是（ ） A ．经过定点00(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点00(,)P x y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 E.经过任意两个不同的点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线都可以用方程121()()y y x x --121()()x x y y =--表示【答案】ABCD【解析】对于A 项，该方程不能表示过点P 且垂直于x 轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A 项不正确；对于B 项，该方程不能表示过点P 且平行于x 轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B 项不正确；对于C 项，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C 项不正确；对于D 项，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D 不正确；对于E 项，经过任意两个不同的点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可以用方程()()121y y x x -- ()()121x x y y =--表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确；19．（多选题）下列说法中，正确的是（ ）A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．一条直线的倾斜角为30-︒C ．若直线的倾斜角为α，则sin 0αD ．任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α【答案】CD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，直线的倾斜角为α，当90α=︒时，斜率不存在，A 错误；对于B ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，B 错误；对于C ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，则有sin 0α，C 正确；对于D ，任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α，D 正确；20．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程.【解析】由题意知，直线l 的斜率为，故设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－b ，在y 轴上的截距为b ，－b －b ＝1，b ＝－，直线l 的方程为y ＝x －，即15x －10y －6＝0.21．已知直线l ：120kx y k -++= (k ∈R ).（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【解析】解:(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=，令2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩，∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-.(2)解：由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)k A k+-，(012)B k +，． 依题意得：120120k k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ∵21112(12)11112(44)(224)422222k k S OA OB k k k k k ++=⋅⋅=⋅+==++≥⨯⨯+=， 当且仅当 140k k =>，即12k =，取“＝” ∴min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．22．已知三角形的三个顶点A (−5，0)，B (3，−3)，C (0，2). （1）求BC 边所在直线的方程；（2）求△ABC 的面积.【解析】解：(1)∵ B (3，−3)，C (0，2)， ∴ 2(3)5033BC k --==--， ∴ BC 边所在直线的方程：52(0)3y x -=--，即5360x y +-=，（2）A (−5，0)，∴点A 到直线BC的距离为：34d == ∵ B (3，−3)，C (0，2)，∴ BC ==∴ 1312342ABC S==。
2.2 直线的方程(精讲)(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一
【答案】(1) y 4x 11； (2) y 2x 3 ； (3) y 5 x 5 . 4
【解析】（1）直线的两点式方程为
y 1 3 1
x 2
3 3
y
4x
11.
（2）直线的两点式方程为
y 1 3 1
x 0
2 2
y
2x
3
.
（3）直线的两点式方程为
y5 05
x 4
0 0
y
5 4
x
5.
【一隅三反】
【解析】（1）直线倾斜角
π 4
，则直线斜率
k
1 ，直线
l
经过点
P（2，3），直线
l
的点斜式方程为
y
3
x
2
.
（2）直线倾斜角
2π 3
，则直线斜率 k
3 ，直线 l 经过点 P 2，1 ，直线 l 的点斜式方程为
y 1 3x 2 .
（3）直线倾斜角 π ，直线斜率不存在，直线 l 经过点 P 5，1 ，直线 l 的方程为 x 5 .
A
1,1
逆时针旋转
π 4
与直线
l1
重合，则
l1
的斜截式方程
是
.
【答案】 y 3x 4
【解析】设直线
l
的倾斜角为
，则
tan
2
，则
tan
π 4
tan 1 1 tan
3 ，
所以直线 l1 : y 1 3 x 1 y 3x 4 ，
故答案为： y 3x 4 .
2．（2023·天津和平·高二校考期中）过直线 2x y 4 0 与 x y 5 0 的交点，且垂直于直线 x 2 y 0的直
(精品)直线与方程知识点+经典习题
直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ; 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1. ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ,B 不全为0)注意：错误!各式的适用范围 错误!特殊的方程如: 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线:a x =（a 为常数）； (5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数) （二）过定点的直线系(ⅰ)斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ;（ⅱ)过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中.(6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时,212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
必修2第三章 直线与方程知识点归纳、习题汇总(精选)
3.1倾斜角和斜率1.直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2.倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3.直线的斜率:直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做直线的斜率,常用k 表示,即 k = tan α.⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 注意：由此可知, 直线的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4. 斜率公式:若直线过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 . 【题型1】求直线斜率33-D. 33C. 3-B. 3.A 120.1的斜率为（），则直线的倾斜角为若直线l l ︒ 34D. 43C. 34B. 43A..,53sin .2±±=则此直线的斜率为（），若已知直线的倾斜角为αα21D.C.2 21-B. 2-A..52B 31A .3率为（））两点，则此直线的斜，（），，（若直线过 31-D. 31C. 3-B. A.3.013.4的斜率是（）直线=+-y x 【题型2】求直线倾斜角︒︒︒︒D.135C.60 B.45 A.30.1.1的倾斜角为（），则直线的斜率为若直线l l︒︒︒︒=+- D.90C.60 B.45 A.30.0122.2的倾斜角为（）：直线y x l，不存在，不存在，，（）的倾斜角和斜率分别是直线︒︒︒︒-= D.180 C.90 1B .135 1A.45.1.3x不存在的倾斜角为（）直线 D. C.90 B.45 A.0.1.4︒︒︒=y【题型3】直线斜率大小比较123321213231321321 D. C. B. A...1k k k k k k k k k k k k k k k l l l <<<<<<<<，则必有（）、、的斜率分别为、、如图，直线【题型4】求直线斜率、倾斜角范围)2[ ]4D.[0 ]4[0 C. )43[ ]4[0 B. )[0 A..))(1(B )12(A 2.) [0,]1D. ]1 C. ) B.[-1, A.1350.12ππππππππαα，，，，，，（）的倾斜角的取值范围为两点，那么直线，，，经过点直线，（，（），（）的斜率的取值范围为（，则直线，且的倾斜角为已知直线⋃⋃∈∞+⋃-∞--∞-∞+∞+∞-≤≤︒︒l R m m l l l3.2.1 点斜式方程1.点斜式方程：（1）条件：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k .（2）方程：2.斜截式方程：（1）条件：直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点为),0(b .（2）方程：3.2.2 两点式方程1.两点式方程：（1）条件：两点),(),,(222111y x P y x P其中),(2121y y x x ≠≠.（2）方程：2.截距式方程：（1）条件：直线l 与x 、y 轴的交点分别为A )0,(a 、B ),0(b ，其中0,0≠≠b a . （2）方程：3.2.3 直线的一般方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程 （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
高中直线与方程知识点及经典例题
直 线一、直线斜率、倾斜角1、斜率：k=θtan （θ为倾斜角） [)0180θ∈︒︒，2、斜率：k=2121x x y y --（21x x ≠）已知两点可以求斜率3、k 与θ的关系例1 过A （1，2）点，且不过第四象限的直线，求直线的斜率k 的取值范围？例2 已知直线倾斜角30120θ︒︒⎡⎤∈⎣⎦，，求直线斜率k 的取值范围例3 已知直线斜率k []31，-∈，求直线倾斜角θ的取值范围例4 已知直线l 的倾斜角β是直线1l ：012=+-y x 的倾斜角α的2倍，求直线l 的斜率.练 习1.下列说法中，正确的是（ ）． A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B. 直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C. 若直线的倾斜角为α，则sin 0α> D. 任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率2.直线l 过点P （-1,2），且与以A （-6，-3），B （3，-2）为端点的线段相交（包括端点），求l 的倾斜角的范围 ？3.已知直线l 过点P (−1,2),且与以A (−2,−3)、B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围是4.经过点P （0，-1）作直线l 与连接A(1，-2)，B （2，1）的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围.5.经过点()10，P 作直线l ，若直线l 与连接()33,13---，），（B A 的线段总有公共点，找出直线l 斜率k 的取值范围.二、直线的四种形式： 1.点斜式： 作用：几何意义： 范围：定点问题：例1 已知直线0355:=+--a y ax l（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限 （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围例2 点P 是（x,y ）线段x+2y-4=0(22-≤≤x )上的任意一点，求xy 1+的范围.2.斜截式： 作用： 几何意义： 范围：例3 设直线l 的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a R ∈） （1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程 （2）若l 不经过第二象限，求a 的范围（3）证明：不论a 为何值，直线恒过某定点，并求定点坐标 （4）证明：不论a 为何值，直线恒过第四象限 作业：1.已知直线01=+++a y ax ，不论a 取何值，则该直线恒过的定点为 .2.已知直线()0121:=-+-+a y a ax l 不通过第四象限，则a 的取值范围是 .3.下列图象不可能是直线()2--=a ax y 图象的是（ ） A ．B ．C ．D ．4.如果直线()0,0<<+=b a b ax y 和直线()0>=k kx y 的图像交于点P ，那么点P 应该位于第 象限.3.截距式： 作用：几何意义： 范围：例1 已知直线过（3，-2）且在x 轴的截距a 是与y 轴的截距是3倍，求直线的截距式.4.求直线方程：两个已知条件设方程：有一个未知数 1、已知点：点斜式 2、已知k ：斜截式 3、已知截距关系：截距式例2 （1）求过点P(2,−1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b ，且满足a=3b 的直线方程.（2）已知直线l 过点（1,0），且与直线)1(3-=x y 的夹角为︒30，求直线l 的方程。
高考数学直线方程典型例题解析
高考数学直线方程典型例题解析一. 教学内容： 直线方程［知识点］1. 直线方程两点式：()()()方程推导：已知直线经过两点，，，求直线的l P x y P x y x x l 11122212≠方程？解：k y y x x =--2121代入点斜式()y y k x x -=-121()∴-=---y y y y x x x x 121211·∴--=--y y y y x x x x 121121注意：（1）特殊情况：x ＝x 1或y ＝y 1不能用两点式表示，即与x 轴平行或与x 轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。
（2）两点式变形形式：（y －y 1）（x 2－x 1）＝（y 2－y 1）（x －x 1） 此方程与平面上的直线一一对应。
2. 直线方程的截距式：公式推导：已知直线与x 轴交于A （0，a ）与y 轴交于B （b ，0），其中（a ≠0，b ≠0）求直线l 的方程。
解用两点式：y b x aa --=--000∴=-y b a x a∴+=x a yb1（截距式）注意：（1）特殊情况：当a ＝0或b ＝0时不能用上式，即过原点或与x 轴平行或与y 轴平行的直线不能用截距式。
（2）截距式是两点式的特殊情况。
3. 直线方程的一般式：方程形式：，、不同时为零。
Ax By C A B ++=0适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。
4. 关于直线方程形式间的互化方法。
【典型例题】例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。
解：设直线的截距式方程为：x a yb +=1则有-+-==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪541125a bab⇒==-a b 52，或，a b =-=524∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y例2. 如图，已知直线l 经过点P （3，2），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B 。
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高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即0tan (90)k αα=≠。
斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。
当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60°（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。
④截矩式：1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12-，经过点A(8，—2)； .(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-； .4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）A ．C =0，B>0B ．C =0，B>0，A>0C ．C =0，AB<0D ．C =0，AB>0例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经的象限是（ ） A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00y y k x x -=-，直线过定点()0,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
（三）垂直直线系垂直于已知直线0Ax By C ++=（,A B 是不全为0的常数）的直线系：0Bx Ay C '-+=例1：直线l ：(2m+1)x +(m+1)y —7m —4=0所经过的定点为 。
(m ∈R) （5）两直线平行与垂直 当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，（1）212121,//b b k k l l ≠=⇔；（2）12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（3）1212,k k b b ==⇔1l 与2l 重合；（4）12k k ≠⇔1l 与2l 相交。
另外一种形式：一般的，当1111110:0(,)l A x B y C A B ++=不全为， 与2222220:0(,)l A x B y C A B ++=不全为时，（1）122112210//120A B A B l l B C B C -=-≠⎧⇔⎨⎩，或者122112210A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩。
（2）1212120l l A A B B ⊥⇔+=。
（3）1l 与2l 重合⇔1221A B A B -=1221B C B C -=1221A C A C -=0。
（4）1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 （6）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 例4. 已知直线l 的方程为121+-=x y ， (1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。
例2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点P(2，3)及两条直线l 1： x +3y —4=0和l 2：5x +2y+1=0的交点Q ；(2) 经过两条直线l 1： 2x +y —8=0和l 2：x —2y+1=0的交点且与直线4x —3y —7=0平行； (3) 经过两条直线l 1： 2x —3y +10=0和l 2：3x +4y —2=0的交点且与直线3x —2y +4=0垂直； （7）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB =（8）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线1:0l Ax By C ++=的距离2200BA C By Ax d +++=（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
对于0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 来说：d =。
例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。
例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。
(10) 对称问题1) 中心对称 A 、若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称，则由中点坐标公式得112,2.x a x y b y =-⎧⎨=-⎩ B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用12//l l ，由点斜式得出所求直线的方程。
2) 轴对称 A 、点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，则线段12P P 的中点在对称轴l 上，而且连结12P P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组121212120,22,x x y y A B C y y B x x A++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标22(,)x y （其中120,)A x x ≠≠。
B 、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。
例1：已知直线l ：2x —3y +1=0和点P(—1，—2).(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标 (2) 分别求：直线l ：2x —3y +1=0关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称的直线方程. (3) 求直线l 关于点P(—1，—2)对称的直线方程。
(4) 求P(—1，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。
例2：点P(—1，—2)关于直线l ： x +y —2=0的对称点的坐标为 。
11. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为(221x x +，221y y +) 例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程直线方程练习题1．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为_____________2．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =__________________3、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为________________4、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是___________________5、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是______________6. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程__________________7两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是_________________ 8、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是_______________9、已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。