线性代数全套课件
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线性代数
第一章 n阶行列式
第二章 矩阵
第三章 向量组与矩阵的秩
第四章 线性方程组
第五章 特征值与二次型
第六章 线性空间与线性变换
第一章
n 阶行列式
§1 全排列及逆序数
定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为
一个n 级全排列（简称排列）。 定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的
前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的 数，那么称它们构成一个逆序（反序）。一个排列
中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
一个排列j1, j2,…,jn的逆序数，一般记为 (j1, j2,…,jn)
排列12的逆序数为0， 排列21的逆序数为1， 排列231 的数对21、31均构成逆序，而23不够成逆序， 因此排列231的逆序数为2。 排列213的逆序数是1。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0，乘积 n 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。
2
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
奇数的排列称为奇排列。
§2 行列式的定义
定义4 设有n2个数aij（i，j＝1，2，…, n）， 排成正方阵形式
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an 2
a1n a2n a nn
在不同行、不同列中取n个数作乘积 a1 j1 a2 j 2 anjn，并乘
J 以符号 ( 1)（其中 J为列标排列j1, j2,…,jn的逆序数），记 J 为( 1) a1 j1 a2 j anjn，这样的乘积有 n! 项。
a12 a1n
a 22 a 2 n a , D 12 a n 2 a nn a1n
行列式D'称为行列式D的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
b11 b21 D bn 1 b12 b1n b22 b2 n , bn 2 bnn
证
D a11 a1 p a 1q a nq a 1n a nn a 21 a 2 p a 2 q a 2 n a n1 a np
交换第p、q两 列，得行列式
a11 a1q a1 p a1n D1 a 21 a 2 q a 2 p a 2 n a nn a n1 a nq a np
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 行列式的值为
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
排列j1j2…jn只能是排列n(n－1)…21， 它的逆序数为
n 1n J ( n 1) ( n 2) 2 1
2
所以行列式的值为
1
定理2 n阶行列式的项可以写成
1
S T
a p1q2 a p2q2 a pnqn
其中S与T分别是n级排列p1p2…pn与q1q2…qn的逆序数。
§4
记
a11 a 21 D a n1
行列式的性质
a11 a 21 a n1 a 22 a n 2 a 2 n a nn
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
证： 记
即bij＝aji ( i ， j ＝ 1 ， 2 ， …， n )
按行列式定义
D
j1 j2 jn j 1 b1 j b2 j
1 2
bnjn
j1 j2 jn
j 1 a j 1a j 2 a j n D
1 2 n
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。
行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，
而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，
因此行列式D＝a11a22a33a44。
行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。
主对角线以上的元素全为零（即i<j时元素aij＝0） 的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各 元素的乘积。 主对角线以下的元素全为0（即i>j时元素aij＝0） 的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上 各元素的乘积。
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1Hale Waihona Puke Baidua2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
对于D中任一项
1 ai 1ai 2 ai p ai q ai n
I
1 2 p q n
其中I为排列 i1 i p i q i n 的逆序数 在D1中必有对应一项
1I
1
a i1 1 a i2 2 a iq q a i p p a in n
其中I1为排列 i1 iq i p in 的逆序数
第一章 n阶行列式
第二章 矩阵
第三章 向量组与矩阵的秩
第四章 线性方程组
第五章 特征值与二次型
第六章 线性空间与线性变换
第一章
n 阶行列式
§1 全排列及逆序数
定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为
一个n 级全排列（简称排列）。 定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的
前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的 数，那么称它们构成一个逆序（反序）。一个排列
中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
一个排列j1, j2,…,jn的逆序数，一般记为 (j1, j2,…,jn)
排列12的逆序数为0， 排列21的逆序数为1， 排列231 的数对21、31均构成逆序，而23不够成逆序， 因此排列231的逆序数为2。 排列213的逆序数是1。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0，乘积 n 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。
2
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
奇数的排列称为奇排列。
§2 行列式的定义
定义4 设有n2个数aij（i，j＝1，2，…, n）， 排成正方阵形式
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an 2
a1n a2n a nn
在不同行、不同列中取n个数作乘积 a1 j1 a2 j 2 anjn，并乘
J 以符号 ( 1)（其中 J为列标排列j1, j2,…,jn的逆序数），记 J 为( 1) a1 j1 a2 j anjn，这样的乘积有 n! 项。
a12 a1n
a 22 a 2 n a , D 12 a n 2 a nn a1n
行列式D'称为行列式D的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
b11 b21 D bn 1 b12 b1n b22 b2 n , bn 2 bnn
证
D a11 a1 p a 1q a nq a 1n a nn a 21 a 2 p a 2 q a 2 n a n1 a np
交换第p、q两 列，得行列式
a11 a1q a1 p a1n D1 a 21 a 2 q a 2 p a 2 n a nn a n1 a nq a np
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 行列式的值为
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
排列j1j2…jn只能是排列n(n－1)…21， 它的逆序数为
n 1n J ( n 1) ( n 2) 2 1
2
所以行列式的值为
1
定理2 n阶行列式的项可以写成
1
S T
a p1q2 a p2q2 a pnqn
其中S与T分别是n级排列p1p2…pn与q1q2…qn的逆序数。
§4
记
a11 a 21 D a n1
行列式的性质
a11 a 21 a n1 a 22 a n 2 a 2 n a nn
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
证： 记
即bij＝aji ( i ， j ＝ 1 ， 2 ， …， n )
按行列式定义
D
j1 j2 jn j 1 b1 j b2 j
1 2
bnjn
j1 j2 jn
j 1 a j 1a j 2 a j n D
1 2 n
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。
行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，
而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，
因此行列式D＝a11a22a33a44。
行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。
主对角线以上的元素全为零（即i<j时元素aij＝0） 的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各 元素的乘积。 主对角线以下的元素全为0（即i>j时元素aij＝0） 的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上 各元素的乘积。
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1Hale Waihona Puke Baidua2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
对于D中任一项
1 ai 1ai 2 ai p ai q ai n
I
1 2 p q n
其中I为排列 i1 i p i q i n 的逆序数 在D1中必有对应一项
1I
1
a i1 1 a i2 2 a iq q a i p p a in n
其中I1为排列 i1 iq i p in 的逆序数