中考数学复习专题精品导学案：第13讲反比例函数含答案详解

2013年中考数学专题复习第十三讲反比例函数

【基础知识回顾】

一、反比例函数的概念：

一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数

【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0

2、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）

3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】

二、反比例函数的同象和性质：

1、反比例函数y=k

x（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称

2、反比例函数y=k

x（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象

限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而

【名师提醒：1、在反比例函数y=k

x中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴

无限接近，但永不与x轴y轴

2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】

3、反比例函数中比例系数k的几何意义：

反曲线y=k

x（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线

→

两线与坐标轴围成的形面积，即如图：AOBP=

S△AOP=

【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】

三、反比例函数解析式的确定

因为反比例函数y=k

x（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数

关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法

一、反比例函数的应用

二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题

的方案，这里要特别注意自变量的

【重点考点例析】

考点一：反比例函数的同象和性质

例1 （2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数

a

y

x

=在同一坐标系中的图象可能

是（）

A．B．

C．D．

思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．

解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=

a

y

x

=过一、三象限；

当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=

a

y

x

=过二、四象限；

故选C．

点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．

例2 （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数

22

a a

y

x

-+ =

图象的两个分支分别在（）

A．第一、三象限B．第二、四象限

C．第一、二象限D．第三、四象限

思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．

解：a2-a+2，

=a2-a+1

4

-

1

4

+2，

=（a-1

2

）2+7 4 ，

∵（a-1

2

）2≥0，

∴（a-

12

）2

+7 4 ＞0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选A ．

点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a 2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数k

y x

=

（k ≠0）：（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．

例3 （2012•台州）点（-1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数6

y x

=

的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）

A ．y 3＜y 2＜y 1

B ．y 2＜y 3＜y 1

C ．y 1＜y 2＜y 3

D ．y 1＜y 3＜y 2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 解：∵函数6

y x

=

中k=6＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵-1＜0，

∴点（-1，y 1）在第三象限， ∴y 1＜0， ∵0＜2＜3， ∴（2，y 2），（3，y 3）在第一象限， ∴y 2＞y 3＞0， ∴y 2＞y 3＞y 1． 故选D ．

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．

对应训练

1．（2012•毕节地区）一次函数y=x+m （m ≠0）与反比例函数m

y x

=的图象在同一平面直角坐标系中是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

1．C

2．（2012•内江）函数1

y x

=

+的图象在（ ） A ．第一象限 B ．第一、三象限 C ．第二象限 D ．第二、四象限 2．A

2x≥0，1

x

中x≠0，

故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．

3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数

2

y

x

=的图象上，且0＜x1＜

x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．3．＞

考点二：反比例函数解析式的确定

例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数

1

k

y

x

-

=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）

A．2 B．-2 C．-3 D．3

思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得

-2=

1

1

k-

-

，即2=k-1，

解得k=3．

故选D．

点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．

对应训练

4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数

1b y

x

+ =

的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）

A．

3

y

x

=-B．

1

y

x

=C．

2

y

x

=D．

2

y

x

=-

4．D

4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可

求得b的值，然后根据反比例函数

1b

y

x

+

=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则

比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．

解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，

解得：b=-3或1．

∵反比例函数

1b

y

x

+

=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，

∴1+b＜0 ∴b＜-1，∴b=-3．