画法几何及土木工程制图

§6-1 曲线
例6-1 已知直径为d 的圆位于铅垂面内，并知圆心O 和PH的位置，试作出其投影。
解：水平投影为线段，长度等
于d，重合在PH上；正面投影和 侧面投影为椭圆，长轴竖直，长
度等于d，短轴水平，长度根据水 平投影作出。利用换面法可作出
椭圆上的一些中间点。
§6-1 曲线
2.一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜 于三个投影面时，圆的 三个投影都是椭圆，椭 圆长轴的长度总是等于 圆的直径d。且能反映 实长的长轴是特殊直线。
曲线的投影性质：
1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 积聚成直线；
§6-1 曲线
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投 影相切，而且切点的投影仍为切点；
3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭 圆。
§6-1 曲线
三、圆的投影 1. 投影面垂直面上的圆 圆在所垂直的那个投影面上 的投影为直线段，线段的长度等 于圆的直径，圆的另外两投影为 椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的 直径。
正面投影中，把导程也作相同 的12等分，过各分点作水平线； 由水平投影中的各分点作竖直 线与正面投影上的对应水平线
相交，得0’、1’、2’……,
把这些点连成光滑曲线，即为 螺旋线的正面投影。注：12等 分有13个点，第一个记作0.
§6-2 曲面概述
一、曲面的形成和分类
曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的 线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线， 曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面，称为导 线或导面。
§6-2 曲面概述
由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面； 只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。
§6-2 曲面概述
圆柱体
形成
圆沿与其垂直
O 底面
的直线运动形成 矩形绕其边旋
转形成
轴线
圆柱面
L
轴线
O
母线
素线
圆柱面的形成
圆锥体
S
锥顶 圆锥面
轴线
底面
过圆锥面上任一点可作 一条直线通过锥顶、亦 可在圆锥面上作一圆
包络曲线
§6-1 曲线
曲线的分类：
规则曲线：可列出其代数方程，例如圆。 不规则曲线：无方程，例如地面等高线。
又可分为： 平面曲线：曲线上所有的点都位于一个平面上。 空间曲线：连续四个 点不在同一平面上的 曲线。 例如圆柱螺旋线就是 空间曲线的例子。
§6-1 曲线
二、曲线的投影
画出曲线上一系列点的投影，并连成光滑曲线，可得到曲线 的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影， 以便控制好曲线的形状。
回
圆环投影图分析： 退
属于圆环表面的点线 出
例 11
例 12
一、圆柱
空间分析
作图步骤： 画轴线 画底面和顶面的投影 画转向线
正面转向线 侧面转向线
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圆柱投影图分析
Fra Baidu bibliotek
底面——水平面 顶面——水平面 圆柱面
前半个圆柱面 后半个圆柱面 左半个圆柱面 右半个圆柱面 转向线 正面转向线 侧面转向线
2.相关概念
圆柱的半径为螺旋半径，柱轴为 螺旋轴线，点P旋转一周后沿轴线 移动的距离为导程，记作Ph。当 动点P沿直母线移动且符合右手法 则时，记为右螺旋线。反之，左 旋。
§6-1 曲线
四、螺旋线的投影
螺旋线轴线为铅垂线时，螺 旋线的水平投影为圆。把圆周 等分（例如12等分），分点按
旋向依次编号为0、1、2……；
右 后
左
前
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例3 已知属于圆柱面上的点A、B、C 的一个投影求另外
形成
圆沿与其垂直的直 线运动形成。运动过 程中其直径均匀变化
直角三角形绕其直角 边旋转而成
L
圆锥面的形成
§6-2 曲面概述
根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋 转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲 母线旋转生成的叫旋转曲线面。
§6-2 曲面概述
二、曲面的投影
平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面， 它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线，简称外 形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的 投影来表示。同时，外形线该方向上可见与不可见的分界线。
M O
M
O
§6-1 曲线
八点法，是作圆的外切正 方形及对角线，其中1，2， 3，4为各边的中点，5，6， 7，8为对角线上的点。
5，6，7，8，可按比例定出
§6-1 曲线
四、螺旋线的投影
1.圆柱螺旋线的形成
点P沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作 等速转动，点P的轨迹为圆柱螺旋线。
画法几何及土木工程制图
第六章 曲线和曲面
目录
§6-1 曲线 §6-2 曲面概述 §6-3 直纹面 §6-4 曲线面
§6-1 曲线
一、曲线的形成和分类
曲线可以看作是由以下三种方式形成的：
1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。
2.曲面与曲面或平面的交线。
3.直线族或曲线族的包络。
点的运动轨迹
曲表面的交线
§6-1 曲线
例6-2 半径为r的圆位于一般倾斜平面□ABCD上，
并知圆心的位置，试作出其投影。
解：首先，在水平投影中 作椭圆的长短轴：长轴的方向 为面内水平线的水平投影的方 向，长度等于圆的直径2r。短 轴垂直于长轴，长度利用直角 三角形法求出。
§6-1 曲线
其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是
曲面体
由曲面围成或由曲面和平面围成的立体
称为曲面体。
常见曲面体及曲面体上点的投影
表1 常见曲面体的形成 一、圆柱
圆柱的投影
圆柱投影图分析
属于圆柱表面的点线
例3
例4
三、圆球
圆球的投影 圆球投影图分析
上一节
圆球表面上取点线
下 一节
二、圆锥 圆锥的投影 圆锥投影图分析 圆锥表面上取点线
四、圆环
返
圆环的投影
一对共轭直径1’2’、3’4’。根据共轭直径可求出椭圆上的其余
四个
点5’、6’、7’、8’，用八点法画
出正面投影椭圆。
共轭直径
一椭圆，其中心为O，过O任作一直 径CD，再作CD的平行弦EF，取EF 的中点 M，连接OM得椭圆的另一 直径AB，则AB、CD称为椭圆的一 对共轭直径，EF为直径AB的共轭弦。 因此，椭圆的任一条直径必平分其 共轭弦。由于上述AB 直径是任意 取的，因此椭圆的共轭直径有无数 对。当一对共轭直径互相垂直时， 即为椭圆的长轴和短轴。