11.4矩阵的其它运算

下面我们谈谈准对角矩阵的概念及最简单的性质． 下面我们谈谈准对角矩阵的概念及最简单的性质． 阶方阵， 设Ａ为n阶方阵，则形如 阶方阵 A 1 O A2 A= , ⋱ O As n 的矩阵， 阶方阵， 的矩阵，其中 A 为 ni × ni 阶方阵， 1 + n2 +⋯+ ns = n i 表示适当类型的零矩阵． 而Ｏ表示适当类型的零矩阵． 这样的矩阵称为准对角矩阵或分块对角矩 阵．n ,⋯, n ) 型 (n1, 2 s 由名称即可知道， 由名称即可知道，准对角矩阵不过是分块矩阵的特殊 情形．关于一般的分块矩阵的内容请参看其他教材． 情形．关于一般的分块矩阵的内容请参看其他教材．
T
对矩阵的共轭转置运算有下列性质： 对矩阵的共轭转置运算有下列性质： (1)( A*)* = A; ( 2)( A + B )* = A * + B*;
(3)(kA)* = kA*; (4)( AB)* = B* A*
特别注意(3)和 ！ 特别注意 和(4)！
三、Ｕ矩阵与Ｈ矩阵 、Ｕ矩阵与Ｈ 矩阵与
特别地， 则是数量矩阵． 特别地，如果 d1 = d2 = ⋯= dn = k, 则是数量矩阵． 对于两个n阶对角矩阵的乘法，交换律是成立的， 对于两个 阶对角矩阵的乘法，交换律是成立的， 阶对角矩阵的乘法 即 diag(c1, c2 ,⋯, cn ) ⋅ diag(d1, d2 ,⋯, dn ) = diag(d1, d2 ,⋯, dn ) ⋅ diag(c1, c2 ,⋯, cn ) 13 = diag(c1d1, c2d2 ,⋯, cndn ) ⋅
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２．Ｈ矩阵与对称矩阵 ．Ｈ矩阵与对称矩阵
厄米特Hermite矩阵 矩阵 厄米特
如果方阵Ａ 则称为Ｈ矩阵． 定义 如果方阵Ａ满足 A = A, 则称为Ｈ矩阵． * 特别地， 是实矩阵，则是对称矩阵． 特别地，如Ａ是实矩阵，则是对称矩阵． 即对称矩阵是特殊的厄米特矩阵． 即对称矩阵是特殊的厄米特矩阵． 由定义可知：Ｈ矩阵中， 由定义可知：Ｈ矩阵中，关于主对角线对称的元素 ：Ｈ矩阵中 是互相共轭的复数， 是互相共轭的复数，即 aij = aji , 而对角线上元素全 是实数． 是实数． 而对称矩阵的条件可改写为 AT = A, 其关于主对角线对称的元素必相等， 其关于主对角线对称的元素必相等，即 aij = aji . 对称阵在讨论二次型时起着关键的作用． 对称阵在讨论二次型时起着关键的作用．
其中 aij = a ji 这里的矩阵Ａ 这里的矩阵Ａ就 是一个对称矩阵 x1 而 x = x2 x 3
+ a31 x3 x1 + a32 x3 x2 + a33 x3 x3 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = ( x1 x2 x3 ) a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 a x + a x + a x 31 1 32 2 33 3 a11 a12 a13 x1 = ( x1 x2 x3 ) a21 a22 a23 x2 a a32 a33 x3 31 12 = xT Ax
(4) A + (− A) = 0, A − B = A + (− B ).
(5) A( B + C ) = AB + AC
( A + B )C = AC + BC
由于矩阵乘法不满足交换律，故分配律有两个． 由于矩阵乘法不满足交换律，故分配律有两个．3
数乘矩阵的概念我们已经介绍过． 数乘矩阵的概念我们已经介绍过．即 λ(aij ) = (λaij ) 对于数乘矩阵，下列运算律是成立的： 对于数乘矩阵，下列运算律是成立的：
１．Ｕ矩阵与正交矩阵 ．Ｕ矩阵与正交矩阵
Unitary, Hermite matrix
下面要介绍的是另外几种特殊的矩阵． 下面要介绍的是另外几种特殊的矩阵． 若一个矩阵Ａ 称为酉矩阵． 定义 若一个矩阵Ａ满足条件 A* = A−1, 称为酉矩阵． 特别地，如果Ａ是实矩阵，则称为正交矩阵． 特别地，如果Ａ是实矩阵，则称为正交矩阵． 由此可知：正交矩阵不过是实的Ｕ矩阵． 由此可知：正交矩阵不过是实的Ｕ矩阵．
§１１．４ 矩阵的其它运算 １１．
１．矩阵的线性运算 ２．转置矩阵与共轭转置矩阵 ３．Ｕ矩阵与Ｈ矩阵 ．Ｕ矩阵与Ｈ 矩阵与 ４．对角矩阵与准对角矩阵
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一、矩阵的线性运算
定义 设Ａ和Ｂ是两个同型矩阵，则把两个矩阵 是两个同型矩阵， 的对应元素相加而得到的矩阵称为矩阵Ａ 的对应元素相加而得到的矩阵称为矩阵Ａ 的和，记作Ａ＋Ｂ． 与Ｂ的和，记作Ａ＋Ｂ． 3 2 6 − 3 A = − 2 0 B = 3 7 例如： 例如： 5 4 4 − 2 −2 3 + 6 2 − 3 9 −1 则 A+ B = − 2 + 3 0 + 7 = 1 7 5 + 4 4 − 2 9 2 必须注意：只有两个同型的矩阵才能相加！ 必须注意：只有两个同型的矩阵才能相加！
11
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + a22 x2 如： 2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x3 可以重新 f ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 x1 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 排列为 + a21 x2 x1 + a22 x2 x2 + a23 x2 x3
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酉矩阵的几个重要性质： 酉矩阵的几个重要性质： （１） U * = U −1 ⇔ UU * = E ⇔ U * U = E 因此以上三式都可以当作是酉矩阵的定义． 因此以上三式都可以当作是酉矩阵的定义． 其中第二式说明酉矩阵 (aij )n的行满足正交条 件． 每一行的元素的模的平方和等于１ 即 每一行的元素的模的平方和等于１，
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在后一种情况下， 故正交矩阵的定义可改为： 在后一种情况下， * = AT 故正交矩阵的定义可改为： A 矩阵Ａ 矩阵Ａ称为正交矩阵 ⇔ AT = A−1
⇔ AAT = E
其中最后的定义是数学中最常用的定义． 其中最后的定义是数学中最常用的定义． cos α − sin α 例如 R = sin α cos α cos α sin α −1 满足 R' = =R − sin α cosα 故Ｒ是正交矩阵． 是正交矩阵． 对应于Ｕ矩阵和正交矩阵的线性变换是所谓的酉 对应于Ｕ 变换和正交变换． 变换和正交变换．
U = a ⇒ U * = a,
UU * = E ⇒ U U * = a ⋅ a = a = 1
2
（３）两个同阶Ｕ矩阵的乘积是Ｕ矩阵． 两个同阶Ｕ矩阵的乘积是Ｕ矩阵．
− (U1U 2 )* = U 2 * U 1* = U 2 1U 1−1 = (U 1U 2 )−1
也是Ｕ矩阵． （４）若Ｕ是Ｕ矩阵，则 U * 矩阵， 也是Ｕ矩阵． 把上面４条性质中的酉矩阵换成正交矩阵， 把上面４条性质中的酉矩阵换成正交矩阵， * U 换为 UT 那么４条性质也成立． 那么４条性质也成立． 为什么? 为什么
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矩阵分块是为了简化对较高阶数的矩阵的计算． 矩阵分块是为了简化对较高阶数的矩阵的计算．因为 分块矩阵的运算非常简单． 分块矩阵的运算非常简单． 对同类型的分块对角矩阵 0 0 A B1 1 A2 B2 A= B = ⋱ ⋱ 0 0 Ak Bk 如果下面的运算都有意义，则运算性质有： 如果下面的运算都有意义，则运算性质有： 0 A + B1 1 A + B2 2 （１） A + B = ⋱ 0 Ak + Bk
、 为矩阵， 为数） （设 A、B为矩阵，λ , µ为数）
(1) (λµ ) A = λ (µA); (2) (λ + µ ) A = λA + µA; (3 ) λ ( A + B ) = λA + λB .
(4)λ ( AB ) = (λA) B = A(λB )
当然AB要有意义 wk.baidu.com然 要有意义 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算. 性运算. 4
二、矩阵的转置与共轭转置 Transpose, conjugate
定义 把一个矩阵的行变成列，而列变成行所得到 把一个矩阵的行变成列， 的新的矩阵叫原矩阵的转置矩阵．矩阵Ａ 的新的矩阵叫原矩阵的转置矩阵．矩阵Ａ的 转置矩阵记作 A' 或 AT 3 2 3 − 2 5 T 例如： 例如： A = − 2 0 则 A'= A = 5 4 2 0 4 cos α − sin α cos α sin α R= R' = = R −1 sin α cos α − sin α cosα 旋转变换
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矩阵加法的运算规律
(1) A + B = B + A;
− a11 − a 21 (3 ) − A = ⋯ −a m1 − a12 − a 22 ⋯ − am1
交换律
(2) ( A + B ) + C = A + (B + C ). 结合律
⋯ − a1 n ⋯ − a2 n = (− aij ), ⋯ ⋯ 称作矩阵Ａ 称作矩阵Ａ ⋯ − a mn 的负矩阵． 的负矩阵．
四、对角矩阵与准对角阵
先前我们已经给出了对角矩阵为形如
d1 0 ⋯ 0 0 d2 ⋯ 0 diag (d1 , d 2 ,⋯, d n ) = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 d n 的方阵，即除对角线上的元素外，其它元素全是０ 的方阵，即除对角线上的元素外，其它元素全是０．
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对于矩阵的转置运算，下列性质成立： 对于矩阵的转置运算，下列性质成立：
(1)( AT )T = A; ( 3)( kA)T = kAT ;
( 2)( A + B )T = AT + BT ;
特别注意顺序！ (4)( AB) = B A 特别注意顺序！
T T T
共轭转置矩阵的概念与性质 定义 Ａ是复矩阵，若把其所有元素都改成共轭 是复矩阵， 复数，得到矩阵Ａ 复数，得到矩阵Ａ的共轭矩阵 A ； 的共轭转置矩阵． A 的转置矩阵 A 叫Ａ的共轭转置矩阵． A* 即 A* = AT 注意区分伴随矩阵！ 记作 注意区分伴随矩阵！ 2 2 − 3i 例如 3i − 3i 2i 5 A = − 2i 0 , A = 2i 0 , A* = 5 4−i 5 4+ i 2 0 4+i 6
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0 A B1 1 A B2 2 （２） AB = ⋱ 0 Ak Bk A −1 0 1 −1 A2 −1 （３） A = ⋱ −1 0 A k AT 0 1 T A2 T （ ） A = ⋱ T 0 Ak
∑ | aij |
j =1
n
2
= ∑ aij ⋅ aij = 1
j =1
n
每一行的元素与另一行的对应元素的共轭复数 的乘积之和为０ 的乘积之和为０
∑ aij ⋅ akj = 0
j =1
n
i≠k
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而第三式说明酉矩阵的列是满足正交条件的． 而第三式说明酉矩阵的列是满足正交条件的． （２）酉矩阵的行列式的模是１． 酉矩阵的行列式的模是１ 只须对等价定义中的第二式或第三式取行列式 即可知． 即可知．