高一(上)第一次月考数学试卷
2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高一(上)月考数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高一（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=2sin(−x2+π3)的最小正周期是( )A. πB. −4πC. 4πD. 2π2.下列三角函数值为正数的是( )A. tan300°B. sin210°C. cos210°D. sin(−5π3)3.全集U=R，集合A={x|xx−4≤0}，集合B={x|log2(x−1)>2}，则∁U(A∪B)为( )A. (−∞,0]∪[4,5]B. (−∞,0)∪(4,5]C. (−∞,0)∪[4，5]D. (−∞,4]∪(5，+∞)4.已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m+1为奇函数，则实数m的值为( )A. 4或3B. 2或3C. 3D. 25.若a=(1.1)−12，b=(0.9)−12，c=log1.10.6，则它们的大小顺序是( )A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. a<c<b6.幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么a−1b=( )A. 0B. 1C. 12D. 27.已知a>0且a≠1，函数在区间(−∞,+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)=log a||x|−b|的图象是( )A. B. C. D.8.已知函数其中ω>0.若f(x)= 2sin (ωx +π4)，f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增，则ω的取值范围是( )A. (0,4] B. (0,13] C. [52,3] D. (0,13]∪[52,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)
高一上学期第一次月考数学试卷（含答案解析）考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合A ={x|x >2}，B ={x|−2⩽x ⩽3}，则A ∩B =( )A. (2,3)B. (2,3]C. [2,3]D. [−2,3]2. 如图所示的Venn 图中，已知A ，B 是非空集合，定义A ∗B 表示阴影部分的集合.若A ={x |0≤x <3}，B ={y |y >2}，则A ∗B =( )A. {x |x >3}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |2<x <3}D. {x |x ≥3}3. 中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做“函数”，沿用至今.为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数.”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式.已知函数f(x)由如表给出，则f(f(−2)+1)的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 命题“∀x >1，x −1>lnx ”的否定为( )A. ∀x ≤1，x −1≤lnxB. ∀x >1，x −1≤lnxC. ∃x ≤1，x −1≤lnxD. ∃x >1，x −1≤lnx5. 设M =2a(a −2)+7，N =(a −2)(a −3)，则M 与N 的大小关系是( )A. M >NB. M =NC. M <ND. 无法确定6. f(2x −1)的定义域为[0,1)，则f(1−3x)的定义域为( )A. (−2,4]B. (−2,12]C. (0,23]D. (0,16] 7. 已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的条件．( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要 8. 已知集合A ={x|3−x x ≥2)}，则∁R A =( ) A. {x|x >1}B. {x|x ≤0或x >1}C. {x|0<x <1}D. {x|x <0或x >1}二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
河南省郑州市第四高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷(含答案)
2027届高一上期第一次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式对于一切．恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．C ．D ．4．集合的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，则的最小值为（ ）A ． B ．0 C ．1D 6．已知，且函数与值域相同，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，中，，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设，的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．0{0}∈{0}∅⊆{0,1}{(0,1)}⊆{(,)}{(,)}a b b a =0xy ≠0x y +=2y xx y+=-210x ax ++≥10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2-52-3-{52,},{53,},{103,}M xx k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈∣∣∣S P M ⊆⊆S P M =⊆S P M ⊆=P M S=⊆100x y y x +=>>，，121x x y ++542()()f x x ax a R =+∈(())f f x ()f x (,0][2,)-∞+∞ (,0)(2,)-∞+∞ {0,2}[0,2]ABC △903016ACB A AB ∠=︒∠=︒=，，PQ AB ⊥AP x =APQ △8．设，若是的最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分、共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
高一上数学第一次月考试卷
高一上数学月考试卷一、选择题)1. 已知全集U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3}，则∁U A =( ) A.⌀ B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}2. 已知命题P ：∀x ，y ∈(0,3) ，x +y <6，则命题P 的否定为( ) A.∀x ，y ∈(0,3)，x +y ≥6 B.∀x ，y ∉(0,3)，x +y ≥6 C.∃x 0，y 0∉(0,3)，x 0+y 0≥6 D .∃x 0，y 0∈(0,3)，x 0+y 0≥63. 设a >0，则“b >a ”是“b 2>a 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 若A =a 2+3ab ，B =4ab −b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A.A ≤B B.A ≥B C.A <B 或A >B D.A >B5. 一元二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是全体实数的条件是( ) A.{a >0,Δ>0B.{a >0,Δ<0C.{a <0,Δ>0D.{a <0,Δ<06. 设集合A ={x|2a <x <a +2} ，B ={x|x 2−2x −15>0}，若A ∩B =⌀，则实数a 的取值范围为( ) A.{a|a ≥−32} B.{a|a >−32} C.{a|−32≤a ≤3}D.{a|−32<a <3}7. 定义集合A 与B 的运算： A ⊙B ={x|x ∈A 或x ∈B ，且x ∉A ∩B}，已知集合A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6,7}，则(A ⊙B )⊙B 为( ) A.{1,2,3,4,5,6,7} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{3,4,5,6,7} 8. 已知a >0，b >0，若不等式4a +1b ≥ma+4b 恒成立，则m 的最大值为( ) A.9 B.12 C.16 D.10 二、多选题)9. 已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⫋B ，则下列选项正确的有( ) A.A ∩B =B B.A ∪B =B C.(∁U A)∩B =⌀ D.A ∩(∁U B)=⌀ 10. 在下列命题中，真命题有( ) A.∃x ∈R ，x 2+x +3=0B.∀x ∈Q ，13x 2+12x +1是有理数C.∃x ，y ∈Z ，使3x −2y =10D.∀x ∈R ，x 2>|x| 11. 对任意实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A.“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件B.“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C.“a <5”是“a <3”的必要条件D.“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要条件12. 若a ，b ，c 为实数，则下列结论正确的是( ) A.若 a >b ，则ac 2>bc 2 B.若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C.若a <b <0，则1a <1bD.若a <b <0，则b a <ab三、填空题13. 满足关系式{2, 3}⊆A ⊆{1, 2, 3, 4}的集合A 的个数是________．14. 已知p ：4x −m <0，q:1≤3−x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________.15. 当x >32时，函数y =x +82x−3的最小值是________.16. 若命题“ ∃x ∈R ，x 2+2mx +m +2<0”为假命题，则m 的取值范围是________. 四、解答题)17. 已知不等式x 2+x −6<0的解集为A ，不等式x 2−2x −3<0的解集为B ． (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2+bx +3<0的解集．18. 已知集合A ={x|a −1≤x ≤2a +3}，B ={x|−2≤x ≤4}，全集U =R . (1)当a =2时，求A ∪B 和(∁R A)∩B ；(2)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．19. 已知a >0，b >0且2a +b =ab . (1)求ab 的最小值；(2)求a +b 的最小值．20. 已知p：关于x的方程4x2−2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集，q：1−m≤a≤1+m，m>0.(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21. 已知关于x的一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R．(1)求实数m的取值范围；(2)求函数y=m+3m+2的最小值；(3)解关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0．22. 绿水青山就是金山银山．近年来为美化贾汪面貌、提升居住品质，在城市改造中，将城区多个街头空地改造成家门口的“口袋公园”，成为了市民休闲娱乐的好去处．如图，某社区拟在小区的闲置地中规划一个面积为200平方米的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2米宽的绿化，绿化造价为200元/平方米，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/平方米．设矩形的长为x米．(1)试将总造价y（元）表示为长度x的函数；(2)当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．参考答案与试题解析高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，∴∁U A={2,4,5}.故选C.2.【答案】D【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】由全称命题的否定为特称命题即可判断.【解答】解：全称命题的否定为特称命题，可知命题P的否定为：∃x0，y0∈(0,3)，x0+y0≥6.故选D.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】a>0，则“b>a”⇒“b2>a2”，反之不成立．⊙O【解答】解：若a>0，则“b>a”⇒“b2>a2”，反之不成立，例如b=−3，a=2．故选A．4.【答案】B【考点】不等式比较两数大小【解析】利用“作差法”和实数的性质即可得出．【解答】解：∵A−B=a2+3ab−(4ab−b2)=a2−ab+b2=(a−b2)2+34b2≥0，∴A≥B．故选B．5.【答案】D【考点】不等式恒成立问题一元二次不等式与二次函数【解析】一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数，可以将其转化为ax2+bx+c<0在R上恒成立，从而求解.【解答】解：∵一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数，∴不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立.令f(x)=ax2+bx+c，则函数f(x)<0恒成立，根据二次函数的图象可知，抛物线开口向下，且与x轴没有交点，即{a<0,Δ<0.故选D．6.【答案】A【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】先求出集合B，分A=⌀和A≠⌀两种情况分析求解即可.【解答】解：由题意可得A={x|2a<x<a+2}，B={x|x2−2x−15>0}={x|x>5或x<−3}.当2a≥a+2，即a≥2时，A=⌀，此时满足A∩B=⌀成立；当A≠⌀，要使A∩B=⌀成立，则{a+2>2a,2a≥−3,a+2≤5,解得−32≤a<2.综上所述：a≥−32.故选A.7.【答案】B【考点】集合新定义问题交集及其运算并集及其运算【解析】根据题意我们知道定义的A⊙B是求A与B的并集中，A与B交集的补集，由新定义先求出A⊙B，再求(A⊙B)⊙B即可.【解答】解：由题意可得：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}，A∩B={3,4}，根据新定义可得A⊙B={1,2,5,6,7}.又∵(A⊙B)∪B={1,2,3,4,5,6,7}，(A⊙B)∩B={5,6,7}，∴(A⊙B)⊙B={1,2,3,4}.故选B.8.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】由已知将a>0，b>0，不等式4a +1b≥ma+4b恒成立，转化成求利用基本不等式求最小值问题．【解答】解：∵当a>0，b>0时，不等式4a +1b≥ma+4b恒成立，∴m≤(4a +1b)(a+4b)恒成立.∵y=(4a +1b)(a+4b)=8+16ba+ab≥8+2√16ba×ab=16，当且仅当16ba =ab时等号成立，∴y=(4a +1b)(a+4b)的最小值16，∴m≤16，即m的最大值为16.故选C．二、多选题9.【答案】B,D【考点】交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】利用A⫋B的关系即可判断．【解答】解：∵A⫋B，∴A∩B=A，A∪B=B，故A错误，B正确；(∁U A)∩B≠⌀，A∩(∁U B)=⌀，故C错误，D正确.故选BD.10.【答案】B,C【考点】全称命题与特称命题命题的真假判断与应用【解析】将各个命题进行逐一分析求解即可.【解答】解：A，x2+x+3=(x+12)2+114>0，故A是假命题；B，当x∈Q时，13x2+12x+1一定是有理数，故B是真命题；C，当x=4，y=1时，3x−2y=10成立，故C是真命题；D，当x=0时，x2=x=0，故D为假命题．故选BC.11.【答案】B,C,D【考点】复合命题及其真假判断必要条件、充分条件与充要条件的判断不等式的概念与应用【解析】利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．【解答】解：A，当a=b成立时，ac=bc一定成立；反之，当ac=bc时，a=b不一定成立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A错误；B，当a+5是无理数，a一定是无理数；反之也成立，所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B正确；C，由a<5成立，不能得到a<3成立；反之，由a<3成立，一定能得到a<5成立，所以“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故C正确；D，由a>b成立不能得到ac2>bc2成立；反之，由ac2>bc2成立，则一定可以得到a>b成立，所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故D正确.故选BCD.12.【答案】B,D【考点】不等式的基本性质不等式比较两数大小【解析】利用不等式性质将各个选项进行逐一分析求解即可.【解答】解：A，当a>b时，若c=0，则ac2=bc2，故A错误；B，由a<0，a<b可得a2>ab；由b<0，a<b可得ab>b2，则a2>ab>b2成立，故B正确；C，若a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，则1a>1b，故C错误；D，若a<b<0，则ba −ab=(b−a)(b+a)ab<0，则ba<ab成立，故D正确.故选BD.三、填空题13.【答案】4【考点】子集与真子集的个数问题集合的包含关系判断及应用【解析】由题意一一列举出集合A的情况即可．【解答】解：由题意知，满足关系式{2, 3}⊆A⊆{1, 2, 3, 4}的集合A有：{2, 3}，{2, 3, 1}，{2, 3, 4}，{2, 3, 1, 4}，故共有4个.故答案为：4．14.【答案】(8,+∞)【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】先求出p，q成立的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可判断．【解答】解：由4x−m<0，得x<m4，即p：x<m4；由1≤3−x≤4，得−1≤x≤2，即q：−1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件，∴{x|−1≤x≤2}⊂≠{x|x<m4}，即m4>2，解得m>8. 故答案为：(8,+∞)．15.【答案】112【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】根据题意，将函数的解析式变形可得y=x+82x−3=12(2x−3)+82x−3+32，由基本不等式的性质分析可得当x>32时，12(2x−3)+82x−3+32≥4+32=112，进而分析可得函数的最小值，即可得答案．【解答】解：因为x>32，故2x−3>0，又y=x+82x−3=12(2x−3)+82x−3+32≥4+32=112，当且仅当12(2x−3)=82x−3，即x=72时，y=x+82x−3取得最小值112．故答案为：112．16.【答案】[−1,2]【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】由于命题：“∃x∈R，使得x2+2mx+m+2<0”为假命题，可得命题的否定是：“∀x∈R，x2+2mx+m+ 2≥0”为真命题，因此Δ≤0，解出即可．【解答】解：∵命题：“∃x∈R，使得x2+2mx+m+2<0”为假命题，∴命题的否定是：“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，∴Δ≤0，即4m2−4(m+2)≤0，解得−1≤m≤2，∴实数m的取值范围是[−1,2]．故答案为：[−1,2]．四、解答题17.【答案】解：(1)不等式x2+x−6<0可化为(x+3)(x−2)<0，解得−3<x<2，所以不等式的解集为A：{x|−3<x<2}；不等式x2−2x−3<0可化为(x+1)(x−3)<0，解得−1<x<3，所以不等式的解集为B：{x|−1<x<3}，所以A∩B={x|−1<x<2}．(2)因为不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ={x|−1<x <2}， 所以方程x 2+ax +b =0的解为−1和2， 由根与系数的关系知{−a =−1+2,b =−1×2,解得a =−1，b =−2.所以不等式ax 2+bx +3<0可化为−x 2−2x +3<0， 即x 2+2x −3>0， 解得x <−3或x >1，故不等式的解集为(−∞, −3)∪(1, +∞)． 【考点】根与系数的关系一元二次不等式的应用 一元二次不等式的解法 交集及其运算 【解析】（1）求出不等式x 2+x −6<0的解集A 和不等式x 2−2x −3<0的解集B ，再求A ∩B ．（2）由不等式x 2+ax +b <0的解集求出a 、b 的值，代入不等式ax 2+bx +3<0，求出解集即可． 先利用跟与系数的关系求出a ，b ，再代入不等式即可求出不等式的解集. 【解答】解：(1)不等式x 2+x −6<0可化为(x +3)(x −2)<0， 解得−3<x <2，所以不等式的解集为A ：{x|−3<x <2}；不等式x 2−2x −3<0可化为(x +1)(x −3)<0， 解得−1<x <3，所以不等式的解集为B ：{x|−1<x <3}， 所以A ∩B ={x|−1<x <2}．(2)因为不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ={x|−1<x <2}， 所以方程x 2+ax +b =0的解为−1和2， 由根与系数的关系知{−a =−1+2,b =−1×2,解得a =−1，b =−2.所以不等式ax 2+bx +3<0可化为−x 2−2x +3<0， 即x 2+2x −3>0， 解得x <−3或x >1，故不等式的解集为(−∞, −3)∪(1, +∞)． 18.【答案】解：(1)当a =2时，A ={x|1≤x ≤7}， 则A ∪B ={x|−2≤x ≤7}.∁R A ={x|x <1或x >7}； (∁R A)∩B ={x|−2≤x <1}. (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B .①若A =⌀，则a −1>2a +3，解得a <−4，符合题意；②若A ≠⌀，由A ⊆B ，得到{a −1≤2a +3,a −1≥−2,2a +3≤4,解得：−1≤a ≤12.综上：a 的取值范围是(−∞, −4)∪[−1, 12]．【考点】集合关系中的参数取值问题 交、并、补集的混合运算 【解析】（1）把a =2代入A 确定出A ，求出A ∪B 和(∁R A)∩B 即可；（2）由A 与B 的交集为A ，得到A 为B 的子集，分A 为空集与A 不为空集两种情况求出a 的范围即可． 【解答】解：(1)当a =2时，A ={x|1≤x ≤7}， 则A ∪B ={x|−2≤x ≤7}.∁R A ={x|x <1或x >7}； (∁R A)∩B ={x|−2≤x <1}. (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B .①若A =⌀，则a −1>2a +3，解得a <−4，符合题意； ②若A ≠⌀，由A ⊆B ，得到{a −1≤2a +3,a −1≥−2,2a +3≤4,解得：−1≤a ≤12.综上：a 的取值范围是(−∞, −4)∪[−1, 12]． 19.【答案】解：(1)因为a >0，b >0且1a +2b =1， 所以1a +2b ≥2√1a ⋅2b =2√2ab ， 则2√2ab ≤1，即ab ≥8， 当且仅当{1a+2b =1,1a =2b,即{a =2,b =4时取等号，所以ab 的最小值是8． (2)因为a >0，b >0且1a +2b =1， 所以a +b =(1a +2b )(a +b )=3+ba +2a b≥3+2√b a ⋅2a b=3+2√2，当且仅当{1a+2b =1,b a=2a b ,即{a =1+√2,b =2+√2时取等号，所以a +b 的最小值是3+2√2．【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式 【解析】（1）先化简含有ab 的等式，再根据基本不等式成立的条件求参数. （2）构造不等式并进行计算. 【解答】解：(1)因为a >0，b >0且1a +2b =1， 所以1a+2b≥2√1a⋅2b=2√2ab，则2√2ab ≤1，即ab ≥8， 当且仅当{1a +2b=1,1a=2b , 即{a =2,b =4时取等号，所以ab 的最小值是8． (2)因为a >0，b >0且1a +2b =1， 所以a +b =(1a +2b )(a +b )=3+ba+2a b≥3+2√b a⋅2a b=3+2√2，当且仅当{1a+2b =1,b a =2a b ,即{a =1+√2,b =2+√2时取等号，所以a +b 的最小值是3+2√2．20.【答案】解：(1)∵ 命题p 为真命题，∴ 方程4x 2−2ax +2a +5=0有两个相等的实数根或无实数根， ∴ Δ=(−2a )2−4×4×(2a +5)≤0， 解得：−2≤a ≤10.∴ 实数a 的取值范围是[−2,10].(2)设P ={a|−2≤a ≤10}，Q ={a|1−m ≤a ≤1+m,m >0}. 由题意得P ⫋Q ，所以{m >0,1−m <−2,1+m ≥10或{m >0,1−m ≤−2,1+m >10,解得m ≥9.∴ 实数m 的取值范围是[9,+∞). 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 命题的真假判断与应用一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】由于命题p ：关于х的方程4x 2−2ax +2a +5=0的解集至多有两个子集，因此方程至多有两个相等的实数根或无实数根，即可解除a 的取值范围.根据给出的命题写出集合之间的关系，并求出m 的范围. 【解答】解：(1)∵ 命题p 为真命题，∴ 方程4x 2−2ax +2a +5=0有两个相等的实数根或无实数根， ∴ Δ=(−2a )2−4×4×(2a +5)≤0， 解得：−2≤a ≤10.∴ 实数a 的取值范围是[−2,10]. (2)设P ={a|−2≤a ≤10}，Q ={a|1−m ≤a ≤1+m,m >0}. 由题意得P ⫋Q ，所以{m >0,1−m <−2,1+m ≥10或{m >0,1−m ≤−2,1+m >10,解得m ≥9.∴ 实数m 的取值范围是[9,+∞). 21.【答案】解：(1)∵ x 2+2mx +m +2≥0的解集为R ， ∴ Δ=4m 2−4(m +2)≤0， 解得：−1≤m ≤2．∴ 实数m 的取值范围：[−1, 2]． (2)由(1)得−1≤m ≤2， ∴ m +2>0，∴ y =m +3m+2=m +2+3m+2−2 ≥2√(m +2)3(m+2)−2=2√3−2. 当且仅当m =√3−2时取等号， ∴ 函数y =m +3m+2的最小值为2√3−2.(3)x 2+(m −3)x −3m >0．可化为(x +m)(x −3)>0. ∵ −1≤m ≤2，∴ −2≤−m ≤1<3，∴ 不等式的解集为(−∞, −m)∪(3, +∞)． 【考点】一元二次不等式的解法 基本不等式基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）不等式恒成立，需△≤0，解出即可，（2）求出m +2的范围，利用基本不等式即可求出最小值，（3）x 2+(m −3)x −3m >0．可化为(x +m)(x −3)>0，比价−m 和3的大小，即可得到不等式的解集． 【解答】解：(1)∵ x 2+2mx +m +2≥0的解集为R ， ∴ Δ=4m 2−4(m +2)≤0， 解得：−1≤m ≤2．∴ 实数m 的取值范围：[−1, 2]． (2)由(1)得−1≤m ≤2， ∴ m +2>0， ∴ y =m +3m+2=m +2+3m+2−2≥2√(m +2)3(m+2)−2=2√3−2.当且仅当m =√3−2时取等号， ∴ 函数y =m +3m+2的最小值为2√3−2.(3)x 2+(m −3)x −3m >0．可化为(x +m)(x −3)>0. ∵ −1≤m ≤2，∴ −2≤−m ≤1<3，∴ 不等式的解集为(−∞, −m)∪(3, +∞)． 22.【答案】解：(1)由矩形的长为x 米，则宽为200x米，则中间区域的长为(x −4)米，宽为(200x−4)米，x ∈(4,50)，故y =100×[(x −4)×(200x−4)]+200×[200−(x −4)(200x−4)]，x ∈(4,50)，整理得y =18400+400(x +200x)，x ∈(4,50).(2)因为y =18400+400(x +200x)≥18400+400×2√x ⋅200x=18400+8000√2，当且仅当x =200x，即x =10√2∈(4,50)时，等号成立.所以当x =10√2时，总造价最低为18400+8000√2元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数模型的选择与应用 根据实际问题选择函数类型 【解析】(1)由矩形的长为x 米，则宽为200x米，然后列出函数的解析式. 利用基本不等式x +200x≥2√x ⋅200x，求解函数的最值即可.【解答】解：(1)由矩形的长为x 米，则宽为200x米，则中间区域的长为(x −4)米，宽为(200x−4)米，x ∈(4,50)，故y =100⋅(x −4)⋅(200x−4)+200⋅[200−(x −4)(200x−4)]，x ∈(4,50)，整理得y =18400+400(x +200x)，x ∈(4,50).(2)因为y =18400+400(x +200x)≥18400+400×2√x ⋅200x=18400+8000√2，当且仅当x =200x，即x =10√2∈(4,50)时，等号成立.所以当x =10√2时，总造价最低为18400+8000√2元．。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}N 4U x x *=∈≤，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}3,4D ．{}2,3,42．命题“R x ∃∈，21x <”的否定是（）A ．R x ∀∈，21x ≥B ．R x ∀∈，21x <C ．x R ∃∈，21x ≥D ．R x ∃∈，21x >3．如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A ．()U AB ⋃ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U B A⋂ðD ．()U A B⋂ð4．已知集合{}|11A x x =-<<，{}2|20B x x x =--<，则（）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B=D ．A B =∅5．已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭6．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合{}{}1,1,2,41,2,4,16M N =-=，，给出下列四个对应法则：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②④7．关于x 的方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则a 的取值范围为（）A ．1a <-B ．18a <C ．1a <-或18a <D ．1a <-或18a ≤8．已知0x >，0y >，且30x y xy +-=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．][(),34,-∞-⋃+∞B ．()4,3-C ．()3,4-D ．][(),43,-∞-+∞ 二、多选题9．下列命题是真命题的为（）A ．若0a b c d >>>>，则ab cd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0ab <10．下列说法正确的是（）A ．至少有一个实数x ，使210x +=B ．“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C ．命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D ．“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件11．设正实数,x y 满足21x y +=，则（）A ．xy 的最大值是18B ．112x y+的最小值为4C ．224x y +最小值为12D ．212x y x+最小值为2三、填空题12．若集合{}1,1A =-，{}2B x mx ==，且B A ⊆，则实数m 的值是.13．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，则a b -=．14．当,m n ∈Z 时，定义运算⊗:当,0m n >时，m n m n Ä=+；当,0m n <时，m n m n Ä=×；当0,0m n ><或0,0m n <>时，||m n m n ⊗=⋅；当0m =时，m n n ⊗=；当0n =时，m n m ⊗=．在此定义下，若集合{(,)4}A m n m n =⊗=∣，则A 中元素的个数为．四、解答题15．已知集合{}220,{2,0}A xx ax a B =-+==-∣．(1)若1a =，求A B ;(2)若A B ⋂中只有一个元素，求a 的取值集合．16．（1）已知0ab ≠，求证：1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--17．求下列关于x 的不等式的解集：(1)4101x +≤-；(2)()222R ax x ax a ≥-∈-18．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，设广告牌的高为cm x ，宽为cm y .(1)试用x 表示y ，并求x 的取值范围；(2)用x 表示广告牌的面积S ；(3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积S 最小？19．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p，q一真一假，求实数m的取值范围.参考答案：题号12345678910答案D ADADCABBCDBD题号11答案ABC1．D【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.【详解】由题意可知{}1,2,3,4U =，所以{}3,4U A =ð，所以(){}2,3,4U A B ⋃=ð，故选：D 2．A【分析】运用特称命题的否定知识，否定结论，特称变全称即可.【详解】运用特称命题的否定知识,命题“R x ∃∈，21x <”的否定是“R x ∀∈，21x ≥”.故选：A.3．D【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A ∉且x B ∈，即U x A ∈ð且x B ∈，所以，阴影部分可表示为()U A ðB ⋂.故选：D.4．A【分析】求出集合B ，可确定两个集合之间的关系.【详解】因为220x x --<⇒()()210x x -+<⇒12x -<<，所以{}|12B x x =-<<.所以A B ⊆.故选：A 5．D【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D 6．C【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可．【详解】对应关系若能构成从M 到N 的函数，须满足：对M 中的任意一个数，通过对应关系在N 中都有唯一的数与之对应，对于①，1y x=，当2x =时，12y N =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110y N =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当1x =-时，1y N =∈，当2x =时，2y N =∈，当4x =时，4y N =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =±时，1y N =∈，当2x =时，4y N =∈，当4x =时，16y N =∈，故④满足题意．故选：C.7．A【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.【详解】根据方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，可知2Δ1801120a a =->⎧⎨++<⎩，解得1a <-.故选：A 8．B【分析】将问题转化为2min (3)x y m m +>+，利用“1”的代换以及基本不等式求解min (3)x y +，从而得到212m m +<，求解不等式，即可得到答案．【详解】因为不等式23x y m m +>+恒成立，则2min (3)x y m m +>+，因为0x >，0y >，由30x y xy +-=可得311x y+=，所以3193(3)()62612y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当9y xx y=，即6x =，2y =时取等号，故min (3)12x y +=，所以212m m +<，即2120m m +-<，解得43m -<<，则实数m 的取值范围是(4,3)-．故选：B ．9．BCD【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确.【详解】对于A 项，取2a =，1b =，3c =-，4d =-，则2ab =，12cd =，所以ab cd <，故A 选项错误；对于B 选项，若22ac bc >，有20c >，则a b >，B 选项正确；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b <，又因为0c <，由不等式的性质可得22c c a b >，所以C 选项正确；对于D 选项，若a b >且11a b >，则110a b b a ab--=<，所以，0ab <，D 选项正确．故选：BCD ．10．BD【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.11．ABC【分析】直接利用基本不等式即可求解A ，利用乘“1”法即可求解B ，利用完全平方式的性质即可求解C ，将“1”代换，即可由基本不等式求解D.【详解】对于A，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y+=⎧⎨=⎩，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，41112()(2)212222y xx y x y x y x y+=++=++≥+，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，22214(2)4142x y x y xy xy +=+-=-≥，当且仅当14x =，12y =时等号成立，C 正确；对于D，21221132222x x x x y x y x y x y y +=+=+≥+++，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．12．2±或0【分析】分B =∅、{}1B =-和{}1B =分别计算即可.【详解】当B =∅时，0m =，符合题意；当{}1B =-时，2m =-；当{}1B =时，2m =，综上，m 的值为2±或0.故答案为：2±或0.13．-2【分析】将不等式解集问题转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理求出24,33a b =-=，得到答案.【详解】由题意得：-1,3为方程220ax bx ++=的两根，故213,13b a a -+=--⨯=，解得：24,33a b =-=，故24233a b --=-=-.故答案为：-214．14【分析】根据定义运算⊗，分成五类情况分别列举符合条件的元素，合并即得集合A .【详解】①当,0m n >时，4m n m n ⊗=+=，所以1,3m n =⎧⎨=⎩或3,1m n =⎧⎨=⎩或2,2,m n =⎧⎨=⎩；②当,0m n <时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=-⎩；③当0,0m n ><或0,0m n <>时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=⎩或4,1m n =⎧⎨=-⎩或1,4m n =⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=⎩或2,2m n =⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=⎩；④当0m =时，4m n n ⊗==；⑤当0n =时，4m n m ⊗==．所以()()()()()()()()(){1,3,3,1,2,2,1,4,4,1,1,4,4,1,1,4,4,1A =--------，()()()()()2,2,2,2,2,2,0,4,4,0}----，共14个元素．故答案为：14.15．(1){}2,0A B =- (2){}1,0-【分析】（1）求出A =∅，根据并集概念求出答案；（2）分0A B ∈∩和2A B -∈ 两种情况，得到答案.【详解】（1）1a =时，{}220A x x x =-+=，因为Δ1870=-=-<，所以方程220x x -+=无实数根，所以A =∅．故{}2,0A B =- ．（2）当0A B ∈∩时，20a =，得0a =，此时{}{}0,0A A B == ；当2A B -∈ 时，4220a a ++=，得1a =-，此时{}{}2,1,2A A B =-=- ．故a 的取值集合为{}1,0-．16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）证明充要条件，可先证明充分性再证必要性；（2）利用作差法证明即可.【详解】（1）证明：∵3322()()a b a b a ab b +=+-+∴332222(1)()a a b ab a b b a ab b ++--=+--+.充分性证明即1a b +=⇒33220a b ab a b ++-=-.∵1a b +=，即10a b +-=，∴222233(1)()0a a b ab a b a b ab b +-++-+-=-=，充分性得证；必要性证明即33220a b ab a b ++-=-⇒1a b +=.又∵0ab ≠∴222213024a ab b a b b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∵33220a b ab a b ++-=-，∴22(1)()0a b a ab b +--+=，∴10a b +-=，即1a b +=，必要性得证.故1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）证明：()()()()()()()()e b d a c e b a c d e e a c b d a c b d a c b d ----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=------，∵0a b >>，0c d <<，0e <，∴0,0,0,0a c b d b a c d ->->-<-<，∴()()0b a c d -+-<，∴()()()()0e b a c d a c b d -+-⎡⎤⎣⎦>--，即0e e a c b d ->--故e e a c b d>--.17．(1){|31}x x -≤<(2)答案见解析【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由不等式4101x +≤-，可得301x x +≤-，解得31x -≤<，即不等式4101x +≤-的解集为{|31}x x -≤<.（2）解：由不等式222ax x ax -≥-，可得化为2(2)20ax a x +--≥，若0a =，不等式可化为220x --≥，解得1x ≤-，即解集为{|1}x x -≤；若0a ≠，不等式可化为2(1)(0a x x a+-≥当0a >时，不等式即为2(1)(0x x a +-≥，解得1x ≤-或2x a≥，即不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a <时，不等式即为2(1)(0x x a+-≤，①当21a->时，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-，解集为2{|1}x x a ≤≤-；②当21a-=时，即2a =-时，解得1x =-，解集为{|1}x x =-；③当当21a -<时，即2a <-时，解得21x a -≤≤，解集为2{|1}x x a -≤≤综上，当0a >时，不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a =，不等式的解集为{|1}x x -≤；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{|1}x x =-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.18．(1)1800025,2020y x x =+>-(2)1800025,2020x S x x x =+>-(3)140cm【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可；（2）矩形面积公式写函数表达式；（3）运用换元，结合基本不等式解题即可.【详解】（1）每栏的高和宽分别为()()120cm,25cm 2x y --，其中20,25x y >>两栏面积之和为：()25220180002y x --⋅=，整理得，1800025(20)20y x x =+>-.（2）18000180002525,202020x S xy x x x x x ⎛⎫==+=+> ⎪--⎝⎭；（3）令()20,0,t x t ∞=-∈+，则36000014400251850025185000S t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭；1850024500≥+=∴当120t =时，S 取最小值为24500，此时140x =；答：当广告牌的高取140cm 时，可使广告的面积S 最小.19．(1)[1,3](2)(1)(23],,∞-⋃【分析】（1）p 为真命题时，任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）化简命题q ，由（1）结合条件列不等式即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为p 为真命题，所以对任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，所以()2min 234x m m -≥-，其中[0,1]x ∈，所以234m m -≥-，解得13m ≤≤，所以m 的取值范围[1,3]；（2）若q 为真命题，即存在[1,1]x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，则()2min 210x x m -+-≤，其中[1,1]x ∈-，而()2min212x x m m -+-=-+，所以20m -+≤，故2m ≤；因为,p q 一真一假，所以p 为真命题，q 为假命题或p 为假命题q 为真命题，若p 为真命题，q 为假命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则12m m <⎧⎨≤⎩或32m m >⎧⎨≤⎩，所以1m <.综上，1m <或23m <≤，所以m 的取值范围为(1)(23],,∞-⋃.。
辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)
东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间：120分钟 满分：150分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.已知集合，则中元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.62.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A.3B.4C.15D.163.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）A.B.C. D.4.设，则下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（ ）(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B.C.D.或二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是（ ）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U ､､A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合为全体实数集，或.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知全集，集合，集合.（1）若，求实数的取值集合；（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.17.（本小题15分）设，且.（1介于之间；（2）求；（3）你能设计一个比的吗？并说明理由.18.（本小题17分）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点：（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.（本小题17分）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解：在集合中，观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.故选C.2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，则集合的真子集有个，故选C.3.解：命题“，不等式”为假命题，则命题“，不等式”为真命题，所以，解得，所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A.4.解：A ：令，则，故错误；B ：令，则，故错误；C ：令，则，故错误；D ：因为，所以即，故正确；故选D.5.解：由题可知：.当时，显然不成立即，则满足；B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时，，由可得：；综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解：由，根据的定义可知：不等式的解集是.故选A.7.解：因为，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为故选B.8.当时，方程为有一个负实根，反之，时，则于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：9.解：因为，如下图所示，则，选项A 正确：，选项B 正确：，选项正确：，选项D 错误.故选ABC.10.解：分别取同正､同负和一正一负时，可以得到的值分别为，故A 正确；由得，12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为，故B 正确；由，可以得到符合条件的数对有，故C 正确；当时，；当时，，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合含有四个元素，故D 错误，故选ABC.11.解：由题意，，且方程的两根为和，所以，所以，所以A 正确；因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为B 正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C 错误；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D 正确.故选ABD.12.解：由，，{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得：或（舍去），或，即所求的解集为，故答案为.13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为.故答案为43.14.解：分情况讨论：当时，，解得；当时，，当且仅当解得或；当时，，当且仅当由，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为：.15.（本小题13分）5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解：（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，①当时，则，即时，此时满足；②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.（本小题15分）【答案】解：（1）若，则，解得，所以实数的取值集合为（2）集合，集合，则此时，则集合，当选择条件①时，是的充分不必要条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件②时，是的必要不充分条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件③时，，使得，有，则，解得，所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.（本小题15分）【答案】解：（1）证明：.之间.（2比.（3）令，则比.证明如下：由（2.故比18.（本小题17分）【答案】解：（1）由题意知：，，解得，所以，二次函数的不动点为和1.（2）依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a ､11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.19.（本小题17分）【答案】（1）解：对于集合，因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集；（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确；（3）证明：假设结论成立，设，若，矛盾，所以，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。
福建省莆田第四中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题
则 D = (-a)2 - 4a < 0 ，得 0 < a < 4 ， 对于 A，是充要条件，所以 A 错误，
对于 B，因为当 0 < a < 4 时， a > -1 一定成立，所以 a > -1 是关于 x 的不等式 x2 - ax + a > 0 恒成立的一个必要不充分条件，所以 B 正确，
对于
<
0
，
答案第11 页，共22 页
当
x
=-2时，源自(1-2x)(
x
+
1)
<
0
，则由
(1-
2x
)
(
x
+1)
<
0
不能推出
x
>
1 2
，
所以“
x
>
1 2
”是“
(1-
2x)
(
x
+ 1)
<
0
”的充分不必要条件.
故选：A. 4．A 【分析】根据集合的知识求得正确答案.
【详解】依题意，这两种都没买的有15 - (9 + 7 - 3) = 2 人.
命题，那么 p，q 的取值范围为（ ）
A． p Î{x x > 0} ， q Î{x x > 0}
B． p Î{x x > 0} ， q Î{x x > 2}
C． p Î{x x > 2} ， q Î{x x > 0}
D． p Î{x x > 2} ， q Î{x x > 2}
二、多选题
9．设集合 A = {x ( x - 6)( x - a) = 0, a Î R} ， B = {x ( x - 2)( x - 3) = 0} ，若 A Ç B = Æ ，则
河南省郑州市领航实验学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题B卷
河南省郑州市领航实验学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题B 卷一、单选题1．已知集合N A =,{}22B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2-- 2．若{}221,3,a a +∈，则a 的值为（ ）A ．1-或1或2B ．1-或1C ．1-或2D ．2 3．命题“0x ∀>，220x x +>”的否定为（ ）A ．0x ∀>，220x x +≤B ．0x ∀<.，220x x +≤C ．0x ∃>，220x x +<D ．0x ∃>，220x x +≤4．“2560x x -+<”是“3x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知正数a ，b ，满足2a b += ）A ．最小值1BCD ．最大值1 6．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．2B ．5C ．32D ．527．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，()2x g x x = B ．()f x ()2g x =C ．()f x ()g x =D ．()2f x x =，()g x 8．已知函数()f x 的定义域为()0,2，则函数()3f xg x -=） A ．()3,+∞ B ．{}2,4 C ．()4,5D ．{}2,3- 二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ）A ．2,450x x x ∀∈-+>RB ．2,5x x ∃∈=QC ．1,2x x x∀∈+≥R D ．2,3210x x x ∃∈--=Z10．对于实数a 、b 、c 、d ，下列命题是真命题的是（ ）A ．若a b >，c d <，则a c b d ->-B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>，0c <，则c c a b > D ．若a b >，则ac bc <11．已知函数222y x x -=+的值域是[]1,2，则其定义域可能是（ ）A ．(]1,1-B ．[]0,1C ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]1,2三、填空题12．函数()12f x x =-的定义域为． 13．若“1x ≥”是“x m ≥”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为．14．函数2(1)2f x x x -=-，则()f x =．四、解答题15．已知函数()22,025,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-≥⎩(1)求()()()2,1f f f -的值；(2)若()3f a =，求实数a 的值；16．关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<.（1）求,a b 的值；（2）求关于x 的不等式220bx ax -->的解集．17．求下列代数式的最值(1)已知1x >，求()41f x x x =+-的最小值； (2)已知0,0x y >>，且满足80x y xy +-=，求2x y +的最小值.18．若集合{}{}16,131A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-．(1)当2m =时，求A B ⋂；(2)若B A ⊆，求m 的取值范围．19．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为248m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？。
高一数学上学期第一次月考试题附答案
已知 A = {x | x ∈ R, x2 + (m + 2)x + 1 = 0} ， B＝{x｜x 是正实数}，若 A B = ∅ ，求实数 m 的取值范围．
（22）（本小题满分 10 分） 已知 p：|1－ x − 1 |≤2，q：x2－2x+1－m2≤0（m＞0）的解集依次为 A、B，
3 且（CUB） （CUA）。求实数 a 的取值范围。
（18）（本小题满分 8 分）
已知集合 P = {y | y = −x2 + 2x + 5, x ∈ R} ， Q = {y | y = 3x − 4, x ∈ R} ， 求PQ，PQ．
（19）（本小题满分 10 分）
已知 A= {x | −2 < x ≤ 5} ，=B {x | 2m −1 ≤ x ≤ m +1}，且 A B = B ，
－N）等于（ ）．
A． M N
B． M N
C．M
D．N
第Ⅱ卷（非选择题 共 72 分）
考生注意事项： 请在．答．题．纸．上．书．写．作．答．，．在．试．题．卷．上．书．写．作．答．无．效．．．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题纸的相应
位置．
（13）设集合 A = {x | (x − 2)2 ≤ 4} ，B＝{1，2，3，4}，则 A B ＝__________．
A． −16 ≤ a < 0
B． a > −16 C． −16 < a ≤ 0
）
D． a < 0
（9）已知 M 有 3 个真子集，集合 N 有 7 个真子集，那么 M∪N 的元素个数为（ ）
A.有 5 个元素
福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题
福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若集合2{|20,R}A x x x m m =++=∈中有且只有一个元素，则m 值的集合是（ ） A ．{}1-B ．{0}C ．{4}D ．{1}2．“2024x <”是“2023x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是{}1x x >，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +-<的解集是（ ）A ．{1x x <-或3}x >B ．{}13x x -<<C ．{}13x x <<D ．{1x x <或3}x >4．若f （x ）是R 上周期为5的奇函数，且满足f （1）=1，f （2）=2，则f （3）-f （4）的值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．35．若定义运算，,*,b a b a b a a b≥⎧=⎨<⎩则函数()()2*g x x x =--的值域为（ ） A ．(,0]-∞ B ．R C ．[1,)-+∞ D ．(,0)-∞6．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2kg 的草莓，服务员先将1kg 的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A 使天平平衡；再将1kg 的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B 使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ） A ．等于2kgB ．小于2kgC ．大于2kgD ．不确定7．已知定义在R 上的函数()f x 满足：x ∀∈R ，都有(2020)(2024)f x f x -=-，且()f x 对任意()1212,[2,)x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()(31)f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[2,1]--C ．1,2⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，有()0f x >，则关于x 的不等式()212()0f x f x -+-<的解集为（ ）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UC ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1(1,0)0,2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1y x=-B ．y x =C ．2y x =D ．||y x =-10．若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-+∞U11．若定义在R 上且不恒为零的函数()y f x =满足：对于,x y ∀∈R ，总有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．(0)1f =B ．(0)0f =C ．()f x 是偶函数D ．1(1)2f =，则()f x 周期为6三、填空题12．对于集合A ，B ，我们把集合{},x x A x B ∈∉且叫做集合A 与B 的差集，记作A B -.若{}1,2,3,4,5A =，{}4,5,6,7,8B =，则B A -=. 13．已知0,0m n >>，且2m n +=，则1424m n +++的最小值为． 14．已知函数()()22()26f x x x x ax b =-+++，且函数(2)y f x =+是偶函数，则函数()f x 在区间[0,5]的值域为．四、解答题15．设R a ∈，已知集合{}12A x x =-<<，{}2220B x x ax a =--=.(1)若{}1A B ⋂=，求a 的值； (2)若A B A =U ，求a 的取值范围.16．设命题:p 函数2()(2)3f x x m x =-+-在区间[1,2]上单调递增；命题:[0,1]q x ∃∈，不等式23220m m x --+≤成立．(1)若命题q 的否定为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 和q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．17．学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为S 元，用电炉烧开水每吨开水费为P 元，50.25,10.2S x y P y =++=+其中x 为每吨煤的价格，y 为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水. （1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数； （2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？18．已知函数()(0)1ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1． (1)求实数a 的值；并求函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．(2)若函数2()()(1)(0)()x b f x b b g x +=+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r s t 、、，都存在以(())(())(())f g r f g s f g t 、、为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．（提示：函数()(0)kf x x k x=+>在为减函数，在)+∞为增函数可以直接使用）19．已知集合{}())*1212,,,0,,3n n A a a a a a a n n =≤<<<∈≥N L L 具有性质:P 对任意,(1),j i i j i j n a a ≤≤≤+与j i a a -至少一个属于A ．(1)分别判断集合{0,2,4}C =与{1,2,3}D =是否具有性质P ，并说明理由； (2){}123,,A a a a =具有性质P ，当24a =时，求集合A ；(3)记123()nna f n a a a a =++++L ，求(2024)f。
2024-2025学年高一上第一次月考数学试卷附答案解析(9月份)
2024-2025学年高一上第一次月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|1＜x＜6}，B＝{x|4﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3}C．{2}D．{3}2．（5分）下列说法正确的是（）A．∅∈{0}B．0⊆N C．D．{﹣1}⊆Z3．（5分）命题“∀x∈（0，1），x3＜x2”的否定是（）A．∀x∈（0，1），x3＞x2B．∀x∉（0，1），x3≥x2C．∃x0∈（0，1），D．∃x0∉（0，1），4．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若集合A＝{x|2mx﹣3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）满足集合{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（）A．6B．7C．8D．157．（5分）设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜1}B．{a|a≤1}C．{a|a＞2}D．{a|a≥2}8．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B 的所有元素之和为（）A．6B．3C．2D．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3（多选）10．（6分）集合A＝{x|ax2﹣x+a＝0}只有一个元素，则实数a的取值可以是（）A．0B．C．1D．（多选）11．（6分）设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S（a与b可以相等，也可以不相等），都有a+b∈S且a﹣b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（）A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合{x|x＝3k，k∈Z}是“和谐集”C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(解析版)
2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B 错误；对于C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；故选：A.2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤0【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.【解答过程】因为命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，所以¬pp：∃xx>2，xx2−1≤0.故选：C.3．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<1【解题思路】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.【解答过程】对于A，1<xx<3是xx<2的不充分不必要条件，A不是；对于B，xx<3是xx<2的一个必要不充分条件，B是；对于C，xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，C不是；对于D，0<xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，D不是.故选：B.4．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.【解答过程】对于①：因为0是{0}的元素，所以0∈{0}，故①正确；对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅ {0}，故②正确；对于③：因为集合{0,1}的元素为0，1，集合{(0,1)}的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以{0,1},{(0,1)}之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合{(aa,bb)}的元素为(aa,bb)，集合{(bb,aa)}的元素为(bb,aa)，两个集合的元素不一定相同，所以{(aa,bb)},{(bb,aa)}不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.5．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【解题思路】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.【解答过程】设zz=xx+2yy=mm(2xx+yy)+nn(xx−yy)，故2mm+nn=1且mm−nn=2，所以mm=1,nn=−1，故zz=xx+2yy=(2xx+yy)−(xx−yy)，由于3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，所以3+(−9)≤2xx+yy−(xx−yy)≤9+(−6)，−6≤xx+2yy≤3，故最小值为−6，此时xx=4,yy=−5，故选：B.6．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}【解题思路】先求出MM，∁UU NN，再求MM∩(∁UU NN)，【解答过程】因为UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU}，所以MM={5,7,9}，因为UU={1,3,5,7,9}，NN={3,7,9}，所以∁UU NN={1,5}，所以MM∩(∁UU NN)={5}．故选：B．7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}【解题思路】根据给定的解集求出aa,bb，再解一元二次不等式即得.【解答过程】由不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，得−2,−1是方程aaxx2+bbxx+2=0的两个根，且aa>0，因此−2+(−1)=−bb aa，且−2×(−1)=2aa，解得aa=1,bb=3，不等式2xx2+bbxx+aa<0化为：2xx2+3xx+1<0，解得−1<xx<−12，所以不等式2xx2+bbxx+aa<0为{xx|−1<xx<−12}.故选：C.8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6【解题思路】根据题意可知2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为aa>bb≥0，则aa+bb>0,aa−bb>0，且2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，则2aa+bb=�32(aa+bb)+12(aa−bb)��6aa+bb+2aa−bb�=10+3(aa−bb)aa+bb+3(aa+bb)aa−bb≥10+2�3(aa−bb)aa+bb⋅3(aa+bb)aa−bb=16，当且仅当3(aa−bb)aa+bb=3(aa+bb)aa−bb，即aa=8,bb=0时，等号成立，所以2aa+bb的最小值为16.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
高一上学期第一次月考数学测试卷带答案
高一上学期第一次月考数学测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 （共6小题）1．若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭和1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 2．设0a >43a a ） A ．16aB ．15aC ．14aD ．13a3．已知1a <233(1)a a -=（ ） A ．－1B ．1C ．21a -D ．12a -4．已知,R x y ∈，则“x y <”是“20242024x y <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时()22xaf x =+，则()1f =（ ） A ．2 B ．4C ．2-D ．4-6．已知3log 2a =，1215b ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<二．多选题（共3小题） 7．下列计算正确的是（ ）A ．1130.0113-= B ．()()2350a a a => C ．()2024202444ππ--D ()360a a a a a =>8．已知14a a -+=，则（ ）A ．11226a a -+= B ．2214a a -+= C ．3352a a -+= D ．123a a --=9．已知9115log log 276a a -=-，则a =（ ） A ．181B 3C ．33D ．81三．填空题（共3小题） 10．求值：211log 338lg1002+++= .11．已知23a =，2log 5b =则15log 8= （用a 、b 表示） 12．若实数1a b >>，且5log log 2a b b a +=，则2ab= .参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C DBCACCDABCBD103a b +1一．选择题（共6小题） 1．C【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，故21331133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b < 又13y x =在(0,+∞)上为增函数，故11332133⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b >，故c b a >>.故选：C. 2．D11414443333a a a a a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．故选：D3．B【详解】因为1a <323(1)111a a a a a a -=-+=-+=，故选：B 4．C【详解】因为指数函数2024x y =的定义域为R ，且在定义域上单调递增 所以当x y <时，20242024x y <成立；当20242024x y <，x y <成立； 所以“x y <”是“20242024x y <”的充要条件，故选：C. 5．A【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-故当0x ≤时()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A6．C【详解】因为331log 2log 32a =>=，1211525b ⎛⎫== ⎪⎝<⎭所以a b >，而112411525b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭故我们构造指数函数1()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到1()4b f =和1()3c f =，由指数函数性质得()f x 在R 上单调递减因为1143<，所以c b <，综上可得c b a <<，故C 正确.二．多选题（共3小题） 7.CD【详解】对A 1111330.0131030-=+=故A 错误；对B ，()()2360a a a =>故B 错误； 对C ，()2024202444ππ-=-故C 正确；对D ()111362360a a a a a a ++==>故D 正确.故选：CD.8．ABC【详解】A ：因为21112224a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，所以11226a a -+=，显然11220a a -+>，所以11226a a -+=故正确；B ：因为()2221216214a a a a --+=+-=-=，故正确；C ：因为()()33122141352a a a a a a ---+=+-+=⨯=，故正确；D ：因为21112224a a a a --⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，所以211222a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11222a a --=11111222223a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=+-=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：ABC.9．BD【详解】设3log a t =，则913log ,log 272a a t t ==，所以原式253t t =-=-，即225120t t --=解得123,42t t =-=，所以31323log ,log 42a t a t ==-==，所以3233a -=81a =. 故选：BD三．填空题（共3小题） 10．10【详解】解：()22111+log 3log 332338+lg100+2=2+lg10+22=2+2+23=10⨯⨯； 故答案为：10.11．3a b +/3b a+ 【详解】因为23a =，则2log 3a =，又因为2log 5b =，所以215222log 833log 8log 15log 3log 5a b===++.故答案为：3+a b. 12．1【详解】因为1a b >>，所以0log 1a b <<，由15log log log log 2a b a a b a b b +=+=解得1log 2a b =或log 2a b =（舍去），所以12a b =，即2a b =，所以21a b =，故答案为：1。
高一上学期第一次月考数学试卷(附带答案)
高一上学期第一次月考数学试卷(附带答案)（满分：150分；考试时间：120分钟）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一.单选题。
（本题共8小题，共40分，每小题只有一个正确选项。
)1.直线√3x －y +2=0的倾斜角是（ ）A.150°B.120°C.60°D.30°2.过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，那么m 的值等于（ ）A.1或3B.1C.4D.1或43.直线l 经过直线x －2y+4=0和直线x + y －2=0的交点，且与直线x+3y+5=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A.3x －y+2=0B.3x+y+2=0C.x －3y+2=0D.x+3y+2=04.已知直线l 1：mx+y －1=0，l 2：(4m －3)x+my －1=0，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为（ ）A.0B.12C.2D.0或125.对于圆C ：x 2+y 2－4x+1=0，下列说法正确的是（ ）A.点4(1，﹣1）在圆C 的内部B.圆C 的圆心为（﹣2,0)C.圆C 的半径为3D.圆C 与直线y=3相切6.在平面直角坐标系xOy 中，以点（0，1）为圆心且与直线x －y －1=0相切的圆的标准方程为（ ）A.(x －1)2+y 2=4B.(x －1)2+y 2=1C.x 2+(y －1)2=√2D.x 2+(y －1)2=27.已知直线l 1：x+2y+t 2=0，l 2：2x+4y+2t －3=0，则当l 1与l 2间的距离最短时，求实数t 的值为（ ）A.1B.12C.13D.28.已知点A(2，﹣3)，B(﹣3，﹣2)，若直线l:mx+y －m －1=0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）A.[﹣34，4]B.[15，+∞)C.（﹣∞，﹣34]∪[4，+∞）D.[﹣4，34]二．多选题.（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选的得0分。
河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
河南省名校联考2024-2025学年上期高一第一次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.下列关系式正确的是A.3∈QB.—1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R2.关于命题q:∀a<b,|a|≤|b|,下列结论正确的是A. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题C. q是全称量词命题，是假命题D. q是全称量词命题，是真命题3.已知集合A={x∈Z|3x―1∈Z},则用列举法表示A=A.{—2,0,2,4}B.{—2,0,1,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数a，b满足1a +2b=1,则a+2b的最小值为A.9B.6C.4D.36.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=A.2B.6C.2或6D.—2或67.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为A.25元B.20元C.15元D.10元【高一数学第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有A.5名B.4名C.3名D.2名二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组对象能构成集合的有A.郑州大学 2024 级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10.已知a>b>0,则使得a+ca >b+cb成立的充分条件可以是A. c=-2B. c=-1C. c=1D. c=211.已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则A. a+b>0B. abc>0C.13a+b+2c>0D.不等式bx²―ax―c>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=10―6,b=6―2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)13.已知a∈R,b∈R,集合{,则(a―b)³=.14.已知m<n<0,则8nm+n ―2mm―n的最大值为▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|-2<x<3},B={x|a-1<x<2a}.(1)若a=2,求A∪B,C∪B;(2)若B⊆A,求a 的取值范围.【高一数学第2页(共4页)】 A116.(15分)给出下列两个结论：①关于x的方程.x²+mx―m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2,使(m+1)x―3=0.(1)若结论①正确，求m 的取值范围；(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.17.(15分)已知正数a,b,c 满足 abc=1.(1)若c=1,求2a +3b的最小值；(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.A11918.(17分)已知a∈R,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3.(1)当a=1时,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求x31+x32;(2)求关于x的不等式y≥1的解集.19.(17分)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.(1)若集合A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；(2)若集合.A=1,m,m²―1是“等差集”，求m的值；(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.【高一数学第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案1. D 3₃∉Q,-1∉N,N ⊆Z,Q ⊆R2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q 是全称量词命题.3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+c<a,a,b,c 不可以构成三角形的三条边.由a,b,c 可以构成三角形的三条边,得a+b>c.故“a+b>c”是“a,b,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.5. A 因为 1a +2b =1,所以 a +2b =(1a +2b)(a +2b )=5+2b a+2a b.又a>0,b>0,所以 2ba + 2ab ≥22b a⋅2ab =4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b 的最小值为9.6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 {y =x 2+ax +1,y =2x ―3,整理得 x ²+(a ―2)x +4=0,则 (a ―2)²―16=0,解得a=-2或6.7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.8. B 如图，由题可知 {a +b +9m +x ―20,a +c +m +z ―21,b +c +m +s ―21,a +b +c +1>22,a +b +z ―12,x +9z +z =24,则 3m=63-2(a+b+c)-(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.9. ABD 由题可知，A ，B ，D 中的对象具有确定性，可以构成集合，C 中的对象不具有确定性，不能构成集合.10. AB 由a +c a>b +c b,得 a +c a ―b +cb=b (a +c )―a (b +c )ab=c (b ―a )ab>0.因为a>b>0,所以c<0.11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y =ax ²+bx +c 的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 {a ―b +c =0,4a +2b +c =0,整理得 {b =―a ,c =―2a ,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由【高一数学·参考答案 第 1页(共4 页)】 ·A1·{4a―2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为{b=―a,c=―2a,所以bx²―ax―c=―ax²―ax+2a>0,即x²+x―2<0,,解得-2<x<1,D正确.12.<a―b=10+2―26,因为( 10+2)2=12+45,(26)2=24,45<12(所以(10+2)2<(26)2,则10+2<26,从而a<b.13.8 由a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或a=a².若a=0,则a²=0,，不符合集合元素的互异性.若a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而((a―b)³=8.14.―18nm+n ―2mm―n―4(m+n)―4(m―n)m+n―(m+n)+(m―n)m―n=3―[4(m―n) m+n +m+nm―n].因为m<n<0,所以4(m―n)m+n >0,m+nm―n>0,则4(m―n)m+n+m+nm―n≥24(m―n)m+n⋅m+nm―n=4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为-（1）由a=2,得B={x|1<x<4}, ... 1分 (1)则或x≥4}. ... 3分 (3)因为A={x|-2<x<3},所以A∪B={x|-2<x<4}................................................5分（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A (7)若B≠∅,则由B⊆A,得分 (9)解得 (11)综上所述，a的取值范围为 (13)16.解:（1）由结论①正确,得分 (3)解得-6<m<2 (5)故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6<m<2}....................................6分（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. ... 7分 (7)若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分 (8)从而解得 (10)当结论①正确，结论②不正确时， (12)当结论②正确,结论①不正确时,m≥2 (14)综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}..........15 17.解分 (1)则 (4)当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆ (6)（2）因为, (8)当且仅当a=b=c=1时,等号成立,... 9分 (9)所以分 (10) (12)当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, ... 14分 (14)所以的最小值为8………………………………………………………………………………15分18.解:(1)当a=1时,y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程x²+5x+5=0的两个实数根， (2)由{x21+5x1+5=0, x22+5x2+5=0,得{x 31=―5x21―5x1,x32=―5x22―5x2, 4分则x i+x32=―5(x21+x22)―5(x1+x2)=―5[(x1+x2)2―2x1x2]+25=―75+25=―50.6分(2)由y≥1,得ax²+(3a+2)x+2a+2≥0.当a=0时，不等式整理为………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7分当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=...............................................................................................................9分当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1} (11)当--2<a<0时,―1<―2a+2a,则原不等式的解集为{x|―1≤x≤―2a+2a};当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；...............................................................15分当a<-2时,则原不等式的解集为 (17)【高一数学·参考答案第3页(共4页)】 ·A1·…13分1,3,5或1,5,9,………………………………………………………………………… (1)故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}...........................................4分（2）解:由A 是“等差集”,得, ... 5 分 (5)且m≥2,则 (6)（舍去）或m=2 (8)当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2 (9)（3）证明:假设{x,x²,x³, (10)则存在1≤i<j<k≤n,其中i,j,k∈N*,使得 (11)即则分 (12)因为1≤i<j<k≤n,所以k-i>j-i,从而k-i≥j-i+1,... 13分 (13)则2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分则分 (15)因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2, (16)不是“等差集” (17)【高一数学·参考答案第 4 页(共4页)】。
安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题
安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-=，则下列选项中说法不正确的是（ ）A ．A ∅⊆B ．2A -∈C ．{}0,2A ⊆D ．{}3A y y ⊆<2．如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()M N P ⋂⋂B ．()M N P ⋃⋂C ．()()U M N P ⋂⋂ðD ．()()U M N P ⋃⋂ð3．已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值不可能为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．设集合{}1,2,3A =，{}0,1,2,4B =，定义集合{}(,)|,,S a b a A b B a b ab =∈∈+>，则集合S 中元素的个数是（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．95．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（ ）A ．[,)22ππ-，(,0)2π-B ．[,]22ππ- ，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π-D ．(,)22ππ-，[,0)2π-6．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．40a -<?B ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤7．若a 、b 、c 是互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a c b >>8．已知0a >，0b >，2>c ，且2a b +=，则2ac c c b ab +- ）A BC ．D ．二、多选题9．已知,a b 为正实数，且216ab a b ++=，则（ ） A ．ab 的最大值为8 B ．2a b +的最小值为8C ．1112+++a b D ．19b a +- 10．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为M ，则下列说法正确的是（ ）A ．若M =∅，则0a <且240b ac -≤B ．若a b ca b c ''='=，则关于x 的不等式20a x b x c ''+'+>的解集也为M C ．若{|12}M x x =-<<，则关于x 的不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0,N x x =<或3}x >D ．若00,{|M x x x x =≠为常数}，且a b <，则34a b cb a++-的最小值为5+11．我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设A ，B 为两个集合，称由所有属于集合A 但不属于集合B 的元素组成的集合为集合A 与集合B 的差集，记为A B -，即{}|A B x A x B -=∈∉．下列表达式一定正确的是（ ）A ．()()AB B A -⋂-=∅ B ．()()A B B A A B --=U UC ．()()A A B B B A --=--D ．()()A B B A B A -=-U U三、填空题12．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围为.13．关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是．14．设a ∈R ，若0x >时，均有()()22110a x x ax ⎡⎤----≥⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为四、解答题15．已知集合{|215}A x x =-≤-≤、集合{|121}B x m x m =+≤≤-（m ∈R ）. (1)若A B =∅I ，求实数m 的取值范围；(2)设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．设2()6f x mx mx m =--+.(1)若对于[2,2]m ∈-，()0f x <恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∀∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围. (3)解关于x 的不等式2(1)21()mx m x m m m +-+-<-∈R .17．LED 灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为4万元每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()100739W x x x =+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？18．已知实数[],1,1x y ∈-，{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，求{}22max 1,2x y x y -+-的最小值以及取最小值时,x y 的值．19．已知{}()1,2,,3n S n n =≥L ，{}()12,,,2k A a a a k =≥L 是n S 的子集，定义集合{}*,i j i j i j A a a a a A a a =-∈>且，若{}*n A n S =U ，则称集合A 是n S 的恰当子集．用X 表示有限集合X 的元素个数．(1)若5n =，{}1,2,3,5A =，求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集； (2)已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，求a ，b 的值并说明理由； (3)若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，求n 的最大值．。
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高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B.C. D.2.已知集合到的映射，那么集合中元素在中对应的元素是（）A. B. C. D.3.设集合，，若，则的范围是（）A. B. C. D.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.5.全集，集合，，则集合A. B.C. D.6.已知集合，，则A. B. C. D.7.下列函数是奇函数的是（）A. B.C. D.，8.化简：A. B.C.或D.9.集合，，给出下列四个图形，其中能表示以为定义域，为值域的函数关系的是（）A. B.C. D.10.已知，且为奇函数，若，则A. B. C. D.11.，则等于（）A. B. C. D.12.已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则________．14.已知，则________．15.定义在上的奇函数，当时，；则奇函数的值域是________．16.关于下列命题：①若函数的定义域是，则它的值域是；②若函数的定义域是，则它的值域是；③若函数的值域是，则它的定义域一定是；④若函数的定义域是，则它的值域是．其中不正确的命题的序号是________．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，，，求；求18.设，，．若，求实数的值；若，，求实数的值．19.已知函数判断函数的奇偶性，并加以证明；用定义证明在上是减函数；函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．20.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域．21.设函数，若，且对任意实数不等式恒成立．求实数、的值；当时，是增函数，求实数的取值范围．22.已知是定义在上的函数，若对于任意的，，都有，且，有．求证：；判断函数的奇偶性；判断函数在上的单调性，并证明你的结论．答案1. 【答案】B【解析】根据题意，易得集合的元素为全体大于的有理数，据此分析选项，综合可得答案．【解答】解：∵集合，∴集合中的元素是大于的有理数，对于，“”只用于元素与集合间的关系，故错；对于，不是有理数，故正确，错，错；故选：．2. 【答案】B【解析】由已知集合到的映射中的与的对应关系，可得到答案．【解答】解：∵集合到的映射，∴．∴集合中元素在中对应的元素是．故选：．3. 【答案】A【解析】根据两个集合间的包含关系，考查端点值的大小可得．【解答】解：∵集合，，，∴，故选：．4. 【答案】B【解析】原函数只含一个根式，只需根式内部的代数式大于等于即可．【解答】解：要使函数有意义，则需，即，所以原函数的定义域为．故选：．5. 【答案】A【解析】利用补集的定义求出，再利用并集的定义求出．【解答】解：∵，，∴∵，∴故选：6. 【答案】B【解析】分别把两集合的解集表示在数轴上，根据数轴求出两集合的并集即可．【解答】解：把集合，，表示在数轴上：则．故选7. 【答案】A【解析】由条件利用函数的奇偶性的定义，得出结论．【解答】解：∵函数的定义域为，且满足，故函数是奇函数；∵函数的定义域为，且满足，故函数是偶函数；∵函数的定义域为，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；∵函数，的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故选：．8. 【答案】A【解析】由，得，由此能求出原式的值．【解答】解：．故选：．9. 【答案】B【解析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．【解答】解：由题意可知：，，对在集合中内的元素没有像，所以不对；对不符合一对一或多对一的原则，故不对；对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而符合函数的定义．故选：．10. 【答案】C【解析】由已知可知，可求，然后把代入可求【解答】解：∵，，∴∴∵为奇函数则故选：11. 【答案】C【解析】应从内到外逐层求解，计算时要充分考虑自变量的范围．根据不同的范围代不同的解析式．【解答】解：由题可知：∵，∴，∴，∴故选12. 【答案】B【解析】等价于，根据，是其图象上的两点，可得，利用函数是上的增函数，可得结论．【解答】解：等价于，∵，是其图象上的两点，∴∵函数是上的增函数，∴∴的解集是故选：．13. 【答案】【解析】先求的值，判断出将代入解析式；再求，判断出将代入解析式即可．【解答】解：∵∴故答案为：14. 【答案】【解析】可用换元法求解该类函数的解析式，令，则代入可得到即【解答】解：由，令，则代入可得到∴故答案为：．15. 【答案】【解析】根据函数是在上的奇函数，求出；再根据时的解析式，求出的解析式，从而求出函数在上的解析式，即可求出奇函数的值域．【解答】解：∵定义在上的奇函数，∴，设，则时，∴∴奇函数的值域是：故答案为：16. 【答案】②③【解析】逐项分析．①根据一次函数的单调性易得；②根据反比例函数的图象和性质易知其值域应为；③可举反例说明；④利用均值不等式可得．【解答】解：①当时，，故①正确；②由反比例函数的图象和性质知，当时，，故②错误；③当函数定义域为时，函数值域也为，故③错误；④当时，．因为，所以，故④正确．综上可知：②③错误．故答案为：②③．17. 【答案】解：依题意有：，，，∴，故有．; 由，；故有．【解析】先用列举法表示、、三个集合，利用交集和并集的定义求出，进而求出．; 先利用补集的定义求出和，再利用并集的定义求出．【解答】解：依题意有：，，，∴，故有．; 由，；故有．18. 【答案】解：由题意知：∵∴和是方程的两根．由得．; 由题意知：∵，∴∴是方程的根．∴∴或当时，，；当时，符合题意故．【解析】先根据，化简集合，根据集合相等的定义，结合二次方程根的定义建立等量关系，解之即可；; 先求出集合和集合，然后根据，，则只有，代入方程求出的值，最后分别验证的值是否符合题意，从而求出的值．【解答】解：由题意知：∵∴和是方程的两根．由得．; 由题意知：∵，∴∴是方程的根．∴∴或当时，，；当时，符合题意故．19. 【答案】证明：函数为奇函数; 设，且∵，∴，，∵∴．∴，因此函数在上是减函数; 在上是减函数．【解析】用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．; 先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，; 由函数图象判断即可．【解答】证明：函数为奇函数; 设，且∵，∴，，∵∴．∴，因此函数在上是减函数; 在上是减函数．20. 【答案】解：因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，补出完整函数图象如有图：所以的递增区间是，．; 设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以时，，故的解析式为值域为【解析】因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，由此补出完整函数的图象即可，再由图象直接可写出的增区间．; 可由图象利用待定系数法求出时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到．【解答】解：因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，补出完整函数图象如有图：所以的递增区间是，．; 设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以时，，故的解析式为值域为21. 【答案】解：∵，∴．…∵任意实数均有成立，∴．解得，．…; 由知，∴的对称轴为．…∵当时，是增函数，∴，…∴实数的取值范围是．…【解析】利用，且对任意实数不等式恒成立，列出方程组，求解即可．; 求出函数的对称轴，利用函数的单调性列出不等式，求解即可．【解答】解：∵，∴．…∵任意实数均有成立，∴．解得，．…; 由知，∴的对称轴为．…∵当时，是增函数，∴，…∴实数的取值范围是．…22. 【答案】解：由，令，∴，∴．; 由，令，∴，即，且，∴是奇函数．; 在上是增函数．证明：在上任取，，并且，∴．∵，即，∴，∴在上是增函数．【解析】直接令，代入即可；; 令，所以有，即证明为奇函数；; 直接利用函数的单调性定义证明即可；【解答】解：由，令，∴，∴．; 由，令，∴，即，且，∴是奇函数．; 在上是增函数．证明：在上任取，，并且，∴．∵，即，∴，∴在上是增函数．。