弹性力学基础知识
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弹性力学基础知识
1 弹性力学的基本假设 2 弹性力学基本概念 3 弹性力学基本方程 4 边界条件
1 弹性力学的基本假设
基本假设的必要性
• 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次 考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得 问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些 基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。
• ——变形后仍然保持连续性。
• 根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力 等均为物体空间的连续函数。
• 微观上这个假设不成立——宏观假设。
1 弹性力学的基本假设 性假设
2. 均匀
• —— 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变 化而改变。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程 成为线性的偏微分方程组。
1 弹性力学的基本假设 6. 无初始应力假 设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体 内部没有应力。
弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产 生的。
1 弹性力学的基本假设
弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、 各向同性、完全弹性和小变形假设等。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料
1 弹性力学的基本假设 假设
3. 各向同性
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
• 基本假设是学科的研究基础。
• 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
1 弹性力学的基本假设
连续性假设 均匀性假设 各向同性假设 完全弹性假设 小变形假设 无初始应力的假设
1 弹性力学的基本假设 性假设
1. 连续
• ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质 所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
1 弹性力学的基本假设 形假设
5. 小变
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
弹性力学基本 方程
平衡方程 几何方程 物理方程
平衡方程
平衡方程是弹性体内部必须满足 的条件，它6个应力分量不是独 立的，它们通过3个平衡方程相 互联系
几何方程
6个应变分量可用该点的 3个位移分量表示，因此
6个应变分量也不是独立的
几何方程描述几何量应变和位移之间的关系
可写成矩阵形式为
物理方程
位移
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• ——宏观假设，材料性能是显示各向同性。
• 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性 材料。
• ——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。
1 弹性力学的基本假设 假设
4. 完全弹性
• ——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应 关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称 为完全弹性材料。
τyx σy
应力
应力分量
符号规定：
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元
体面的应力称为正应力。
正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标
轴的方向。
平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示， 其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿 坐标轴的方向。如图示的τyx、τyz
位移产生应变
应变产生应力
应力和外力平 衡
几何方程
物理方程
平衡方程
弹性力学基本方程
由上可见，三类基本方程共包含15个方程，含6个应力分量， 6个应变分量和3个位移分量，共15个未知量，因而原则上 可以解出15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未 知量，而是先求出一部分（称为基本未知量），再通过基 本方程求出其他未知量。根据基本未知量的选法不同，也 就产生了3中不同的解题方法——位移法，应力法和混合法。
应变
外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及 它们之间的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称 为正应变（normal strain），各棱边之间的直角改变则称 为剪应变（shear strain）。剪应变以直角减小为正，增大 为负，应变无量纲。几何意义如图
应力矩阵
应变矩阵
微分体的应力分量和应变分量
这些假设都是关于材料变形的宏观假设。 弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本
假设。 这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。
2 弹性力学基本概念
载荷、应力、应变、位移是 弹性力学的几个主要物理量
载荷
应力
物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为 了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一 部分：
应力
其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在 截面上分布力的合力。
取截面的一部分，它的面积为ΔA，
ΔQ
作用于其上的内力为ΔQ，
ΔA
平均集度为ΔQ/ΔA，其极限
S lim Q A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
应力
通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
τS σ
正应力σ 切应力τ
THANK YOU
SUCCESS
2019/6/17
z
o
y
x
应力
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的方 位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标平面 的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分 量来表称为应力分量。
物体内各点的内力平衡，因此相对平 面上的应力分量大小相等，方向相反。
z oy
x
τyz
物理方程描述应力分量与应变分量之Baidu Nhomakorabea的关系，这种关系 与材料的物理特性有关。物理方程共有6个，其形式为
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
物理方程写成矩阵形式
简记为 其中，［Ｄ］为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。
15个方程
1 弹性力学的基本假设 2 弹性力学基本概念 3 弹性力学基本方程 4 边界条件
1 弹性力学的基本假设
基本假设的必要性
• 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次 考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得 问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些 基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。
• ——变形后仍然保持连续性。
• 根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力 等均为物体空间的连续函数。
• 微观上这个假设不成立——宏观假设。
1 弹性力学的基本假设 性假设
2. 均匀
• —— 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变 化而改变。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程 成为线性的偏微分方程组。
1 弹性力学的基本假设 6. 无初始应力假 设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体 内部没有应力。
弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产 生的。
1 弹性力学的基本假设
弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、 各向同性、完全弹性和小变形假设等。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料
1 弹性力学的基本假设 假设
3. 各向同性
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
• 基本假设是学科的研究基础。
• 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
1 弹性力学的基本假设
连续性假设 均匀性假设 各向同性假设 完全弹性假设 小变形假设 无初始应力的假设
1 弹性力学的基本假设 性假设
1. 连续
• ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质 所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
1 弹性力学的基本假设 形假设
5. 小变
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
弹性力学基本 方程
平衡方程 几何方程 物理方程
平衡方程
平衡方程是弹性体内部必须满足 的条件，它6个应力分量不是独 立的，它们通过3个平衡方程相 互联系
几何方程
6个应变分量可用该点的 3个位移分量表示，因此
6个应变分量也不是独立的
几何方程描述几何量应变和位移之间的关系
可写成矩阵形式为
物理方程
位移
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• ——宏观假设，材料性能是显示各向同性。
• 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性 材料。
• ——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。
1 弹性力学的基本假设 假设
4. 完全弹性
• ——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应 关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称 为完全弹性材料。
τyx σy
应力
应力分量
符号规定：
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元
体面的应力称为正应力。
正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标
轴的方向。
平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示， 其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿 坐标轴的方向。如图示的τyx、τyz
位移产生应变
应变产生应力
应力和外力平 衡
几何方程
物理方程
平衡方程
弹性力学基本方程
由上可见，三类基本方程共包含15个方程，含6个应力分量， 6个应变分量和3个位移分量，共15个未知量，因而原则上 可以解出15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未 知量，而是先求出一部分（称为基本未知量），再通过基 本方程求出其他未知量。根据基本未知量的选法不同，也 就产生了3中不同的解题方法——位移法，应力法和混合法。
应变
外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及 它们之间的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称 为正应变（normal strain），各棱边之间的直角改变则称 为剪应变（shear strain）。剪应变以直角减小为正，增大 为负，应变无量纲。几何意义如图
应力矩阵
应变矩阵
微分体的应力分量和应变分量
这些假设都是关于材料变形的宏观假设。 弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本
假设。 这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。
2 弹性力学基本概念
载荷、应力、应变、位移是 弹性力学的几个主要物理量
载荷
应力
物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为 了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一 部分：
应力
其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在 截面上分布力的合力。
取截面的一部分，它的面积为ΔA，
ΔQ
作用于其上的内力为ΔQ，
ΔA
平均集度为ΔQ/ΔA，其极限
S lim Q A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
应力
通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
τS σ
正应力σ 切应力τ
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z
o
y
x
应力
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的方 位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标平面 的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分 量来表称为应力分量。
物体内各点的内力平衡，因此相对平 面上的应力分量大小相等，方向相反。
z oy
x
τyz
物理方程描述应力分量与应变分量之Baidu Nhomakorabea的关系，这种关系 与材料的物理特性有关。物理方程共有6个，其形式为
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
物理方程写成矩阵形式
简记为 其中，［Ｄ］为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。
15个方程