概率论问题整理

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相

互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2

）命中点到目标中心距离Z =

.

1）{,)}(,)D

P X Y D f x y dxdy ∈=

⎰⎰

2

2

2

228

8

1

1124

8x y r

D

e

dxdy e

rdrd πθπ

π

+-

-

=

=

⋅⎰⎰⎰

⎰

2

2

2

112

28

88

2

1

1

()8

r

r

r

e

d e

e

e

-

-

-

-

--

=-=-⎰；

（2）2

2

8

18x y E Z E e

dxdy π

+-

+∞+∞-∞

-∞

==

⎰

⎰

2

2

22

8

8

11

84

r

r

re

rdrd e

r dr πθπ

-

-

+∞+∞=

=

⎰

⎰

⎰

2

2

2

8

8

8

2

r

r

r

re

e

dr dr +∞

-

-

-

+∞+∞-∞

=-+

=

=⎰

⎰

五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均

匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密 （1）(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,

.

x y D f x y ∈⎧=⎨

⎩其它

22,

01()(,)0

,X x x f x f x y dy +∞-∞

-≤≤⎧==⎨

⎩⎰

其它

（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞

=

-⎰

其中2,

01,01(,)0,

x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨

⎩其它

2,01,

1.

0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨

⎩其它.

当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 0

()222z z Z f z dx x

z ===⎰

故Z 的概率密度为

2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.

Z 的分布函数为

200,

00,

0,()()2,01,01,1, 1.

1,

1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞

<⎧<⎧⎪⎪⎪

=

=≤≤=

≤≤⎨⎨⎪

⎪>⎩

>⎪⎩⎰

⎰ 或利用分布函数法

10,

0,

()()()2,01,

1

,

1.

Z D z F z P Z z P X Y z d x d y z z ⎧<⎪⎪=≤

=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰ 2

,0,,01,1,

1.z z

z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩ 2,

01,()()0,

Z Z

z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.

（1） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,

x x f x <<⎧=⎨

⎩其它

,

现对X 进行四次独立重复观

察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. 五、（12分）设(,)X Y 的概率密度为

0,,

(,).

0,

x y x e f x y -<<⎧=⎨

⎩其它

求（1）边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）(1)P X Y +<； （3）Z X Y =+的概率密度()Z f z .

,0

,0.x x

x e dy x +∞-≤⎧⎪

=⎨>⎪⎩⎰0,

0,,

0.x

x xe x -≤⎧=⎨>⎩

0,0(,),0.

x

y

y f x y dx e dx y +∞+∞--∞

≤⎧⎪

=

=⎨>⎪⎩⎰

⎰

0,

0,,

0.

y

y e y -≤⎧=⎨>⎩

（2）1

120

1

(1)(,)y x

y

x y P X Y f x y dxdy e

dx dy --+<⎡

⎤

+<=

=

⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰

⎰

⎰