高中数学-不等式章末总结

高中数学-不等式章末总结
二、根置教材，考在变中
一、选择题
1．(必修5 P 100练习T 3改编)用长为a (a >0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为( )
A ．a 22
B.a 2
4 C ．a
2
8
D.
a 2
16
解析：选D.设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a
2.因为x ＋y ≥2xy ，
所以xy ≤14(x ＋y )2
＝a 2
16，即S 矩形≤a 2
16.当且仅当x ＝y ＝a 4时，S max ＝a 2
16
.故选D.
2．(必修5P 91练习T 1改编)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥a （a <1），y ≥x ，x ＋y ≤2，
且z ＝2x ＋y 的最大值是最小
值的4倍，则a 的值是( )
A ．2
11 B.14 C ．12
D.34
解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3；当目标函数z ＝2x ＋
y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14
.
3．(必修5 P 93
B 组T 1
改编)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ≤6，x －6y ≤－6，
x ≥0，y ≥0，
若目标函数z ＝ax ＋
by (a >0，b >0)的最大值为8，则3a ＋1
b
的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选C.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线2x －3y ＝6与直线x －6y ＝－6的交点(6，2)时，目标函数z ＝
ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值8，即6a ＋2b ＝8，所以3a ＋b ＝4，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a ＋1
b (3a ＋b )＝10＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ≥16.所以3a ＋1b
≥4.当且仅当a ＝b ＝1时，取等号．故选C.
4．(必修5 P 85例4改编)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要主要原料磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，若生产1车皮甲种肥料获利润1万元，生产1车皮乙种肥料获利润0.5万元，则该化肥厂的最大利润为( )
A ．2万元
B ．2.5万元
C ．3万元
D ．3.5万元
解析：选C.设生产甲、乙两种肥料各x 车皮与y 车皮，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，
18x ＋15y ≤66，
x ≥0，y ≥0，表示的区
域如图中阴影部分．目标函数为z ＝x ＋0.5y .由图可知，当直线x ＋0.5y ＝z 经过点M 时，z
取最大值，由⎩
⎪⎨⎪
⎧4x ＋y ＝1018x ＋15y ＝66，解得x ＝2，y ＝2，即M (2，2)．此时z max ＝2＋0.5×2＝3，故
选
C.
二、填空题
5．(必修5 P 91练习T 1(1)改编)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，
若z ＝2x －y
的最大值为3，则实数m 等于________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中的△ABO 及其内部．联立⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，
mx －y ＝0， 解
得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫22m －1，2m 2m －1.
化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A 时，直线在y
轴上的截距最小，此时z 有最大值，且z max ＝42m －1－2m 2m －1＝4－2m 2m －1＝3，解得m ＝7
8
.
答案：78
6．(必修5 P 93A 组T 4改编)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时 12 13 14 产值/千元
4
3
2
则每周的最高产值是________千元．
解析：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱120－x －y 台，产值为z .目标函数为
z ＝4x ＋3y ＋2(120－x －y )＝2x ＋y ＋240， 所以，题目中包含的限制条件为
⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋13y ＋1
4
（120－x －y ）≤40，120－x －y ≥20，x ≥0，y ≥0.
即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤120，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0.
可行域如图．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝120，x ＋y ＝100，
得点M的坐标为(10，90)，所以z max＝2×10＋90＋240＝350.
答案：350
三、解答题
7．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)
甲70560
乙60525
不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
⎩⎪
⎨
⎪⎧70x＋60y≤600，
5x＋5y≥30，
x≤2y，
x≥0，
y≥0，
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧7x＋6y≤60，
x＋y≥6，
x－2y≤0，
x≥0，
y≥0，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－
12
5
x＋
z
25
，这是斜率为－
12
5
，随z变化的一族平行直线.
z
25
为直线在y轴上的截距，当
z
25
取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，
所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距
z
25
最大，即z最大．
解方程组
⎩⎪
⎨
⎪⎧7x＋6y＝60，
x－2y＝0，
得点M的坐标为(6，3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
8．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A
为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．
(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？
(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
解：设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．
(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝3
4xy .
所以S ≤34⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22
＝2 500 3.
当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝y ，
x ＋y ＝200，
即x ＝y ＝100时取“＝”．
(2)由题意得100×(x ＋1.5y )＝20 000， 即x ＋1.5y ＝200.
要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，
所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2
＋(200－1.5y )y ＝
1.75y 2
－400y ＋40 000＝1.75⎝
⎛⎭⎪⎫y －80072
＋120 0007⎝ ⎛⎭⎪⎫0<y <4003，
当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，此时x ＝200
7.
所以当AP 为2007米，AQ 为800
7
米时，用料最省．。