西藏拉萨中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题(数学 含解析)

第I 卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共计60分） 1.下列几何体中是棱柱的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：C 【分析】
根据棱柱的定义进行判断即可．
解：棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，观察图形满足棱柱概念的几何体有：①③⑤，共三个． 故选C ．
点评：本题主要考查棱柱的概念，属于简单题. 2.已知点(3,2)A ，(0,1)B -，则直线AB 的倾斜角为（） A.030 B.045
C.060
D.0120
答案：B 【分析】
由两点求斜率公式可得AB 所在直线当斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解． 解：解：∵直线过点()3,2A ，()0,1B -， ∴21
130
AB k +=
=-， 设AB 的倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 则tan α＝1，即α＝45°．
故选B ．
点评：本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题． 3.下列命题正确的是（）
A.在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行
B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点
C.经过空间任意三点可以确定一个平面
D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 答案：B 【分析】
根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案．
解：由题意，对于A 中，在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B 中，当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C 中，经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D 中，若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确，故选B ．
点评：本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 4.已知直线1:220l x y +-=，2:410l ax y ++=，若12l l ，则实数a 的值为（）
A.8
B.2
C.1
2
-
D.-2
答案：A 【分析】
利用两条直线平行的充要条件求解．
解：：∵直线l 1：2x+y-2=0，l 2：ax+4y+1=0，l 1∥l 2， ∴21 4
a =
， 解得a=8． 故选A.
点评：】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用． 5.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为（）．
A.30
B.45
C.60
D.90
答案：C 【分析】
连接1AD 通过线线平行将直线1AB 与1BC 所成角转化为1AB 与1AD 所成角，然后构造等边三角形求出结果 解：
连接111,,AD B D 如图
1111,BC AD B AD ∴∠就是1AB 与1BC 所成角或其补角， 在正方体中，1111==AD B D AB ∴，
11=3
B AD π
∠，
故直线1AB 与1BC 所成角为60. 故选C.
点评：本题考查了异面直线所成角的大小的求法，属于基础题，解题时要注意空间思维能力的培养. 6.根据表中的数据，可以断定方程20x e x --=的一个根所在的区间是（）
x -1 0 1 2 3 x e
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A.(0,1)
B.(1,0)-
C.()2,3
D.(1,2)
答案：D 【分析】
将x 与x e 的值代入()2x
f x e x =--，找到使()()120f x f x <的12,x x ,即可选出答案.
解：1x =-时，()0.37120.6301f +-=-=<-.
0x =时，()200110f -=--<=. 1x =时，()72120.10.228f --=-<=. 2x =时，()27.3902.9233f -==->. 3x =时，()0.09332215.090f --=>=.
因为()()120f f <.
所以方程20x e x --=的一个根在区间(1,2)内. 故选：D.
点评：本题考查零点存在定理，函数()f x 连续，若存在12x x <，使()()120f x f x <,则函数()f x 在区间()12,x x 上至少有一个零点.属于基础题.
7.已知幂函数()y f x =的图象过⎛ ⎝⎭
，则下列求解正确的是（）
A.()1
2f x x =
B.()2
f x x =
C.()32f x x
=
D.()12
f x x
-
=
答案：A 【分析】
利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误
解：∵幂函数y ＝x α的图象过点（2），
=2α，解得α12
=，
故f （x ）=
()1
2f x x
=，
故选A
点评：本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．
8.在空间四边形ABCD 的各边AB BC CD DA 、、、上的依次取点E F G H 、、、，若EH FG 、所在直线相交于点P ，则（）
A.点P 必在直线AC 上
B.点P 必在直线BD 上
C.点P 必在平面DBC 外
D.点P 必在平面ABC 内
答案：B 【分析】
由题意连接EH 、FG 、BD ，则P ∈EH 且P ∈FG ，再根据两直线分别在平面ABD 和BCD 内，根据公理3则点P 一定在两个平面的交线BD 上． 解：如图：连接EH 、FG 、BD ， ∵EH 、FG 所在直线相交于点P ， ∴P ∈EH 且P ∈FG ，
∵EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ， ∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面BCD ， 由∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD ， 故选B ．
点评：本题考查公理3的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明．
9.复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学
有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或
者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息()元.（参考数据：4
5
4
5
1.0225 1.093,1.0225 1.117,1.0401 1.170,1.0401 1.217====） A.176 B.100
C.77
D.88
答案：B 【分析】
由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．
解：由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为 2.25%，若在银行存放5年，可得金额为
()5
110001 2.25%1117S =+=元，即利息为117元，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可
达4.01%，若存放5年，可得金额为()5
110001 4.01%1217S =+=元，即利息为217元，所以将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息217117100-=元，故选B ．
点评：本题主要考查了等比数列的
实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10.如图，已知OAB ∆的直观图O A B '''∆是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么OAB ∆的面积是（）
A.
1
2
B.
22
C.1
2
答案：D 【分析】
根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图'''O A B ∆与还原为原几何图形，利用三角形面积公式可得结果.
解：平面直观图'''O A B ∆与其原图形如图，
直观图'''O A B ∆是直角边长为1
的
等腰直角三角形，
还原回原图形后，边''O A 还原为OA 2， 直观图中的'OB 在原图形中还原为OB 长度，且长度为2， 所以原图形的面积为11
22222
S OA OB =
⋅=⨯= D. 点评：本题主要考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与与'x 轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与'y 轴平行且长度减半. 11.表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（） A.12π B.8π
C.
323
π
D.4π
答案：A 【分析】
根据正方体的表面积，可求得正方体的棱长，进而求得体对角线的长度；由体对角线为外接球的直径，即可求得外接球的表面积． 解：设正方体的棱长为a 因为表面积为24，即2624a = 得a=2
22222223++=所以正方体的外接球半径为3
32
r =
=所以球的表面积为2412S r ππ== 所以选A
点评：本题考查了立体几何中空间结构体的外接球表面积求法，属于基础题． 12.函数(1)
()lg
x f x -=的大致图象是（）
A. B.
C. D.
答案：B 【分析】
先判断奇偶性,再利用单调性进行判断， 解：由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，
选B .
点评：此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共计20分） 13.直线3x +2y +5＝0在x 轴上的截距为_____． 答案：53
- 【分析】
令0y =代入直线方程，求得直线在x 轴上的截距.
解：令0y =代入直线方程得5350,3x x +==-.即截距为53
x =-. 点评：本小题考查直线和坐标轴的交点，直线和x 轴交点的横坐标叫做横截距，和y 轴交点的纵坐标叫做
纵截距.
14.已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，2()f x x x =+，则(2)f -=________．
答案：6 【分析】
利用函数是偶函数，()()22f f -=，代入求值.
解：
()f x 是
偶函数，
()()222226f f ∴-==+=.
故答案为6
点评：本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.
15.16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N =⇔log a b N =.
现在已知23a =，34b =，则ab =__________. 答案：2 【分析】
先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算. 解：∵23a =，34b =
∴2log 3a =，3log 4b = ∴23ln3ln4ln4
log
3log 42ln2ln3ln2
ab =⋅=⋅== 故答案为2
点评：底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：log log log b b c
a
a c
=将其转化为同底数的对
数式进行运算.
16.如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．
答案：5
分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
详解：
由题意知底面圆的直径AB ＝2， 故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π
180
n ， 解得n ＝90，
所以展开图中∠PSC ＝90°，
根据勾股定理求得PC ＝5 所以小虫爬行的最短距离为5故答案为5点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 三、解答题
17.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，
x ∈Z}．求
(1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．
答案：（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}．
试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．
试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；
故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 18.(1)计算：lg25+lg2•lg50+lg 22
(2)已知112
2
x x -+=3，求221
22
x x x x --+-+-的值．
答案：（1）2；（2）9.
【分析】
（1）利用对数的性质及运算法则直接求解．
（2）利用平方公式得，x +x ﹣1＝（1122x x -+）2﹣2＝7，x 2+x ﹣2＝（x +x ﹣1）2
﹣2＝49﹣2＝47，代入求解． 解：(1)lg25+lg2•lg50+lg 22
=lg52+lg2(lg5+1)+lg 22 =2lg5+lg2•lg5+lg2+lg 22
=2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)
=2(lg5+lg2)
=2；
(2)由1
1
223x x -+=，得1
1
2
22()9x x -+=， 即x +2+x -1=9．
∴x +x -1=7．
两边再平方得：x 2+2+x -2=49，
∴x 2+x -2
=47． ∴22122x x x x --+-+-=472972
-=-． 点评：本题考查了有理指数幂的运算，考查了对数式化简求值，属于基础题．
19.已知ABC ∆的三个顶点(4,6),(4,1),(1,4)A B C ---
求：（1）AC 边上高BD 所在的直线方程
（2）AB 边中线CE 所在的直线方程
答案：(1)260x y -+=；(2)13250x y ++=
【分析】
（1）先根据高BD 与AC 垂直，求出BD 的斜率，再利用点斜式，写出直线BD ．
（2）E 为AB 的中点，先求出E 点坐标，再利用两点式，写出直线CE
解：解：（1）6424(1)AC k --==---12
BD k ⇒=
直线BD 的方程为11(4)2y x -=
+ 即260x y -+= （2）AB 边中点E 5(0,)2
-，中线CE 的
方程为554221
y x ++=- 即13250x y ++= 点评：熟练掌握直线的几种表达形式，一般式、斜截式、点斜式、两点式、截距式．
20.已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
答案：（1）作图见解析；
（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[
)3,+∞，值域为(],3-∞.
【分析】
（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；
（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.
解：（1）图象如图所示：
（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，
增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[
)3,+∞，值域为(],3-∞.
点评：本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.
21.已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =+--，(0a >且1)a ≠． ()1求函数()f x 的定义域；
()2求满足()0f x ≤的实数x 的取值范围．
答案：（1）()2,2-；（2）见解析.
【分析】
()1由题意可得，{2020x x +>->，解不等式可求；()2由已知可得()()log 2log 2a a x x +≤-，结合a 的范围，进行分类讨论求解x 的范围．
解：（1）由题意可得，{20
20x x +>->，
解可得，22x -<<， ∴函数()f x 的定义域为()2,2-，
()2由()()()log 2log 20a a f x x x =+--≤，
可得()()log 2log 2a a x x +≤-，
1a >①时，022x x <+≤-，
解可得，20x -<≤，
01a <<②时，022x x <-≤+，
解可得，02x ≤<．
点评：本题主要考查了对数函数的定义域及利用对数函数单调性求解对数不等式，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题．
22.在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆是边长为2的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点.
（1）求证：//OD 平面PAC ；
（2）求证:OP ⊥平面ABC ；
（3）求三棱锥D ABC -的体积.
答案：（1）见解析（2）见解析（3）
13
.
【分析】 ()1由三角形中位线定理，得出//OD PA ，结合线面平行的判定定理，可得//OD 平面PAC ；()2等腰PAB △和等腰CAB △中，证出1PO OC ==，而2PC =，由勾股定理的逆定理，得PO OC ⊥，结合PO AB ⊥，可得PO ⊥平面ABC ；()3由()2易知PO 是三棱锥P ABC -的高，算出等腰ABC 的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥P ABC -的体积．
解：
() 1O ，D 分别为AB ，PB 的中点，//OD PA ∴
又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC
//OD ∴平面.PAC
()2如图，连接OC
AC CB ==，O 为AB 中点，2AB =，
OC AB ∴⊥，且1OC ==． 同理，PO AB ⊥， 1.PO = 又2PC =，
2222PC OC PO ∴==+，得90POC ∠=．
PO OC ∴⊥．
OC 、AB ⊆平面ABC ，AB OC O ⋂=，
PO ∴⊥平面.ABC
()3PO ⊥平面ABC ，OP ∴为三棱锥P ABC -的高，
结合1OP =，得棱锥P ABC -的体积为1111211.3323P ABC ABC V S OP -=
⋅=⨯⨯⨯⨯= 点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．。