概率论问题整理
概率论重点题
概率统计重难点题1．已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =2．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 3．在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=4．某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =2ln X 的分布函数及密度函数.【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1X P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥ /21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩05．设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为6．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y yx y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他 所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他 |1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 7．设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y ==而 11001()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 112)()XY D Y ρ-===- 8．某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，0.7）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().P X m P X m =≤≤=≤=Φ查表知 1.64,= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.9．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩第人治愈其他令1001.i i X X ==∑(1) X ~B (100,0.8)，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,0.7)，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ= 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为X i 0 1 2 P0.050.80.15易知E （X i =1.1）,D (X i )=0.19,i =1,2,…,400. 而400i i X X =∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).4000.19419iiXN -⨯=⨯⨯∑近似地于是{450}1{450}1419P X P X >=-≤≈-Φ⎪⨯⎝⎭1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y ≤≈Φ=Φ=⨯⨯11.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 12.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他 X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计.【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=13.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1） 似然函数111(,)e eniii n n x x n n i i i L f x θθθθθ=--==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln nii L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L nx θθ==+=∏知 11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑14. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N (4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）? 【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55) 3.851,0.108.H H n Z Z x x Z Z Z αμμμμασ==≠=======-===-> 所以拒绝H 0，认为总体平均值有显著性变化.15. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.16. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为 1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
一些经典的概率问题
一些经典的概率问题1.布丰针问题问题：给定间距为2a的平行线，将长度为2c(c<a)的棒随机投向地板〔随机的含义是独立随机的x,y坐标和角度〕，问相交概率。
解答：限定棒的中心和线的间隔不超过a的情况下，考虑棒的一端和某一条特定的直线相交的概率：显见在特定的角度下，相交的概率是心、线间隔的概率，也就是，计算得。
注意到和x的分布是独立的、均匀的，它们的分布函数互相不影响，所以我们在计算概率的时候将这两个变量别离，进展累次积分〔假如互相影响，要先解方程找出至少一个独立的，再积分〕：最后的P就是答案。
2.多边形布丰针问题〔HDU4978〕问题：给定间距为2a的直线和直径不超过2a的凸多边形，随机投掷凸多边形，问相交概率。
解：我们假定不知道上一问的答案〔实际上这道题有现成的结论〕，完好地再推一遍。
当然我们可以认为是对连续多条边的积分，不过这里我们改成对点的积分，考虑一条直线从a间隔处不断向着中心靠拢，最先碰到的是哪个顶点呢？以A顶点为例，显然是。
这里我们把它拆分开，对于凸多边形的每一条边，计算它的两个端点：3.拉普拉斯针问题问题：给定正交的间距为2a和2b的平行线，将长度为2c(c<a<b)的棒随机投向地板，问相交概率。
答案：4.圆上的布丰针问题〔原作者〕问题：给定一个半径为R的圆，将长度为2d的棒随机投向圆中，分d<R和d>R讨论交点个数z=0、1、2的概率。
解答：这里“随机〞是有两种理解的。
一种是点随机〔先x坐标再y坐标〕，一种是矢径角随机〔先取中心到针的间隔 u再取角度〕。
就像我们在一个棒上取两个点，是同时取还是先后取概率会不一样。
当然，交度在这一题中没有意义。
为了计算方便，我们采取第一种理解方法，这样圆内每一块区域取到的概率和它的面积成正比，而u的概率分布函数为：分类讨论如下：A.d>2R显然P(z=2)=1,P(z=1)=P(z=0)=0B.2R>=d>R此时一定有P(z=0)=0B1.0<u<=d-R此时一定有两个交点p1(u)=0,p2(u)=1B2.d-R<u<=R此时如图：有，由余弦定理：因此令，积分得：P(z=1)的结果是1减去上述值。
九类常见概率问题求解方法
九类常见概率问题求解方法在概率论中，有许多常见的问题可以通过一些常用的方法来解决。
以下是九类常见的概率问题及其求解方法：1. 排列组合问题当问题涉及到选择或安排元素的顺序时，我们可以使用排列组合的方法来解决。
排列是指从给定的元素集合中选取一些元素并按照一定的顺序排列，组合是指从给定的元素集合中选取一些元素，不考虑顺序。
排列组合问题可以通过计算阶乘、直接应用排列组合公式或使用递推关系式来求解。
2. 条件概率问题当问题给出了一些额外的条件时，我们可以使用条件概率来解决。
条件概率是指在已知某些条件下，事件发生的概率。
通过应用条件概率公式，我们可以求解出事件在给定条件下的概率。
3. 独立事件问题若多个事件之间的发生不会互相影响，则这些事件是独立事件。
对于独立事件问题，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解整个事件链的概率。
4. 联合概率问题当问题涉及到多个事件同时发生的概率时，我们可以使用联合概率来解决。
联合概率是指多个事件同时发生的概率。
通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解联合概率。
5. 互斥事件问题互斥事件是指两个事件之间不能同时发生的情况。
当问题涉及到互斥事件的概率时，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相加来求解整体概率。
6. 逆概率问题当问题给出了事件发生的概率，我们可以使用逆概率来解决。
逆概率是指已知事件发生的概率，求解事件不发生的概率。
通过使用补集的概念，即1减去事件发生的概率，我们可以求解逆概率。
7. 条件逆概率问题当问题给出了事件发生的条件概率，我们可以使用条件逆概率来解决。
条件逆概率是指已知事件发生的条件下，求解事件不发生的概率。
通过使用补集公式和条件概率公式，我们可以求解条件逆概率。
8. 边际概率问题当问题给出了多个事件的联合概率和条件概率时，我们可以使用边际概率来解决。
边际概率是指在多个事件联合发生的情况下，某个单独事件发生的概率。
通过应用边际概率公式和条件概率公式，我们可以求解边际概率。
概率论简答题[整理版]
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概率论简答题1．1。
互不相容事件与等可能事件、对立事件及其相互独立事件有什么区别互不相容事件：不可能同时发生的两个事件等可能事件：事件发生概率是等可能的对立事件：亦称“逆事件”，不可能同时发生相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件2．概率为1的事件的积概率是1么？= =这题太囧了。
如果是相互独立的事件，其积的概率是1。
如果不是互相独立的时间，其积不一定是13．直接计算古典概型有哪些计算方法？并举简单例子说明对任意事件A有：P(A)=A中的样本点数\总样本点数=M\N袋中取球问题、排序问题4．古典概型有哪些基本问题？举例说明。
摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题5．几何概型有什么特点又如何计算。
特点：A.试验的样本空间是直线上某个有限区间，或者是平面、空间上的某个度量有限的区域，即样本空间含有无限多个样本点B．每个样本点的发生具有等可能性，即随机试验的结果落入样本空间中的任一子间或子区域的可能性大小只与该子区间的长度或该子区域的面积、体积成正比，而与其形状和相对位置无关。
计算：P（A）=M(D)\M(样本空间)6．如何正确计算条件概率和应用乘法公式。
P17。
应用……7．如何应用全概率公式和贝叶斯公式。
P19。
8．如何理解“独立事件”……9．如何证明几个事件相互独立P(A1A2A3……)=P(A1)P(A2)P(A3)……10．比赛双方实力相当，问9场比赛中赢5场和5场比赛中赢3场，哪一个可能性大？11．作用：分布律是对离散型随机变量的取值及概率的全面描述，而对于非离散型随机变量，由于其可能的取值不能一一列举，因而分布律不在有效。
因此，转而研究随机变量所取之值落在一个区间的概率P(x1<X<=x2)。
由于P(x1<X<=x2)= p(X<=x2)-P(X<=x1)，故只需考察P(X<=x)，这样方便人们研究。
概率论疑难问题
概率论疑难问题概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的概率规律和数学模型。
在学习概率论的过程中，我们常常会遇到一些疑难问题，这些问题可能涉及到概率计算、概率分布、条件概率等方面。
本文将针对一些常见的概率论疑难问题展开讨论。
问题一：齐次平面上随机距离的期望值在齐次平面上，我们随机选择两点A和B，并计算它们之间的距离d。
假设点A和点B的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，且A、B的横、纵坐标是独立的均匀分布在[0,1]上的随机变量。
求这两点之间的距离d的期望值。
解答一：设两点之间的距离为d，则有d=sqrt((Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2)。
根据题设，我们知道Ax、Ay、Bx、By均服从[0,1]上的均匀分布。
因此，距离d可以表示为d=sqrt((u-v)^2+(w-x)^2)，其中u、v、w、x分别为[0,1]上的随机变量。
由概率论的知识可知，两个随机变量之和的期望等于各自期望的和。
因此，我们可以分别计算(u-v)^2和(w-x)^2的期望，然后将它们的和开平方即可得到距离d的期望值。
首先计算(u-v)^2的期望。
根据均匀分布的性质，随机变量的二阶中心矩（方差）为(1-0)^2/12=1/12。
因此，(u-v)^2的期望为1/12。
类似地，计算(w-x)^2的期望。
同样根据均匀分布的性质，(w-x)^2的期望也为1/12。
将(u-v)^2和(w-x)^2的期望求和，得到1/6。
最后开平方，即得到距离d的期望值为sqrt(1/6)。
所以，齐次平面上随机距离的期望值为sqrt(1/6)。
问题二：投掷硬币连续出现正反面的期望次数假设我们进行一次投掷硬币实验，每次投掷硬币出现正面的概率为p，出现反面的概率为q=1-p。
连续投掷硬币，直到出现连续n次相同的一面为止。
求进行这个实验的期望次数。
解答二：我们将进行这个实验的期望次数记为E(n)。
当n=1时，即出现连续1次相同一面，那么实验次数只需要1次，即E(1)=1。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
运用概率论解决实际问题
运用概率论解决实际问题概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的发生概率以及随机变量的性质。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，而概率论可以帮助我们解决这些问题。
本文将通过几个实际问题的例子，来说明如何运用概率论解决实际问题。
一、抛硬币问题假设我们有一枚均匀的硬币，正面和反面的概率都是50%。
现在我们进行一次抛硬币的实验，问这枚硬币正面朝上的概率是多少？根据概率论的基本原理，我们知道正面朝上和反面朝上是互斥事件，且它们的概率之和为1。
因此，正面朝上的概率为0.5，即50%。
二、生日悖论问题生日悖论是概率论中的一个经典问题。
假设有一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？为了解决这个问题，我们可以先考虑只有两个人的情况。
第一个人的生日可以是任意一天，而第二个人的生日要与第一个人的生日相同的概率是1/365。
因此，至少有两个人生日相同的概率为1/365。
当房间里的人数增加到3个时，我们可以先考虑前两个人的生日不相同的情况。
第三个人的生日要与前两个人的生日都不相同的概率是364/365。
因此，至少有两个人生日相同的概率为1 - 364/365。
以此类推，当房间里的人数增加到n个时，至少有两个人生日相同的概率为1 - 365/365 * 364/365 * ... * (365-n+1)/365。
三、赌博问题假设我们去赌场玩一个游戏，游戏规则如下：我们每次下注1元，如果赢了，我们可以得到2元，如果输了，我们就损失1元。
现在我们想知道，如果我们连续玩n次这个游戏，最终能够赢得的钱数的期望是多少？为了解决这个问题，我们可以先考虑只玩一次这个游戏的情况。
赢得的钱数为2元的概率是1/2，损失的钱数为1元的概率也是1/2。
因此，赢得的钱数的期望为(2 * 1/2) + (-1 * 1/2) = 1/2元。
当连续玩n次这个游戏时，赢得的钱数的期望为n * (1/2) = n/2元。
通过以上几个实际问题的例子，我们可以看到概率论在解决实际问题中的重要性。
概率论常考题精讲
概率论常考题精讲概率论作为数学的一门重要分支，应用广泛，不仅在学术研究中有着重要地位，而且在实际生活和工作中也有着广泛的应用。
在高等教育阶段，概率论是必修课程之一，常常作为考试的重要内容。
本文将为大家精讲几道常见的概率论考题，希望能够帮助大家更好地掌握和应用概率论知识。
1. 硬币抛掷问题硬币抛掷问题是概率论中的经典题目之一。
假设有一枚均匀的硬币，抛掷10次，问出现正面朝上的次数是7次的概率是多少？解析：对于一次抛掷硬币的结果，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
由于每次抛掷是独立的，所以事件的概率可以相乘。
根据二项分布的公式，我们可以计算出概率：P(出现7次正面朝上) = C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3其中，C(10, 7)表示从10次抛掷中选取7次出现正面朝上的组合数，计算得到C(10, 7) = 120。
代入计算得：P(出现7次正面朝上) = 120 * (0.5)^7 * (0.5)^3 = 0.117所以，出现7次正面朝上的概率是0.117。
2. 生日悖论生日悖论是概率论中的另一个经典问题。
假设在一个班级里有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解析：假设一年有365天，忽略闰年的影响，并且每个人的生日独立且均匀分布在这365天中。
我们可以利用概率的补集来计算至少有两个学生生日相同的概率。
首先，计算所有学生生日都不相同的概率。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
而第二个学生的生日不能与第一个学生相同，所以概率为364/365，以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生相同，概率为336/365。
所有学生生日都不相同的概率为：P(所有学生生日都不相同) = (365/365) * (364/365) * ... * (336/365) ≈ 0.293所以至少有两个学生生日相同的概率为：P(至少有两个学生生日相同) = 1 - P(所有学生生日都不相同) ≈ 1 - 0.293 = 0.707所以，至少有两个学生生日相同的概率约为0.707。
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六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y rDedxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8rrred eee------=-=-⎰；（2）22818x y E Z E edxdy π+-+∞+∞-∞-∞==⎰⎰2222881184rrrerdrd er dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰2228882rrrreedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰⎰五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密 （1）(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,.x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01,1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 0()222z z Z f z dx xz ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰ 或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1,1.Z D z F z P Z z P X Y z d x d y z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰ 2,0,,01,1,1.z zz z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩ 2,01,()()0,Z Zz z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.（1） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. 五、（12分）设(,)X Y 的概率密度为0,,(,).0,x y x e f x y -<<⎧=⎨⎩其它求（1）边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）(1)P X Y +<； （3）Z X Y =+的概率密度()Z f z .,0,0.x xx e dy x +∞-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩⎰0,0,,0.xx xe x -≤⎧=⎨>⎩0,0(,),0.xyy f x y dx e dx y +∞+∞--∞≤⎧⎪==⎨>⎪⎩⎰⎰0,0,,0.yy e y -≤⎧=⎨>⎩（2）11201(1)(,)y xyx y P X Y f x y dxdy edx dy --+<⎡⎤+<==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰1111220()12yy ee e dy ee----=-⋅=-+⎰.（3）()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰,0,2,(,)0,.x e x x z x f x z x -⎧><≤⎪-=⎨⎪⎩其它0z ≤ 时 ()0Z f z = 0z > 时 22()z z xzz Z f z edx ee---==-⎰20,0,(),0.zZ z z f z e e z --≤⎧⎪=⎨⎪->⎩六、（10分）（1）设~[0,1]X U ，~[0,1]Y U 且X 与Y 独立，求||E X Y -； （2）设~(0,1),~(0,1)X N Y N 且X 与Y 独立，求||E X Y -.|(,)||Y f x y x y dxdy +∞+∞-∞-∞=-⎰⎰1110()()x xx y dxdy y x dxdy =-+-⎰⎰⎰⎰13=；（2）因,X Y 相互独立，所以~(0,2)Z X Y N =-书P268~(0,1)Z X Y N -= E=，所以2||E X Y -=（1） 设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X >=___________.（2） 元件的寿命服从参数为1100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_____________.）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y = （A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -. （C ）3()5X y F +. （D ）31()5X yF --. （ ）（5）设随机变量1~[0,6],~(12,)4X U Y B 且,X Y 相互独立，根据切比 雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+（A ）0.25≤. （B ）512≤. （C ）0.75≥. （D ）512≥. （ ）（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。
解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,k = n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,1,n k k =+则 ()()()(|nn n n k nk P B P C B P C P B C∞∞====∑∑(1)!nkkn kn n keC p p n λλ∞--==-∑()(1)!()!kn kn kn kp ep k n k λλλ-∞--==--∑()!kpp ek λλ-=0,1,k = .六、（8分）二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。
1,(,),(,)0,.x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其它设Z 的概率密度为()Z f z ，则()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞=-⎰1,01,21(,)0,y y z f z y y ⎧≤≤-<<⎪-=⎨⎪⎩其它当 1z <-或1z >时()0Z f z =当 11z -<≤时1201()2z Z z f z dy ++==⎰所以Z 的密度为1,||1,()20,.Z z z f z +⎧<⎪=⎨⎪⎩其它解2：分布函数法，设Z 的分布函数为()Z F z ，则 ()()()(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰120,1,0,1(1),11,11,41,1.1,1D z z zdxdy z z z z ⎧≤-⎧≤-⎪⎪+⎪⎪=-<<=-<<⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩≥⎩⎰⎰ 故Z 的密度为1,||1,()()20,.Z Z z z f z F z +⎧<⎪'==⎨⎪⎩其它五、（15分）设二维随机变量（X ，Y ）在圆域x 2+y 2≤a 2上服从均匀分布，（1）求X 和Y的相关系数ρ；（2）问,X Y 是否独立？ 解 (,)X Y 的密度为22221,,(,)0,.x y r f x y r π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他-------------------------------------------3分（1）22222211cos r x y rEX x dxdy d d rrπρθρρθππ+≤=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰2221sin 0r d r πθρρπ=⋅=⎰222232211sin 22r x y rEXY xy dxdy d d xrrπθθρρπ+≤=⋅=⎰⎰⎰⎰2321[cos 2]04r d rπθρρπ=-=⎰故 ,X Y 的相关系数0ρ=.----------------------------------------------------------9分 （2）关于X 的边缘密度为,||,()(,)0,||,X x r f x f x y dy x r +∞-∞⎧≤⎪==⎨⎪>⎩⎰⎰||,0,||.x r rx r π≤=⎨⎪>⎩关于Y 的边缘密度的||,()0,||.Y y r f y ry r π≤=⎨⎪>⎩因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立.------------------------------------15分 六、（10分）若随机变量序列12,,,,n X X X 满足条件 211lim()0ni n i D X n→∞==∑试证明{}n X 服从大数定律.证：由契贝晓夫不等式，对任意的0ε>有1111nni ii i P X E X nnε==⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭∑∑2112211()()nni i i i D X D X nnεε==≤=∑∑---------5分所以对任意的0ε>1111lim nni in i i P X E Xnnε→∞==⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭∑∑22111lim ()0ni n i D X n ε→∞=≤=∑故{}n X 服从大数定律。
----------------------------------------------------------------------10分 3.设随机变量，服从二项分布 B ( n ，p )，其中 0 < p < 1 ， n = 1， 2,…， 那么，对于任一实数 x ，有等 于 ( D )。
( A ) ;( B ) ;( C ) ;( D )2． 设X ，Y 是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则E(|X-Y|)=______。
2）因,X Y 相互独立，所以~(0,2)Z X Y N =-书P268~(0,1)N =E=，所以||E X Y -=3． 是总体X 服从正态分布N，而是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量服从______，参数为______。
5．设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量不相关的充分必要条件为（）。