六年级小升初蝴蝶定理的证明及推广
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摘要
蝴蝶定理想象洵美,蕴理深刻,近两百年来,关于蝴蝶定理的研究成果不断,引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止,关于蝴蝶定理的证明就有60多种,其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变,能得到很多有趣与漂亮的结果。
关键词:蝴蝶定理;证明;推广;
一摘要
在20世纪20年代时,蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界,严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆,甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸
四边形、两直线,都依然成立。另外,如果将蝴蝶定理中的条件一般化,即M 点不再是中点,能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点,两次应用坎迪定理,能得到“三翅蝴蝶定理”。
二 蝴蝶定理的证明
(一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现,于是涌现了很多利用中学简单几何
方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线,同时诞生了各种美妙的思想,蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下,翩翩起舞!
证法1 如图2,作OU AD OV BC ⊥⊥,,则垂足U V ,分别为AD BC 、的中点,且由于
EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒
得M E U O 、、、共圆;M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠,
又MAD MCB ,U V 、为AD BC 、的中点,从而MUA MVC ∆∆,AUM MVC ∠=∠
则 EOM MOF ∠=∠,于是ME=MF 。[1]
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D',如图3所示,则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠, ○
1 联结D'M 交圆O 于C',则C 与C'关于OM 对称,即
PC'CQ =。又
111
CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222
∠∠()()
故M F B D'、、、四点共圆,即MBF MD'F ∠=∠
而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知,DME D'MF ∆≅∆,故ME=MF 。
证法 3 如图4,设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ∆及截线AMB ,NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理,有
图 2
D
D
FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=,FM ED NC
1ME DN CF
⋅⋅= 由上述两式相乘,并注意到
NA ND NC NB ⋅=⋅
得22
FM AN ND BF CF BF CF
ME AE ED BN CN AE ED
⋅=⋅⋅⋅=⋅
()()()()2222
PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME
-==-+--
化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 (Steven 给出)如图5,并令
DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y
αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====, 由
FCM AME EDM FMB
FCM EDM FMB AME
S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=,
即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1
MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ
αγβδ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
化简得 ()()()()222
222MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====
⋅⋅-+- 即 222
222
x y a y a x -=-,
从而 ,ME MF x y ==。 证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=,,以点
M 为视点,对MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理,有
()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA
αβαββαβα
++=+=+,
上述两式相减,得
图 3
图 4
D
()()()1
1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD
MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪
⋅⋅⎝⎭ 设G H 、分别为CD AB 、的中点,由OM PQ ⊥,有
()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα
-==︒-=-==︒-=
于是 ()1
1sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,
而180αβ+≠︒,知()sin 0αβ+≠,故ME=MF 。
(二) 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的
证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法,所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定
理的方法,以下列出几个例子以供参考。
证法 6 (单墫教授给出)如图6,建立直角坐标系,则圆的方程可设为
()2
22
x y a R ++=。
直线AB 的方程为1y k x =,直线CD 的方程为2y k x =。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系,其方程为
()()()2
22120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣
⎦
令0y =,知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=,
由于x 的系数为0,则两根1x 和2x 之和为0,即12x x =-,故ME=MF 。[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系,则圆的
方程可写为
()
2
22x a y r -+=
直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x =。
又
设
A B C D 、、、的坐标为
(),,1,2,3,4i i x y i =,则14x x 、分别是二次方程