六年级小升初蝴蝶定理的证明及推广

合集下载
相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

摘要

蝴蝶定理想象洵美,蕴理深刻,近两百年来,关于蝴蝶定理的研究成果不断,引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止,关于蝴蝶定理的证明就有60多种,其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变,能得到很多有趣与漂亮的结果。

关键词:蝴蝶定理;证明;推广;

一摘要

在20世纪20年代时,蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界,严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆,甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸

四边形、两直线,都依然成立。另外,如果将蝴蝶定理中的条件一般化,即M 点不再是中点,能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点,两次应用坎迪定理,能得到“三翅蝴蝶定理”。

二 蝴蝶定理的证明

(一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现,于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线,同时诞生了各种美妙的思想,蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下,翩翩起舞!

证法1 如图2,作OU AD OV BC ⊥⊥,,则垂足U V ,分别为AD BC 、的中点,且由于

EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒

得M E U O 、、、共圆;M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠,

又MAD MCB ,U V 、为AD BC 、的中点,从而MUA MVC ∆∆,AUM MVC ∠=∠

则 EOM MOF ∠=∠,于是ME=MF 。[1]

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D',如图3所示,则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠, ○

1 联结D'M 交圆O 于C',则C 与C'关于OM 对称,即

PC'CQ =。又

111

CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222

∠∠()()

故M F B D'、、、四点共圆,即MBF MD'F ∠=∠

而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知,DME D'MF ∆≅∆,故ME=MF 。

证法 3 如图4,设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ∆及截线AMB ,NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理,有

图 2

D

D

FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=,FM ED NC

1ME DN CF

⋅⋅= 由上述两式相乘,并注意到

NA ND NC NB ⋅=⋅

得22

FM AN ND BF CF BF CF

ME AE ED BN CN AE ED

⋅=⋅⋅⋅=⋅

()()()()2222

PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME

-==-+--

化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 (Steven 给出)如图5,并令

DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y

αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====, 由

FCM AME EDM FMB

FCM EDM FMB AME

S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=,

即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1

MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ

αγβδ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

化简得 ()()()()222

222MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====

⋅⋅-+- 即 222

222

x y a y a x -=-,

从而 ,ME MF x y ==。 证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=,,以点

M 为视点,对MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理,有

()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA

αβαββαβα

++=+=+,

上述两式相减,得

图 3

图 4

D

()()()1

1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD

MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪

⋅⋅⎝⎭ 设G H 、分别为CD AB 、的中点,由OM PQ ⊥,有

()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα

-==︒-=-==︒-=

于是 ()1

1sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,

而180αβ+≠︒,知()sin 0αβ+≠,故ME=MF 。

(二) 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的

证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法,所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定

理的方法,以下列出几个例子以供参考。

证法 6 (单墫教授给出)如图6,建立直角坐标系,则圆的方程可设为

()2

22

x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =,直线CD 的方程为2y k x =。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系,其方程为

()()()2

22120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣

令0y =,知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=,

由于x 的系数为0,则两根1x 和2x 之和为0,即12x x =-,故ME=MF 。[5]

证法 7 如图7建立平面直角坐标系,则圆的

方程可写为

()

2

22x a y r -+=

直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x =。

A B C D 、、、的坐标为

(),,1,2,3,4i i x y i =,则14x x 、分别是二次方程

相关文档
最新文档